Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Концы кривых 7(Ег) соединены штриховыми линиями АВ и РЕ. Кривые АВ и РЕ вместе с ВС (Г = 0.98, 7 < О) и СР (Г = 0.98, 7 ) О) ограничивают в плоскости (Гг, 7) область, определяющую те значения параметров Ег и 7, при которых возможен стационарный докритический режим обтекания вихря. Зависнмости 7(Ег) для кривых АВ, РЕ и ВСР характеризуют три типа предельных режимов, полученных при расчетах обтекания вихри. Назовем их соответственно режимами разрушающегося цуга волн, разрушающегося гребня нвд вихрем я водослива. 128 Глава 3. Нелииейиая теория докритических течений 1.2 0.8 — 0.6 0.2 0.8 0,4 Рис. З2. Обяасть значений Рт и у, при которых аозможеи стаииоиариътй яокритический режим обтскаяия вихря 8.4. Иредельный режим типа водослива. Линии ВС и С.0 на рис.
32 представляют собой зависимости 7(Гт) при Г = 0.98. При ятом Ь = 27.95 и генерируемый вихрем пуг практически является "цугом уединенных волн". Таким образом, при переходе течения в водосливный режим длина волн волнового цуга увеличивается вплоть до бесконечности. На рис. 33 показаны зависимости Е,/Н от г'г при фиксированных 7. Как видим, существуют числа Гг, при которых эти зависимости имеют вертикальные асимптоты. Случай 7 = 0 соответствует линейной теории, согласно которой Ц/В = со прн Гг = 1 1формула (8.22)). На рис. 34 показаны формы свободных поверхностей при Гг = 0.831, Ь/В = 0.222 и двух значениях 7 < О. Кривая 1 соответствует 129 18.
Чвслевио-аналитический метод 16 15 12 .3 .4 .5 ,6 .7 .8 .9 1 Рпс. ЗЗ. Заепсзсмостп длввы холмы Ез от числа Рс прп рахавчвых у (маркеры — расчетные точки) 0.1 -0.1 -О. 2 х(Н 0 3 6 9 12 15 Рис, 34. Формы свободных поверхвостей прв Рт = 0.831, Е)Н м 0.222: кривая 2 — репам обтекаввя, блвзкпй к водослпввому щтрвхоьав лвввл — результаты вз 1184) 130 Глава 3. Нелинейная теория докритических течений минимальному 7 = — 0.2234, достигнутому в работе (184]. При этом .5(/Н = 6.48.
Развиваемый в настоящей книге метод позволяет генерировать волны значительно большей длины. Положив Е = 0.98, при 7 = -0.244 получим Рг = 0.831 и Ь(/Н = 15.0. При у = — 0.244 (кривая 2 на рис. 34) гребень первой волны значительно удален от вихря и течение жидкости в сечении х/Н = 7.0 близко к одномерному.
Это течение состоит иэ двух слабо взаимодействующих между собой частей: цуга очень длинных волн справа и безволнового течения по схеме рис. 35 слева, которое мы будем называть предельным режимом типа водослива. Для схемы рис. 35 поток является докритическим слева на бесконечности и сверхкритическим справа. Такое явление имеет место на водосливах с широким порогом, отсюда и название режима.
Для схемы рис. 35 с помощью уравнения Бернулли и условия сохранения расхода легко получить точные аналитические формулы для величин )3 = Н)/Н, С, и числа Фруда Рг(со) в сечении на бесконечности справа: Е= — (1.~ге.',.г(Р~), с,=, г ( )=Ф'а. (823) гг'гт (1 —,3) з 4 2)3т Рис. 35. Схема предеаъиого режима обтехаиии типа водосаива В табл. 4 приведены значения (8 для течений, характеризуемьп кривой НС на рис. 32 (в качестве Н) выбрана минимальная высота свободной поверхности над дном), н значения )3, Ег(оо), полученные из (8.23).
Хорошее совпадение результатов в третьей и четвертой колонках табл. 4 говорит о том, что при Р = 0.98 (Ь = 27.95) действительно реализуется режим обтекания вихря, близкий к водослнвному. Отметим, что, вообще говоря, водосливный режим должен иметь место при Р = 1, когда Ь = оо, Укажем, что в работах (176], [178], (187] асимптотическими методами теории мелкой воды для задачи о течении жидкости над неровным дном также установлено, что с увеличением чисел Рг про- 131 $8. Численно-аналитический метод Таблапа 4 Злачеапл о,получелпмепрп Г = 0.98 и по формулам (8ДЗ) исходит вырождение цуга кноидальных волн за препятствием в цуг уединенных.
В работах [14Ц, [133] водосливные режимы для неровного дна исследованы в точной нелинейной постановке, но они не рассматривались как течения, являющиеся предельными для волновых. Предлагаемый метод позволяет, решая задачу в точной постановке, "проследить" за переходом волнового течения в водосливный режим при увеличении чисел Гг. 8.5. Режимы разрушающегося цуга и разрушающегося гребня. Согласно уравнению Бернулли высота свободной поверхности не может быть болыпе величины [8.24) ум໠— Нс г ~2 ° При достижении этой высоты на свободной поверхности должна образоваться угловая точка с углом в 120' при вершине. Кривые АВ и ВЕ на рис. 32 определяют течения, максимальная высота свободной поверхности которых близка к максимально возможной и составляет не менее 85% величины, заданной формулой [8.24).
Поведение свободной поверхности для случаев у < 0 [положительная подъемная сила) и ч > 0 (отрицательная подъемная сила) качественно различно. При 7 < 0 за вихрем образуются волны, каждый последующий гребень которых имеет большую или равную высоту по сравнению с предыдущим. Такое поведение свободной поверхности наблюдалось при у < 0 для всех рассчитанных случаев, включая и течения, соответствующие кривой АВ на рис. 32. Подтверждением сказанному служит табл.
5, в которой приведены значения ординат первых четырех гребней волн для кривой АВ при различных числах Фруда. Здесь б — отношение максимальной высоты свободной поверхности к величине НРге/2 в процентах. Периодический цуг волн при расчете данных табл, 5 присоединялся, начиная с четвертой волны, то есть для р = 35. При г"г > 0.55 высоты всех гребней получились 132 Глава 3.
Нелинейная теория докрнтнческнх течений Ордияаты первых четырех гребве» примерно одинаковыми, Исходя нз сказанного, можно предположить, что достижение свободной поверхностью высоты НЕ гг/2 будет иметь место при 7 < 0 на гребне у волны иа бесконечности справа. Схема хакого теченнн, кохорое мы будем называхь предельным режимом типа разрушающегося цуга волн, показана на рис. Зб. НРгг 2 2я/ 7о < 0 Рис. Зб. Схема предельного режима обтекания типа раэрушаюжегося луга воля НР г/2 )7о)0 Рис.
37. Схема предельного режима обтекания тена разрушающегося гребня пад вихрем На рис. 38 (кривая 1) показана форма свободной поверхности для течения, близкого к зтому предельному режиму, при Гг = 0.572 и Ь/Н = 0.525. Минимальное значение 7, достигнутое настоящим методом, равно — 0.1776.
Высоты всех гребней получились примерно одинаковыми (уг/Н = 0.1428, уг/Н = 0.1438, уз/Н = 0.1438, у4/Н 0.1438). Пуг периодических волн присоединялся, начиная с четвертой волны (р = ЗЬ = 9.408 > 5). При р = 2Ь получились практиче- 133 18. Численно-аналитический метод ски те же результаты.
Крутизна к волнового цуга на бесконечности (к = 2Ар/Ьг', где Ар — амплитуда волн) равна к = 0.1283. Штриховой линией нанесена кривая из работы Салвесена и Кержека [184] для минимального значения 7, достигнутого этими авторами: 7 = — 0.179. Согласно [184] имеем; у1/Н = 0.142, ут/Н = 0.1365, я = 0.12. уш х/Н = г.гт/2 у/Н .16 .12 .08 ,04 .00 1 0 1 2 3 4 т/Н Рис. 38, Формы свободной поверхвоста нри Уг = 0.572, Ь/Н и 0.525: 1 — т = -0.1778 (разрушающийся пуг), т м -0.179 ([184]); 2— у и 0.212 (максимальное значение в ([184]); 3 — у и 0.335 (разрупппощийся гребень над вихрем); штриховые ливни— результаты из [184] Полученное нами незначительное расхождение результатов от [184] в величинах предельных 7, высоты вторых гребней и небольшой сдвиг по фазе формы свободной поверхности, начиная со второй волны, могут быть, видимо, объяснены произведенным в [184] обрезанием волнового цуга вниз по потоку.
При 7 > 0 максимальное возвышение свободной поверхности для всех рассчитанных случаев наблюдается на горбе, образующемся непосредственно над вихрем (см. рис, 38, кривые 2 и 3). Предельным режимом в этом случае должно быть течение, схема которого показана на рис, 37. Этот режим мы будем называть режимом разрушающегося гребня над вихрем. Па рис. 38 (кривая 3) показана форма свободной поверхности для течения, близкого к предельному, при 7 = 0.335. Амплитуда волнового цуга здесь значительно меньше максимально возможной.
Кривая 2 на рис. 37 построена для максимального значения 7 = 0.212, достигнутого в работе [184]. 134 Глава 3. Нелннейнан теория докрнтнческнх течений 8.6. Явление периодического исчезновения волн. Отметим, что амплитуда волнового дуга для течения, близкого к предельному (у = 0.335), меньше, чем амплитуда в промежуточном состоянии (т = 0.212), а зависимость С,(т) в диапазоне 0.212 < у < 0.335, который не был рассчитан в (184), имеет точку максимума (рис. 39, кривая 1). Наличие участка убывания волнового сопротивления на рис. 39 наводит на мысль о возможности существования докритических течений, у которых т = О, а волны вниз по потоку отсутствуют. С, .ОГ6 .014 .012 .010 у<0 .008 .006 .004 у>0 .002 Ь! .00 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 Рнс.
89. ззввснмссзн сз(т) днн ее = 0.872, Цн = ов26; мзркеры— результаты нз (284) Такую возможность демонстрируют графики на рис. 40-44. На рис. 40 показана зависимость С ( г) при г'г = 0.5 и Ь/Н = 0.5. При у = 0.4215 имеем С, О, а свободная поверхность симметрична относительно оси, проходящей через точку расположения вихря, и не имеет волн ни вверх, ни вниз по потоку (кривая 2 на рис.
41). При дальнейшем увеличении у над вихрем образуется второй горб, высота первого при атом стремится к максимально возможной величине НЕ'гт/2 (кривая 3 на рис. 41). На рис. 42 приведена зависимость С,(т) для Рг = 0.4 и г"г = 0.5. Здесь по мере возрастания т волновое сопротивление исчезает уже три раза. Соответствующие формы свободных поверхностей показаны на рис. 43. Эти симметричные безволновые свободные поверхности имеют уже один, два или три гребня над вихрем. Состояния, промежуточные к безволновым, продемонстрированы на рис. 44. Таким образом, при Гг = 0.5 выход на предельный режим ти- 135 $8, Численно-аналитический метод 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Рис, 40. Зависимость С 1 у) для Ре = 0.5, ув~Н = 0.5,ч > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
