В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 9
Текст из файла (страница 9)
11.!. Зависимость формы каверны от числа кавитаини: а — х)0; б — х(0; в — хт)х )х )О В связи с этим ряд ученых предложил различные теоретические схемы кавитационных течений. Многие из этих схем построены для частных случаев течений, и их применение весьма ограничено. Рассмотрим некоторые из этих схем, получивших применение при решении кавитационных задач (рис.
11.2). Схема Кирхгоффа (рис. 11.2, а) — одна из старых известных схем — предполагает струйное течение вблизи тела, уходящее вниз по потоку на бесконечность, так что давление внутри каверны р„ = р , скорость свободной струи на границе и', = 'и', а число кавитации х = О. В дальнейшем схема Кирхгоффа была видоизменена различными авторами для общего случая х + О. Так, в частности, Н. Е. Жуковский и Рошко предложили схему замыкания струй на две параллельные полубесконечные горизонтальные пластинки, на которых скорость изменяется от 1', (рис. 11.2, б) до У . Рябушинский построил схему обтекания пластинки с замыканием 66 является критической, т.
е. скорость в ней равна нулю. Это противоречие называется парадоксом Бриллуэна. Кроме того, в реально существующих кавитацнонных течениях не происходит смыкания верхней н нижней границ каверны, хвостовая часть каверны пульсирует, а в ряде случаев периодически разрушается, образуя тонкий турбулентный след, содержащий пузырьки воздуха, попавшие в каверну вследствие диффузии газа из окружающей среды. 8 б усо )х Рс р Рис.
11.2 Теоретические схемы плоских кавитационных течений: а— ' Кирхгоффа (струйное течение); б — Н. Е. Жуковского — Рошио; в— Рябушинского (схема с зеркалом); г — схема Т. Ву; д — Д. А. Эфроса (схема обтекания с обратной струйкой); е — А. В. Кузнецова; яг — М.
Тулина первая (с односпиральными вихрями); з — М. Тулина вторая (с двух- спиральными вихрями). 67 струй на зеркально расположенную пластинку (схема с зеркалом). На рнс. П.2, в дана более общая схема Рябушинского. В дальнейшем исследователем Т. Ву эта схема была использована прн рассмотрении более общего случая обтекания произвольного профиля с замыканием струй на короткую вертикально расположенную пластинку (рис.
П.2, г). Широкое применение находит схема обтекания с обратной струйкой, предложенная в 1945 г. Д. А. Эфросом. По этой схеме каверна заканчивается обратной струйкой, уходящей через сток на вторую Римаиову плоскость, а затем в бесконечность (рнс. П.2, д). Образование обратной струйки наблюдается экспериментально, однако, попадая в каверну, обратная струйка вызывает разрушение хвоста каверны. Переход обратной струйки на вторую Риманову плоскость представляет собой чисто математический прием, необходимый для решения задачи.
А. В. Кузнецов, развивая схему Д. А. Эфроса, предложил в 1964 г. схему, в которой жидкость за каверной затекает в обратный канал с бесконечными стенками, но, в противоположность схеме Д. А. Эфроса, течение в этом канале изменяет еще раз направление так, что за каверной критической точки нет (рис. П.2, е). ~ В 1964 г. М.
Тулин предложил для случая х + 0 две схемы, довольно хорошо описывающие реальные кавитационные течения. Обе этн схемы предполагают, что вниз по потоку за каверной находится тонкий след, исчезающий на бесконечности. В первой схеме М. Тулина каверна заканчивает~;я односпиральными вихрями, в центре которыхскорость на грайицескачком изменяется от 1~, до нуля, за каверной образуется'гладкий тонкий след (рнс. П.2, ж). Во второй схеме М. Тулина каверна заканчивается двух- спиральными вихрями, в центре которых скорость на границе скачком изменяется от $~ до Є— скорости на бесконечности (рис.
П.2, д). Применение той или иной схемы обусловлено граничными условиями задачи: первая схема (с односпиральными вихрями) целесообразна прн рассмотрении случая кавитационного обтекания в безграничной жидкости, вторая схема (с двухспиральными вихрями) — случая обтекания вблизи свободной поверхности при больших числах Фруда. Как показано в 17], двойной спиральный вихрь представляет собой единственную форму соединения в одной точке двух линий тока с разными скоростями. Одна нз них образует границу каверньц вторая соответствует границе следа за каверной. Вблизи центра вихря (особая точка) струи закручивается в спираль с бесконечным числом витков.
Для получения скачкообразного изменения скорости в центре каждого вихря течение должно иметь особенности. й 2. Методы решения задач Решение задачи о кавитационном обтекании тела может быть выполнено различными методами, однако обычно выбирают тот, который требует наименьшей затраты времени. При решении задачи определяют форму границы каверны, поле скоростей и давлений вблизи кавитирующего тела, и, наконец, силы и моменты, действующие на тело со стороны жидкости. Сравнительно простые решения получают для плоских задач. Принятые в настоящее время методы решения задач могут быть сведены я к двум: а) метод потенциала н 0 скоростей; о б) метод особенностей 1! (источников и стоков, вихрей).
6 При решении плоских задач первым методом ис- Рис. 11.3. Схема отрывного течения. пользуют теорию струй идеальной жидкости, а также решения краевых задач. Второй метод более универсален, его применяют при рассмотрении как плоских, так и пространственных кавнтационных течений. Ранее всего и наиболее полно были разработаны методы теории струй, и поэтому они нашли наиболее широкое применение при решении плоских задач кавитационных течений. При этом методе используют математический аппарат теории функции комплексного переменного Суть метода состоит в том, что течение на физической плоскости преобразуется на вспомогательную плоскость с помощью некоторой преобразующей функции, которую в процессе решения необходимо найти.
Вспомогательную плоскость выбирают такой, чтобы ьюжно было получить наиболее простое решение. Способы определения преобразующей функции отличаются различной формой представления преобразующей функции (вспомогательной плоскости), и большинство из них известны под именами их авторов — Кирхгоффа, Н.
Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина и др. Прежде чем перейти к рассмотрению этих способов, остановимся на существе задачи о кавитационном течении. Для решения задачи необходимо найти комплексный потенциал течения ж = = ~р + 1ф Основываясь на теории струй идеальной жидкости, легко представить себе плоскость комплексного потенциала. Пусть в потоке несжимаемой идеальной жидкости находится тело АОВ, за которым образуется отрывное течение (рис.
11.3). Поток имеет линии разрыва ОАМ и ОВУ, между которыми образуется область П, заполненная газом или паром. Предположим; что в этой области, называемой каверной, газ находится в состоянии покоя ($'„= О) и давление постоянно. В области 1, занятой жидкостью, скорость н давление вверху по потоку на бесконечности постоянны н соответственно равны У н р, поле скоростей непрерывно и потенциально. Положим, что каверна простирается вниз по потоку до бесконечности, т. е.
обтекание происходит прн нулевом числе кавнтацнн (схема Кирх- гоффа). Известно, что комплексный потенциал течения определяют с точностью до произвольной постоянной. Поэтому, принимая во внимание, что в точке разветвления потока О потенциал «р =- О, а) з) В> Ф Рнс. П.4. Плоскость комплексного потенциала при кавитационном обтекании: а — в безграничной жидкости — по схеме Кирхгоффа; б — в безграничной жидкости — по первой схеме И.
Тулина; в— в безграничной жидкости — по второй схеме М. Тулина; г — вблизи свободной поверхности — при струйном обтекании. мы вправе считать н функцию тока «р = О вдоль линий ЯОАМ н ЦОВЖ. Так как на бесконечности (вверх н вниз по потоку) скорость имеет конечное значение У, то потенциал «р вдоль линии тока изменяется от +со до — оо. Действительно, скорость У вдоль линии тока 5 связана с потенциалом формулой У= з, а )ппУ = У„прн з- ач Следовательно, для того„чтобы скорость на бесконечности была конечна, должно быть выполнено условие «р = оо прн з = ~со. Кроме того„вследствне неограниченности течения на физической плоскости функция тока «р должна изменяться также от — оо до +со. Таким образом, в рассматриваемом частном случае плоскость комплексного потенциала представляет собой плоскость с горизонтальным полубесконечным разрезом от начала координат в сторону положительных значений (рнс.
П,4, а), 60 Иг ! дв 7~ (11.2.1) где $' = У, — — Л'„— комплексная скорость течения. Если ь (гв) найдена, то Йз=~(ю)ди и г=) ~(гв)йв. (П.2.2) Таким образом, найден профиль каверны. Способ удобен при рассмотрении задач о кавитациоином обтекании тел, границы которых состоят из отрезков прямых, так как здесь легко определить граничные значения функции. Так как скорость на твердых границах (на участках прямых) имеет постоянное направление (угол), а на свободных границах (каверна) — постоянное значение, то на плоскости Ь твердые границы изображаются в виде лучей, а свободные границы— в виде окружности.
Представим вспомогательную функцию в параметрическом виде: ~ш 1Р! (П,2.3) где ~ Ц вЂ” модуль комплексной скорости; 0 — аргумент функции ь(агя ь). В первом случае 0 = сопз(, т. е. агя ь =- сопз1., и мы получаем уравнение луча, И При числах кавитации х + 0 длина разреза будет конечной (первая схема М. Тулина). В случае же замыкания каверны на параллельные стенки или окончания каверны двумя спиральными вихрями с противоположным направлением вращения (вторая схема М.
Тулина) плоскость комплексного потенциала также имеет полубесконечный разрез, однако берега разреза соответствуют не только границам каверны, но и твердым горизонтальным стенкам (рис. П.4, б и в). В случае же кавитационного обтекания тела вблизи свободной границы (при больших числах Фруда) плоскость комплексного потенциала ш будет имегь кроме полубесконечного разреза линию постоянного значения ф„соответствующую заданной глубине погружения (рнс. П.4, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
