Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Лемма доказана. 11.3. Теорема существования. Введем банахово пространство В = Нвх Нв х Н, где функции пространства Н„принимают лишь действительные значения, а знак " х" означает декартово произведение. Пусть и = (А, В, )д) — элемент пространства В. Норму в пространстве В определим так: ЦиЦн = тих(ЦЛЦн.,ЦВЦн.,]дд[) Зафиксируем постоянные 0 < е < 1, 0 < ро < т/2, бо (напомним, что искомая кривая Ьг проходит через точку го —— со+ дега).
Обозначим и' = (О, О, .г — рд) и рассмотрим в пространстве В шар Яр . Ци — д 'Ц < р < ро. Так как ро < т/2, то функции В у элементов и б Яр принадлежат множеству Св, где Ь = сов ро, и, следовательно, для оценок оператора Б[Ь, В] применима лемма 4.2. 184 Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред Наша цель — доказать разрешимость системы (11.29), (11.32), (11.33) при достаточной удаленности контура А, от профиля. Достаточную удаленность можно обеспечить за счет увеличения координаты йо точки 1о, причем величину по мы выберем настолько большой, чтобы функции д(з) у элементов и Е Яр принадлежали множеству Ср„и для оценок операторов Б [Л, д, Д (1 = 1, 3) и функционала Б'[Л, з) была применима лемма 4.3. Введем функцию Л(г) = (г+ [Со( з1п ро)/ соз ро.
Покажем, что если в1о > Л(г), г > 1, то функции д у элементов и Е Яр принадлежат множеству Ср„, где р = сов ро/(1+ Ко0. В самом деле, из очевидных геометрических соображений (см. рис, 60) следует, что (п(з)( ( г, если по > Л(г). 0 со Рнс. ЕО. Геометрнческан ннтерпретацпя функции Л(г) Так как г > 1, то при )з( < (1+ )Я)/ сов ро имеем (п(з)( > 1 > )з! = р[з(. 1+ Ь! При /з( > (1+ /~о/)/сов ро имеем ~и(в)( > ссоре~в( — Ко[ = /з/ сов ро — — / > [з! = р[з(, Ко['1 соз Ро ~з~ / -1+Ко[ Таким образом, д Е Сзг и утверждение доказано. 185 111, Теорема существования Введем оператор [Л] = —.
У 1 Г Л(э) об = Б[Л,й = 0]. 2~п' / о — о, (11.80) Сингулярный оператор ы[Л] является линейным ограниченным оператором, действующим из Н в Н . Справедливость этого факта можно доказать, если дробно-линейным преобразованием перевести действительную ось в окружность и воспользоваться теоремой ПлемеляПривалова для гладких линий (см. [97]). Поэтому мы можем записать ЦЦ~ = що(а), где ыо(а) — положительная функция, зависящая только от а и ограниченная при 0 < а < 1. В банаховом пространстве В систему (11.29), (11.32), (11.33) можно записать в виде одного операторного уравнения и = Р[и]. (11.81) Представим оператор Р в виде суммы двух операторов: Р[и] = Ро[и] + Р1[и], где к(т[л, в,б]) 0 э Ро[и1щ ы[Л], Рг[и] = ~ ~Бу[Л,8,11] .
(11.82) 0 о т — А + 8"[В,Р] и = РоР1[и]+ Р1[и]. (11.83) Пусть теперь и,и1 б Яр,[до[ > 6(г),г > г1 > го > 1, где гыго— фиксированные постоянные. Оценив оператор Бо[Л, 8] с помощью не- равенства (11.48) леммы 4.2, получим Цаво[и]Цн„< Ър, ЦЯо[и] — Бо[и1][]н < 2ЪрЬи, (11.84) где Ьи = Ци — игЦв Здесь Яо[Л,Р,Д = Б[Л,й] — ы[Л]. Пусть А[и] = и — Ро[и] .
Тогда уравнение (11.81) эквивалентии следующему: и = А 'Р1[и]. Нетрудно видеть, что А 1[и] = и+ Ро[и]. Отсюда следует, что уравнение (11.81) можно представить так: 186 Глава 4. Препятствия вблизл грапипы раздела сред Заметим, что в лемме 4.3 функции а;(г), 6 (г), у = 1.3, получились в результате суммирования степенных рядов с положительными коэффициентами по отрицательным степеням г. Поэтому эти функции монотонно убывают с ростом г.
Отсюда и из неравенств (11.66)— (11.68) леммы 4.3 имеем $$8 [и]$[н < а'г», $$8 [и] — Б [и1]$[н < Ь'.г» Ьи, з = 1,3, (11.85) где а', = а1(т1)ро, аз = аз(т1), аз = аз(т1), 6[ — — а1(т~) + Ь,(г1)ро, Ьз — — Ьз(тъ) Ьз — Ьз(т|), причем при вычислении а;(т,), 6 (г|) мы положим т = а. Из неравенства (11.69) леммы 4.3 найдем $8'[и]$ < аетзгзт, ]Из[и] — Яд[и1]$ < Ьет тз Ви. (11.86) з $[Т[и]$[н < 6р + г» " а', 1 з $[Т[и] — Ти1]$[н < 26р+ т» 1 6 6[ (Ы. 1 (11.87) Будем обозначать компоненты Л, В, В элемента и просФраиства В индексами Л, В, В соответственно. Из соотношений (11Щ л1$(Д1.86) и леммы 4.3 имеем з [[Рок[и]$[н. < 2 Ьр'+ т ' ) ' а,' о 2 $]Ры[и]$]н. < Ьр'+ т ' ~~~ а,'.
о ]Р о[и] — ' +А] < ° "П"+'>. (11.88) Отсюда следует, что оператор РоР1[и] + Р1[и] будет переводить шар Яр в себя, если Ор +т» 0 <р, а = И+11<1, (11.89) Из тождества Кеы[Л] = О вытекает, что Кеэ[Л,В] = КеЯо[Л,В] и з Т[и] = Ке~ Яу[и]. Отсюда и из неравенств (11.84), (11.85) будем о иметь оценки 111. Теорема существования 187 где 3 3 Р = (2ш'+ 1)б, Р1 = 2аг' ~~1 а'+~~~ а', аг' = плах(1,ша(о)). о о Аналогичным путем найдем, что з ЦР|л[и] — Ргл [ил]Цн < Та 2бр+ г ' ~~~ Ь,' дси, о ЦРлв[и! — Рлв[ил]Цн < 2Ьр -+ г ' ~~~ Ь' Аи, о [Р1в[и] — Рър[ил]] < Ьарг хь сзи, (11.90) з где Та — — 2+ броз+га '~ ~Ь' '/ З,гЗ' Оператор РоР1[и]+ Р|[и] будет сжимающим в шаре Яр, если Ер+ г" 'Е < 1, Ь~г ~11"+'1 < 1, (11.91) где з з Е = (ш" Та + 1)2Ьр, Ес — — ср'То ~ ЬЬ + ~~, ' Ь а о Введем функцию Эта функция выпукла и в некоторой точке р' достигает единственного строго положительного максимума.
Из (11.89), (11.91) и принципа сжатых отображений [46] получим, что решение уравнения и = РоР1[и] + Рл[и] существует и единственно в шаре Яр„р1 ппп(р', ро), если [уо[ > г1ы где = Ь(»," = ([О(р*)]'~"-,Мб;)'+' ", » Сформулируем полученный результат в виде теоремы. ТеоРема 4.1. Если ]по[ > г1ы то в шаРе Яр, сУществУет едннственное решение уравнения и = Ри. Это решение моэгсет бьсть найдено методом прямых итераций. В качестве нулевого прнблнлсення моаесно взять и = и', 188 Глава 4. Препяхсхвяя вблизи границы раздела сред Замечание. Аналогичный результат может быть доказан и для уравнения и = Р[и]. В этом случае с помощью оценок (11.88), (11.90) можно показать, что при достаточно малых р и больших х16 оператор Рх[и] = РР(и] будет сжимающим в шаре Яр, а оператор Рз(и] будет переводить Яр в себя.
О~сюда следует сходимость метода прямых итераций и для уравнения и = Р(и]. 11.4. О справедливости парадокса Даламбера. Докажем, что если заменить условие на бесконечности (11.8) более сильным требованием: ! акг,] ° 64 1 хбС~, пх> -, сЬ "~ ]х]" ' ' 2' (11.92) ! ЙИ' сопе4 1 — — < —, хбб, хп> —, 8х ]х! ' ' 2' то для любого решения исходной краевой задачи (11. 2), (11.4) — (11. 7), (11.92) будет справедлив парадокс Даламбера, В самом деле, рассмотрим окружность Сн бесконечно большого радиуса Я, охватывающую контур профиля (см. рис.
61). Обозначим Рнс. 61. Пухи ннхегрнровавня прн доквзахельсхве парадокса Даламбера через Сн+ и Сн части этой окружности, расположенные в областях 189 111, Теорема сущестэоэаяяя б+ и 6' . Из условия (11.92) имеем Подынтегральные выражения являются аналитическими функциями в областях С+ и 0 соответственно. Проинтегрировав эти функции по контурам Сн+ () Ь и Сн Ц Ь, с помощью теоремы Коши найдем — + с1г — 2 — + + бг = О, (11.93) в А Ь вЂ” о+2) — — 1 В*=1 ( — ) о — —. о!94) Ь Ь Е Ь; Направление интегрирования по контурам Л, Ле указано стрелками на рис.
91, à — циркуляция по контуру профиля, Согласно формуле Чаплыгина-Влазиуса, сила Л, + Ию действу-. ющая на профиль, вычисляется так: Яе — тйг — — — Нг. Умножив (11.93) на 1р ~/2, а (11.94) — на 1р /2 и сложив полученные равенства, с учетом граничного условия (11.3) будем иметь В,-1Л„= 1р И Г+1р T Й(И' — И г)-1р+Р' Й(И'+-['+я). Отсюда следует, что В, = О и парадокс Даламбера выполняется.
Возникает естественный вопрос: когда же для решения будут справедливы неравенства (11.92). С помощью формул (11.9), (11.10), (11.22) можно показать, что эти неравенства эквивалентны соотно- шению сопэг ~Ф(1)~ ( —, тп > —, (1)пз где Ф(1) — интеграл типа Коши цо контуру 1ч с плотностью Л (см. формулу (11.23)). 190 Глава 4, Препятствии вблизи границы раздела еред Покажем, что для всякого решения системы (11.29), (11.32), (11.33), такого что Л Е Нн 0 Е На| 0 Е Сь 0 Е Срр~ функция Ф(г) удо влетворяет условиям (11,95).
В самом деле, пусть и — неподвижная точка оператора РпРг[и]+ Рг[и] и и Е Н„х Нн х Н. В силу неравенства (11.61) леммы 4,2 и неравенств (11.66) — (11.68) леммы 4.3 оператор РпРг[и] + Р[и] переводит решение и в пространство Н х Н х Н, где т — любое число, удовлетворяющее неравенствам О < пг < 1, д < пг < р+ а. Повторив последнее рассуждение нужное количество раз, придем к выводу, что Л Е Н,н, 0 Е Н,н с любым 0 < т < 1.
Переведя контур 54 дробно линейным преобразованием в простой замкнутый н использовав теорему о том, что интеграл типа Коши с плотностью, удовлетворяющей условию Гельдера на контуре, удовлетворяет условию Гельдера вне контура с тем же показателем (см. [97]), убедимся в справедливости соотношения (11.95).
312. численный метод 12.1. Алгоритм решения системы нелинейных уравнений. Данный параграф посвящен численной реализации метода последовательных приближений для решения системы нелинейных интегральных уравнений (11.29), (11.32), (11.33). Как и в предыдущем параграфе, будем считать, что параметр р+ (~/+)? — (р-)г изменяется в пределах 0 < 7 < со, а сам профиль Ьп лежит в области С . Тогда случаю 7 = 0 соответствует обтекание профиля вблизи свободной поверхности, случаю 7 = оо — обтекание вблизи твердой стенки.
Предлагаемый метод, таким образом, позволяет решить обе эти задачи по единому алгоритму. Согласно замечанию в конце раздела 11.3 предыдущего параграфа, мы будем применять для решения системы (11.29), (11.32), (11.33) схему прямых итераций. Для численной реализации метода необходимо в первую очередь провести дискретизацию системы. Для этого на достаточно большом расчетном участке числовой оси Н нанесем сетку узлов зг, г = 1, п + 1.
Функцию 0(з) на этом участке аппроксимируем п-звенной ломаной 0(з) с изломами в точках зу .. 191 О12. Численный метод Цв) = а,в+ 6,, в, < в < в;+1, 1= 1,л, где »»(в1+» ) — й(во ) ау —— , Ь =0(в ) — а.в . ву+» — в» Контур Ь» при такой аппроксимации будет состоять иэ гладко сопряженных между собой дуг окружностей Гу с концами иу, и1+ы у = 1, н. Нетрудно видеть, что если нуль действительной оси В совпадает с одной из точек в1, например, в = О, то (12.1) / = 1,а+1, но —— н»В — и„, +го, где и» вЂ” — О, 1-1 2, / во+1 — вв 'Л во+»+ во 1» и" = ~ — вш ~ав ~ ехр ~»(йв+ав аь»», 2 2 )~, у = 2,в+1. вм1 На каждой из дуг Г действительная функция Л(и) аппроксимируется комплекснозначной функцией Л(и)=А и+Ву, иЕГ1, где Л(ву+») — Л(ву) и +» — и е1 = Л(ву) — А и, у = 1, а, Форма контура Ь» при ( в ~> в„+ы ~в! < в» не определяется, но функ- ция Л(и) аппроксимируется на этом участке выражениями Л(и) = Ао/и, в < в», Л(н) = А„.„»/и, в > в„+ы где Ао = Л(в»)и», А„е» вЂ” — Л(в„+»)и„+д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
