В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В случае замкнутого контура, имеющего непрерывную касательную, интенсивность вихревого слоя в каждой точке контура равна модулю касательной скорости течения в этой точке, что дает возможность получить интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода у(5) = — „$ "" ' у(5)с(5+2Г„созт. (П.2.17) с В общем случае кавитационного обтекания профиля можно -рассматривать систему тело (крыло) — каверна как сложный контур, составленный из контура профиля тела (к,), свободного сот кавитации; границы каверны (Г); контура, на котором замыкается каверна (к,).
Выражение (П.2.17) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, из которого определяется неизвестная интенсивность циркуляции у (5). Уравнение (П.2.17) решают методом последовательных приближений. Неизвестную границу каверны определяют по уравнению (П.2.16), в котором у (5)— :постоянная величина, найденная согласно уравнению (П.2.17). В случае замены границы тела и каверны особенностями типа источников и стоков используют известные из кинематики ,жидкости формулы для комплексного потенциала и комплексной скорости.
Составляют выражение для суммарной скорости, обусловленной скоростью потока, присутствием тела в потоке, .а также распределенными по поверхности каверны неизвестными источниками и стоками..С помощью граничных условий на ка:верне составляют интегральное уравнение для нахождения неизвестной интенсивности особенностей и их распределения по телу и каверне. При распределении особенностей вблизи тела должны быть учтены принцип аналитического продолжения и условие непротекания. Наиболее простые решения получают в случае тонких тел, г. е. таких тел, у которых углы, образуемые между касательными :к контурам тела и каверны и осью х,.малы. й 3. Струйное обтекание пластинки.
Решение задачи с помощью способа Н. Е. Жуковского Рассмотрим теперь решение задачи о струйном обтекании пластинки с помощью способа Н. Е. Жуковского (рис. П.7, а). В этом случае, согласно (П.2.4), преобразующая функция имеет вид У ы=!п~=1п= (П.З.1) к или в параметрической форме а = 1п =" + 10, где Р = — — комплексная скорость течения; 0 — угол. между — Й~ касательной к линии тока в данной точке и осью абсцисс. г) Рис. П.7, Решение аадачн о струйном обтенаннн пластинки с помощью способа Н.
й. Жуковского: а — физическая плоскость течения; б — плоскость комплексного потенциала и! а — плоскость м. Согласно идее способа обе функции (го и га) выражают через параметрическое переменное 1, изменяющееся в верхней полу- плоскости, а затем используют соотношение (П.2.4). После преобразования перепишем: л (1) = — ~( е" <с — сИ. г~1 (П.3.2) Как уже указывалось, при струйном обтекании пластинки плоскость комплексного потенциала представляет собой плоскость с полубесконечным разрезом вдоль положительной оси абсцисс (рнс.
П.7, 6). Рассмотрим теперь вспомогательную плоскость го = 1п =" + Г + 10 и проследим изменение функции го на границах течении. 69 св везде в верхней полуплоскости — аналитическая функция. Конформность нарушается только в точках 1 = О и 1= сю, так Й~ Йв как в первой точке — = О, а во второй — =- оо. ч'! Ж Преобразуем теперь на полуплоскость 1 функцию ьь Как видно из рис. П.7, в, область изменения со представляет собой полуполосу, которую можно рассматривать как треугольник, одна из вершин которого — С находится в бесконечности. Для преобразования воспользуемся интегралом Кристоффеля — Шварца, рассматривая при этом отображение течения внутри треугольника на верхнюю полуплоскость (П.2.13). Координаты точек а, в (И.2.13) соответствуют рис.
П.7, г„ л. 1 А: а,= — 1; ла= —; сс,= —; 2 ' 2 л . ! В: а,= — 1; лсс,= — а,= — ' 21 (П.3.4) С: а,=-О; лсс,=О; ссв=О. После подстановки условий (П.3.4) в (И.2.13) и промежуточных преобразований получим: Й е=Сг ( . +С2. 3 гУ!' — ! На границах каверны ~ Ц =-- 1'„= г'„, тогда функция св имеет к„ чисто мнимые значения, а именно!п =" =-1п1= — О, со =-- 1О, У т.
е. значения функций св находятся на мнимой оси плоскости. Аргумент же функции изменяется следующим образом: на линии В1!, как видно из рис. П.7, в, 0< 10 (! на линии АВ 1 —" ~ 10~ 1л. 2 Таким образом, может быть найдено положение точек АВО на плоскости св. На пластинке АВ скорость изменяется от О до некоторого конечного значения, поэтому функция св — — комплексная величина. Значение аргумента 0 на пластинке постоянно и равно: на участке С — 0 =- О; на участке СА — 0 = л. Таким образом„на плоскости ш части пластинки располагаются: ВС вЂ” на оси абсцисс, АС вЂ” параллельно осн абсцисс на расстоянии равном л.
Для дальнейшего решения задачи преобразуем плоскости св и ы на верхнюю полуплоскость й При соответствии точек, указанном на рис, П.7, г, функция св преобразуется на плоскость 1 с помощью формулы св = %о! а! . 1 и г ~/'! — ! = — агса)п — + —. 2 Тогда формулу (П.3.5) переписываем так: ы (1) = С, ( — агса(п — + — ) + С,. (П.3.7) Подставив первое и второе условия (11.3.6) в (П.3.7), после преобразований получим: С! = — 1 и С~ = Ы.
(П.3.8) При учете выражения (П.3.7) функция в (1) приобретает вид го(!) = — 1и ()агса(п — ) +— (П.3.9) Используя известные соотношения между обратными тригоно- метрическими и логарифмическими функциями, получим: ы(!) — 1п (ф 1 — —, + — ) -(- —. (П,3.10) Тождественность (П.3.9) и (П.3.10) легко проверить дифферен- 1 цнрованием. Или, принимая во внимание, что 1п(= — 1п — 1 = 1 = — )л, наидем: 1о (1) = 1п + л( при О < ! ~ 1; 1+ Р'! — ! м(1) = 1п при О > ! = — 1. (П.3.11) 1+ К'! — Р Так как 1п-= 1п е"', то формулы (П.З.! 1) можно преобразовать к виду: (П.3.12) 71 Дополнительные условия в точке А го (1) =- (п; в точке В в ( — 1) = О. Интеграл, входящий в имеет вид: для определения постоянных С, и С~: (П.з.б) (П.3.5), — табличный.
Его решение Сопоставляя (П.3.12) и (П.3.1), получим: — !п — = !ив йо 1+1' 1 — Р ?» Ж~ или ?+?»~ †' 4 (П.3. 13) Из выражения (П.3.13) определяем функцию г (1), т. е. профиль каверны (П.3.14) В выражении (П.3.14) первый сомножитель находим согласно (П.3.13), а второй — путем дифференцирования выражении (П.3.3). После подстановки получаем: з (Г) = — 2чо? (И = — ~ (1 +)»»Т — 1' ) й. (П.3.15) Сопротивление пластинки вычисляем по формуле 1 о Х== ~ ( — Р,.) — ~ ?1=2~( — Р„) ч, ~ й. (П.3.!8) Постоянную ~р, определяем по формуле (П.3.15) при заданной половине ширины пластинки 1 О 2 3(+~ 2 $» 3 откуда и» Ч'о— и -~- 4 ' На основании уравнения Бернулли выразим давления, входящие в подынтегральное выражение (П.3.16): !»2 Р Р '=Р Р = — — ~.—, — 1 .
(П.3.17) к ' 2 ~ а Если учесть (?1.3.17), то формула для вычисления сопротивления приобретает вид 1 Х ==- 2~про?'„~ (! — ., ? (1 +)» 1 — 1') йЕ. (П.3.18) (! -1- ~/ ! — р )' ~ о После интегрирования выражения (П.3.18) н ряда промежуточных преобразований находим Д =пр1 7о (11.3.20) или после подстановки гр, получаем Х=рР'-1 „+,.
(П.3.21) Коэффициент сопротивления пластинки при струйном обтекании, отнесенный к ее ширине, определяем по выражению 2 (11.3. 22) 5 4. Кавитационное обтекание пластинки в безграничной жидкости (по схеме Д. А. Эфроса). Решение задачи с помощью способа, особых точек С. А. Чаплыгина 73 Методы решения плоских задач теории струй идеальной жидкости были кратко описаны в $ 2 гл. 11.-Рассмотрим в качестве иллюстрации применение способа особых точек для решения задачи о плоском кавитационном обтекании пластинки, расположенной поперек безграничного потока идеальной несжимаемой жидкости. Предположим, что замыкание каверны происходит с обратной струйкой (схема Д. А.
Эфроса) и число кавнтации к + О. Задача состоит в том, чтобы при заданных характеристиках потока на бесконечности: скорости У „ давлении р„, числе кавитации к,ширине пластинки 1 — найти на физической плоскости форму границы каверны, поле скоростей и давлений вблизи каверны, а также сопротивление пластинки. Схема обтекания дана иа рис.
11.8, а. В соответствии со способом особых точек внешнее течение на физической плоскости преобразуется на некоторую простую область вспомогательной плоскости 1. В качестве такой области примем полукруг единичного радиуса (рис. И.8, б), причем, следуя (33), пластинку расположим на горизонтальном диаметре, а границы каверны — на дуге полукруга. Расположение характерных точек течения показано на рис. И.8, а и б. Возможно иное расположение границ потока: границы каверны — на горизонтальном диаметре, пластинка — на дуге полукруга (17), что, однако, не повлияет на результат решения задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
