Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Введенная в г7 нормировка конформного отображения г(1) области С~ на С, требовала, чтобы образ вихря лежал на мнимой оси. Для удобства дальнейших рассуждений примем, что абсцисса вихря Р не определена и должна быть найдена в ходе решения задача, зато известно, что (8.3) Х (г) = Х'( г). Тем самым, мы в параметрической плоскости зафиксируем оси симметрии волн на бесконечности, которые будут проходить через точки с = иЕ,/2, в со.
В результате появится новый параметр Р, определяющий фазу волнового цуга. Краевое условие (7,3) примет вид — — з1п т+/о(6- Р,7). (8.4) 6д 2 ехр(Зд) 6~ тРгг /г(Г Р 7) Таким образом, при заданных значениях параметров 7, б необходимо найти функцию Х(г) и параметры а,.0, г" г, удовлетворяющие условиям (7.4) — (7.6), (8.2) — (8.4). Аналитическая в полосе С1 периодическая функция Х'(1) определяет систему нелинейных прогрессивных волн, образованную в результате распространения цуга волн за вихрем справа на бесконечности влево на весь поток. Из (7.1), (7.2) найдем, что комплексный потенциал такого течения дается формулой 2 Иг(1) = -)оН1, и а производная от функции, осуществляющей конформное отображение области С, на область, занятую периодической системой волн, имеет вид Нег'О 6» 2 61 т Из формул (7.1), (7.4) следует, что функция Х (1) удовлетворяе~ краевым условиям Леви-Чивиты [166) на границе полосы Сб — = — ехр(Зд') зш т" прн и = л/2, (8.6) ар 2 6( тг'гг 122 Глава 3.
Нелииейиаи теория докритических течений 1птт* = О при 11=0 и условию симметрии (8.3). Здесь р* = НеХ'((+ 1гг/2), г* = 1птХ*(('+ тг/2). Пусть р(О = йд" /с1с. В силу соотношения (8.3) функция р(с) -периодическая и нечетная. Сопоставив разложения в ряд Фурье функции К'(1) при 1 = ~ + иг/2: Х'(1) = ~ А„сов(пи1) + ~ В„зги(поп) «=О (А„, „— действительные, м = 2т/Ь) и функции 11((), найдем (8.7) где ссеЫг о1 ч 1 сЬ кдо1 2 ~ сЬ (1+ к)) ' Из формул (8.5) — (8.7) следует, что функция р(г) может быть найдейа из следующего нелинейного интегрального уравнения: р(С) = Еехр(ЗМр)згп(ТМр). Здесь Мр, Тр — линейные интегральные операторы Сг'2 5(и) = — с18 — + ~ ~г1й(к — о1) — 1)з1пко1и = 2 2 2 з)1(и+ к1)' Е ке — е " 1 1.
з'о в ~г~ 123 18. Численно-аяалитический метод В качестве параметра, определяющего нетривиальное решение уравнения (8.8) при фиксированных Ь, возьмем величину ь/2 А = р(с) 4( = р'(ь/2) — р'(О). а (8.10) Легко видеть, что физнческий смысл параметра А состоит в следу- ющем: 1Ъ !и— Ур при А < О, 1'р !и — при А>0, где Ра, гр — скорости в горбах и впадинах волн соответственно. При А = 0 поток жидкости невозмущен, при ~А~ = оо волны являются предельными с углом в 120' при вершине. Система (8.8), (8.10) после дискретизации эффективно решается методом Ньютона, поэтому функции р = р((, А), Е = Е(А) — = Л(б) + 1(Я)р((, А), (8.11) где 1(г,) = 0 при ( < р, 1(с) = 1 при ~ > р.
В представлении (8.11) выделена асимптотика поведения производной бр/д( на бесконечности справа. При этом согласно теореме 3.2 функция Л(() быстро убывает при больших ф; (Л(~)) < сонэ! е (8.12) Функция Л(!) может быть построена по заданной действительной части р(() на верхней границе полосы и краевому условию (7А) (см. [51]): рЫ) 48 я / сЬ(( — !) (8.13) можно считать известными. Перейдем теперь к выводу основного нелинейного интегрального уравнения задачи. Выберем число р = п1,, где и — натуральное, и будем искать функцию Ор/д( в виде Глава 3. Нелинейная теория докритических течений 124 г='Гр= — () ()об, (8.14) Из формул (7.5), (8.4), (8.11), (8.14) выведем интегральное уравнение для определения функции Л(5): 2 ехр(31(н)г(~, А) + ЗМЛ] Л(н)— 7 (в 1~ 7) (8.15) +Ус(в — 1Л, 7) — 1(в) р(о, А).
Здесь г(а, А) = р(5, А) 45, МЛ = ЛЯ) 45, о — се ьуг 1 ! Г„(о, А) = — — ~ г(о, А) [Яг (в — 5) + Яг (в + 5 — Ь)) 45, о 1 ~ вй(н — кь) (8.16) В уравнении (8.15) функции г" (н, А) и г(н, А) являются функциями влияния бесконечного цуга волн. Они вырагкаются через р(в, А) и являются известными. Для того, чтобы уравнение (8.15) перешло справа на бесконечности в уравнение (8.8), необходимо выполнение условия (8.9).
В силу (8.11) имеем Отсюда выведем равенство — 3 Л(~) о4 2 — г = Е(А)ехр (8.17) Из формулы (8.13) легко получить интегральный оператор, связы- вающий действительную и мнимую части функции Л(т) на веРхней границе полосы С~ при и = н/2: 18. Численно-аналитический метод Соотношение (8.17) служит для определения числа Фруда. В уравнении (8.15) помимо числа г'г входят еще два неизвестных параметра )Л и А, для определения которых необходимо получить два дополнительных условия, замыкающих задачу.
При выводе этих условий существенным является неравенство (8.2) теоремы 3.2, а именно, тот факт, что степень экспоненциального убывания правых частей этих неравенств равна — 25. Следует отметить, что зто свойство присуще только докритическому режиму обтекания. В случае сверхкритнческого режима, как показано в [115], [Л(1)[ < сопэ1е где О < о < 1,5 » 1. Физически неравенство (8.2) означает, что с ростом е колебания свободной поверхности вниз по потоку быстро становятся периодическими. Проинтегрируем функции [Л(1) — Л(1 — 1)]е ' по границе полосы См обходя бесконечно удаленные точки по вертикальным отрезкам прямых.
В силу (8.2) это интегрирование возможно. После некоторых преобразований получим два соотношения ОО Б/2 е~г Ь Л(5)етс 85 = / р(с,А)з)1( — — 4)ос, (8.18) зЬ(Ь/2) ./ ' 2 где знаки + или — следует брать одновременно в левой и правой частях. Соотношения (8.18) замыкают задачу определения Л(5), О, А, г'г. Можно показать, что условия (8.18) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы оператор, стоящий в правой части уравнения (8.15), переводил множество функций, удовлетворяющих неравенству (8.12), в себя. Система (8.15) — (8.18) представляет собой замкнутую систему соотношений для определения функции Л(() и параметров Р'г, 11, А и после дискретизации решается методом Ньютона. Для дискретизации системы (8 15) — (8.18) на оси 5 выделим расчетный интервал [о, р]; д » 1, р » 1, р = пЬ. На интервал [е, р] нанесем сетку узлов 5;, 1 = 1, М, 51 — — о, бм = р и будем искать значения Л, = Л((;).
Вне [д, р] функцию Л(О положим равной нулю. Численное интегрирование в уравнениях (8.15) — (8.18) будем проводить путем аппроксимации подыинтегральных функций кубическими сплайнами. В результате из (8.15) — (8.18) получим систему У + 3 уравнений 126 Глава 3. Нелинейная теория докритяческях течений с Н + 3 неизвестными Л;,1 = 1, Н. Р,А, Гг. Параметр а также будем искать в ходе общего итерационного процесса присоединением к системе (8.15) — (8.18) уравнения (7.6), Отметим, что точка р = пЬ является точкой склейки решения, полученного на расчетном интервале [д, р], с бесконечным периодическим цугом волн на интервале [р, оо]. Практика расчетов по предлагаемому алгоритму показала, что независимо от Т при д < — 5,р > 5 величины Л(р), Л(д) имеют порядок 10 ч, что обеспечивает вполне удовлетворительную склейку решения на участке [д,р] с бесконечным цугом волн при ~ > р и невозмущенным потоком при С < д.
Таким образом, правую границу р = аЕ расчетного интервала в данном методе при Ь > 5 можно выбрать равной Ь, что и позволит производить расчеты очень длинных волн. Напомним, что в методах, развиваемых в статьях [184], [144], [158], [174], правая граница расчетного интервала должна содержать 4 — 5 периодов волн. 8.2. Подъемная сила и волновое сопротивление вихря. Пусть С, и ф— козффициеиты волнового сопротивлении и подъемной силы вихря, отнесенные к ра Ц, 'Н(2, где ро — плотность жидкости. По формуле Чаплыгина-Блазиуса имеем Са — 1Ст — — г7е х1п+ы1 (2+ — [2 сгй 2а+ гх'(Р+ 1а)]) . (8.19) 4 Однако волновое сопротивление можно подсчитать и с помощью тео- ремы об изменении количества движения, В результате получим «~г Се = 2 — — + — — — 1 — — 1 е " 4п, (8.20) Н Ргг1Н ] „ / о где у' — ордината горба (при А < О) или впадины (при А > О) волны на бесконечности, т/г ахцоН 60 у' 2 7 °; Н т о Формулы (8.19), (8.20) являются мощным средством проверки правильности расчетов, так как величина С, мала и очень чувствительна к численным погрешностям.
Предложенный алгоритм позволяет добиться совпадения значений С~, подсчитанных зтими двумя независимыми способамн, с точностью до 10 127 18. Численно-ааалитвческий метод 8.3. Предельные режимы обтекания. В предлагаемом методе число Фруда заранее не задается, а определяется в ходе решении задачи, зато фиксируется длина волны Ь в параметрической плоскости.
Вместо 0 < Е < оо при выполнении числовых расчетов удобно ввести параметр з2/Ь (8.21) Для малых Ц, согласно линейной теории, Ь, = 2НЬ/т (Е; — длина волны в физической области течения справа на бесконечности), а число Гг связано с длиной волны Ь; дисперсионным соотношением (8.22) Из (8.21), (8.22) следует, что для малых Ц имеем Ег ш Р', Отклонение числа Ег от Е будет являться следствием нелинейных искажений.
Введем понятие предельного режима обтекания. Пусть значения Ег в 5/Н фиксированы, При 7 = 0 решением задачи является равномерный поток, движущийся со скоростью гш Будем увеличивать параметр возмущения 7, стремясь достичь максимальных значеннй Ц, пря которых возможен стационарный режим обтекания с образованием волн вниз по потоку. Соответствующее такому 7 течение будем называть предельным режимом обтекания. На рис. 32 показаны результаты систематических числовых расчетов, проведенных при Ь/Н = 0.5и Г = 0.3,0А,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.98. Снлошными линиями изображены кривые 7 = 7(Ег) при г' = сопзг . Для каждого Е путем постепенного увеличения 7 достигались максимально возможные циркуляции. Как видно из рис. 32, существенные отклонения чисел Ег от Е имеют место при Ег ) 0.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
