Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Кавитацмонпое обтекание пластины неизвестными; с, М, к., к» (к, = к +»к»). Постоянные Р, Р» не за- висят от с, М. Это позволяет выразить из (13.24) параметры с и М через к,: к „Tм — к Тг» Т»Т», — ТзТ»» к Т» — к»Т ' к Т» — к„Т (13.26) Здесь к,— 1 Т = 1п ' — г(т — а) — д — к,Р, к,+1 Тв = НеТ, 7» — — 1»пТ, Т„= НеТк„Тг» = 1»пТкге Задача П1 эквивалентна, таким образом, уравнению (13.25) относительно к„где с, М вычисляются по формулам (13.26). Решение уравнения (13.25) можно получить численно, например, методом Ньютона. Заметим теперь, что соотношения (13.11), (13.12) можно записать так: 13.3.
Схема итерационного процесса и числовые расчеты. Будем решать задачу отыскания функции Л(и) и контура Х,, методом последовательных приближений. Условие (И.14) запишем в виде 7 1 »Неп- ~ — — 1и — + — е,у>1, Л(и) = Й+(и) — Й (и) = — 1и ~у+(1 — у)е ~,7 < 1. (13.27) Отметим, что выражения под знаком логарифма в (13.27) положительны при 0 < у < оо. Итерационный процесс организуем следующим образом. Зададим функции Л(з), о(з) ( — оо < з < оо, Л(асс) = 0), где з — дуговая абсцисса контура Ц, отсчитываемая от 1о. При этом однозначно определится контур Ь,: и(з) = е' ( 16»+уз, и б Е~ о Й+(и) — Й (и) = ы+(и) — м (и) = Л(и), и Е гч, где Л(и) действительна.
Отсюда вытекает, что при последовательном решении задач 1П, 1, П определятся функции Й(1), ы(1) и параметры угп, у»н, загс, удовлетворяющие условиям (13.4) — (13.12). Оставшиеся два соотношения (13.13), (13.14) служат для отыскания Л(и), Ьо 214 Глава 4. Препятствия вбляэя граняпм раздела сред и функция Л(и) на нем. Решив последовательно задачи П1, 1, П, найдем й(1), ы(1). Подставив й+(в) = йв[и(в)], м (в) = ы [и(в)] в (13.27), (13.13), определим новое приближение к функциям Л(в), 0(в) и т. д. За нулевое приближение можно взять Л1е>(в) — 01в1(в) = О. Для численной реализации этого процесся был использован метод дискретизации, описанный в разделе 12.1 предыдущего параграфа. При проведении числовых расчетов в качестве параметра, характеризующего положение пластины по отношению к линии раздела, бралась величина Ь, равная расстоянию между разделяющейся линией тока и линией раздела на бесконечности. Система безразмерных определяющих параметров в данной задаче следующая; а, Я, Ь/1, 7.
Случай 7 = О соответствует обтеканию пластины вблизи свободной поверхности, 7 = оо — обтеканию вблизи твердой стенки. В книге [114] приведено точное аналитическое решение для частного случая данной задачи: обтекания пластины вблизи свободной поверхности (7 = О). Имеющиеся в [114] численные данные были полностью воспроизведены с помощью предложенного метода. На рис. 77 приведены зависимости С„/С„от 6/1 при различных значениях а, Я, 7. Здесь С„= 2Р„/р (И ) 1 — коэффициент нормального давления на пластину, ф— величина коэффициента С„в однородной жидкости, Є— сила нормального давления: в Ре = (Р— ро) пв л Числовые расчеты выявили следующий любопытный факт: если пластина расположена в менее плотной среде (7 > 1) перпендикулярно направлению набегающего потока (а = 90'), то при заданном числе кавитации Я ее коэффициент сопротивления не зависит от положения пластины по отношению к линии раздела.
Этот факт перекликается с результатами Бнркгофа [16], Бондера [131], М.Ю. Цейтлина [35] и А.Г. Терентьева [113]. М.Ю. Цейтлин показал, что если на две любые параллельные пластины, обтекаемые по схеме Кирхгофа, поток набегает под любым углом, так что струйка в бесконечности параллельна скорости набегающего потока, то нормальное давление на обе пластины будет таким же, как если бы они были соединены в одну. А.Г. Терентьевым установлено, что коэффициент сопротивления пластины, нормальной к стенкам канала и обтекаемой по схеме Жуковского-Эпплера-Рошко, не зависит от 215 113.
Кавитационное обтекание нласткны С„7С„- 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 Рвс. 77. Зааисвыости С /С~о от о1'1 при различных те сплошные лввви— о ы 10о, Я = 0.1, С„'о = 0.277, ытриховые ливии— о = 90", 12 = 0.5, Соо = 1.323 положения пластины в канале. Аналогичный результат для пластины, обтекаемой по схеме Кирхгофа в канале, установлен Биркгофом, а вблизи стенки — Бондером. Заметим, что вышеупомянутые результаты доказаны аналитически, но при этом речь идет либо о двух пластинах в однородной жидкости, либо об одной пластине вблизи стенки или стенок канала.
В нашем случае результат получен численно, но для пластины, обтекаемой вблизи границы раздела сред с произвольным 1 < 7 < оо. Отметим также, что из рис. 77 следует, что при обтекании пластины в более плотной среде, то есть когда 0 < 7 < 1 и пластина моделирует кавитирующее подводное крыло, при угле атаки а = 10' с приближением пластины к линии раздела коэффициент подъемной силы возрастает, и причем значительно. При безотрывном обтекании этот коэффициент, наоборот, убывает (сравните рис.
77 и рис. 67). Пусть 11 — длина каверны, определенная как максимальное расстояние от точки А до касательных, проведенных к границам каверны перпендикулярно векторам скоростей набегающих потоков; х+с, яс — абсциссы полюсов спиралей, замыкающих каверну. При расчетах форм линий АС+ и АС было установлено, что 1» щ гпах(хс+, яс).
Зависимости 11~1~' от И71 (1~, — длина каверны в однородном потоке) приведены на рис. 78. Из рисунка видно, что при 7 > 1 с при- 216 Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред 1в/1„ 2.6 1.6 1.2 0.8 0.4 4 6 6 1 2 3 Рис. 78. Зависимости 1т/1е~ от Уу/! пря различиых у: сплошные лввии— а = 10, 12 0.1, 1~~~/1 = 19.50, штриховые ливии— .=90; Е=О.5,1"/1= 15 х — 616 /у//ш 1.73 /у 1= оо Рис. 79.
Формы кееери при 12 = 0.5, а = 90 вблизи свободной поверхиости и твердой степки: сплошные павии — у = О, штриховме лиюуи — у = оо 113. Кавитацвонное обтекание пластинм Рис. 80. Формм хвверв при ('„1 = О.!, а = 8С вблпв поверхвости: 611 = 0.289(а), й/1 и 0.058(8) Рис. 81. К вмволу приближеииых формул (18 28) Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред 218 2Ь 2Ь !и[1+ 9) ' !и[1+ Я),/1 + Ь] [13.28) й)ормулы (13.28) будут справедливы для малых Ь при любых Я. Заключительное замечание к главе 4. Отметим, что метод, изложенный в этой главе, обладает любопытной особенностью: любая задача обтекания, имеющая точное аналитическое решение в случае безграничной жидкости, может быть решена аналогичным способом в случае наличия в потоке границы раздела сред. Это свойство метода использовалось в работах М.В.
Лотфуллина и Д.В. Маклакова при исследования задачи об обтекании пластины с частичной кавитацией вблизи границы раздела [71] и задачи о кавитационном обтекании клина двухслойным потоком [72], в работе Н,Б. Ильинского, М.В. Лотфуллина, Д.В. Маклакова и А.В, Поташева [44] при решении обратной задачи проектирования профиля вблизи границы раздела по заданному распределению скорости, в работе автора [82] при доказательстве теоремы существования о течении двухслойной жидкости над неровным дном.
Незначительная модификация этого метода использовалась также при решении прямой и обратной задач о профиле крыла экраноплана [43], [45]. ближением пластины к линии раздела длина каверны растет. Если 7 = оо, то при приближении пластины к твердой стенке течение постепенно переходит в нижнюю половину течения около клина с углом раствора 2а (см. рис. 79). Поэтому при а = 90' и Ь/1 — 0 длина каверны удваивается, что можно проследить по рис. 78, При 0 ( 7 < 1 с приближением пластины к поверхности раздела длина каверны убывает [см. рис. 78).
На рис. 80 показаны формы каверн для пластины под свободной поверхностью при малых значениях Ь/Ь Эти формы близки к концентрическим окружностям. Нетрудно понять, почему это происходит. На свободной поверхности скорость равна Кс, на поверхности каверны скорость И = 'гав 1г ~/1 + Ц. Таким образом, мы имеем здесь течение между двумя линиями тока, на которых скорости постоянные, но разные, близкое к изображенному на рис. 81. Последнее определяется комплексным потенциалом точечного вихря.
Подсчитав расход Ь'г' между двумя линиями тока, нетрудно получить радиусы кривизны В, и Яв свободной поверхности и поверхности каверны соответственно: Глава 5 Кавитирующий клин в продольном поле силы тяжести В данной главе доказан ряд теорем существования и единственности решения задачи о кавитационном обтекании клина в продольном поле силы тяжести. Эта задача исследовалась несколькими авторами для различных кавитационных схем как в линейной, так и в нелинейной постановках.
Решение для тонкого клина при полной линеаризапии граничных условий получено Акоста [125]. Приближенный метод решения для схемы с параллельными стенками (схемы Жуковского-ЭпплераРошко) в предположении малости угла наклона вектора скорости на свободной поверхности был предложен О.М. Киселевым и Р.З. Губайдуллиной [50]. Лено [167], использовав схемы Герста и Жуковского-ЭпплераРошко, исследовал задачу в точной нелинейной постановке.
Задача была сведена к нелинейному интегральному уравнению, которое решалось методом последовательных приближений. Позднее основные результаты работы [167] были опубликованы в [168]. Похожий способ решения применен Л.М. Котляром и О.В. Троепольской для схемы Кузнецова [53]. Численное решение по схеме с параллельными стенками методом конечномерных аппроксимаций [95] было дано Л.Г. 1'узевским [28]. В работах [29], [167] имеются и доказательства существования решения при весьма жестких ограничениях на параметры. Отметим, что теоремы существования в главах 3 и 4 были установлены с помощью принципа сжимающих отображений.
Это означает, что они носят конструктивный характер и дают метод, с помощью которого можно эффективно найти решение. Однако для задач со свободными границами сжимаемость соответствующего оператора, как 220 Глава 5. Кавитируюший клин в продольном ноле силы тяжести правило, удается показать лишь в очень узком диапазоне изменения исходных гидродинамических параметров задачи.
Поэтому теоремы, справедливость которых установлена таким способом, обычно формулируются следующим образом: "При достаточно малых значениях параметра е решение задачи существует и может быть найдено методом последовательных приближений." Конкретные значения параметра 5, при которых теорема гарантирует существование решения, не приводятся, поэтому подобные утверждения решают вопрос о существовании решения и сходимости метода лишь в принципе. Реальный диапазон изменения малого параметра, для которого метод сходится, устанавливается после проведения доказательства путем вычислениИ на ЭВМ. В настоящей главе исследование вопросов существования и единственности проведено неконструктивными методами. Применены метод сравнения, введенный в гидромеханику М.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
