В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 10
Текст из файла (страница 10)
После того как установлен внд плоскости комплексного потенциала скорости ш кавитационного течения, выбирают формулу преобразующей функции (вспомогательной плоскости) и устанавливают соответствие между точками физической плоскости з и плоскости и. Рассмотрим коротко различные способы представления преобразующей функции. 1. Способ Кирхгоффа. При этом способе преобразующая функция имеет вид По существу, этот способ не отличается от способа Кирхгоффа. 3.
Способ Н. Е. Жуковского. При этом способе!22) вводится новая функция а, связанная с преобразующей функцией формулой $' /к а = 1п ь = 1и — „", = 1и ~="/; (П.2.4) в параметрическом виде а = 1п ~ = 1п =" ~ага = 1и ~ =" + 10 (11.2.5) или а = 1п ~ = 1и 1 =1 = 1и 1 = 11; Йг (П.2.6) в параметрическом виде соответственно: а = 1и ь = 1и ~ =" ~ + И У (П.2.7) Таким образом определяются оси координат вспомогательной комплексной плоскости а.
Представление (11.2.7) удобно тем, что позволяет легко найти границы области течения на вспомогательной плоскости, основываясь на данных о форме тела и постоянной скорости на границе каверны. Например, поскольку на границе каверны то согласно (П.2.5), (П.2.7) Ке а = 1п ~ —" ~ = 1и " = — — 1п (1 + х) ). +.1= или Ке а = 1п 1 = О. Таким образом, свободные струи располагаются либо на мнимой оси, либо на линиях, ей параллельных, а границы тела (ири постоянных О) на линиях, параллельных вещественной оси.
4. Способ С. А. Чаплыгина, Широкое применение при решении задач о кавитационных течениях находит метод особых точек. Он основан на известном представлении рациональной функции в виде произведения линейных множителей, содержащих 62 Во втором )Т'! = соиз1, т. е. ) ь" 1 =- сопз1, — мы получаем уравнение окружности. 2. Способ годографа. При использовании этого способа в качестве вспомогательной выбирают плоскость годографа, а преобразующая функция имеет вид: комплексные координаты точек, в которых эта функция обращается в нуль (нули функции), и точек, в которых эта функция обращается в бесконечность (полюсы функции).
Неизвестная функция имеет вид: А ( а~) (г ~~) ( ~~) ° ° ° (х а~~) (г — Ь,) (г — Ь,) (г — Ьд)... (а — Ьь) ' Разделив одно выражение на другое, получим: йи — — ==- Ж), чг с~1 1~ (() 6 (() ~1г откуда з = — ) 1(г) сЫ. (11.2.9) где а„..., а„— нули функции; Ь„..., Ьь — полюсы функции; А — постоянная. С помощью (П.2.8) может быть составлено выражение комплексной скорости (или комплексного потенциала) физического и фиктивного течений. В этом способе течение на физической плоскости г конформно отображаегся,"'на какую-либо простую геометрическую фигуру: полуокружность, квадрант, полосу, круг вспомогательной плоскости (Ь).
Причем отображающую функцию отыскивают в ходе решения. Обычно этот способ несколько видоизменяется. На физической плоскости и на плоскости фиктивного течения (вспомогательной) находят особые точки (нули и полюсы). Причем, если на физической плоскости особые точки находят на основании физических представлений, например: точка разветвления потока — нуль скорости; начало потока — источник, конец потока — сток, то скорость в этих точках, согласно известкым формулам, обращается в О и со, т.
е. в этих точках находятся нули и полюсы. Что же касается фиктивного течения, то для него особые точки, кроме того, могут появиться: а) как отображение особых точек течения на физической плоскости; б) как результат аналитического продолжения через границу простейшей области; в) из-за нарушения конформности в некоторых точках течения. Соответствие особых точек физической и вспомогательной плоскостей устанавливают исходя из характерных черт течения.
Итак, составляем в общем виде комплексные скорости обоих течений — заданного и на вспомогательной плоскости: Ни . дэ Ьт ) И) Н =1ы (1) При рассмотрении кавитационного обтекания тел часто используют решения краевых задач. Под краевой (граничной) задачей понимают такую задачу о нахождении функции внутри некоторой области, когда известны предельные значения функции на границе этой области. При решении задач кавитацнонных течений наибольший интерес представляет задача Римана — Гильберта для полуплоскости.
Рассмотрим постановку задачи. Пусть на действительной оси ох даны раздельно лежащие конечные отрезки аеЬь (А = 1,2, ..., т), при этомат<Ьт<ае<Ьа ... а <Ь. Обозначим через д)' совокупность этих отрезков, а через Р" — остальную часть действительной оси, так что В" состоит из конечных отрезков Ьааа+, (й = 1, 2, ..., лт — 1) и из «бесконечного» отрезка Ь а„состоящего из двух полупрямых Ь„, < <х<оо и — оо<х<а, (рнс. П.5). а, Ь1 аа Зе аее Ьл Ят Ьле оо Рис. И.б.
К решению краевой палачи Римана — Гильберта для полуплоскости (формула М. В. Келдмша — Л. И. Седова). Задача состоит в том, чтобы найти функцию Ф (з) =- и + 1э, голоморфную в верхней полуплоскости (у > 0) и ограниченную на бесконечности, по смешанному граничному условию на оси ах: и+ на В' э'(т) '= 1э+ на П'.
Решение этой задачи было получено М. В. Келдышем и Л. И. Седовым (14, 29) для трех наиболее важных классов функции. 1. Решение, не ограниченное вблизи всех концов аа, Ьь: где тт'(г) = — ~/ П (г — аа) (г — Ьь); т — текущее значение коордиА=! нат точек иа действительной оси. В случае если Ф (оо) = О, то полипом Р (г) нужно заменить полиномом Р„,, (з). б4 2. Решение, ограниченное вблизи концов а» и не ограничен~ ное вблизи концов Ь», при условии, что Ф (оа) =- О: ф(г) = )1'(г) ' ( )1'(')Я(') г(т, (И 2.11) )1» (г) ~и 1 )1 (г) (г — г) Г т й,(г) =- ~Г П (г — а»); )1»(г)="~/ П (г — Ь») . »=» »=г 3.
Решение, ограниченное вблизи всех концов, при условии, что Ф(со) = О, г я(т) н тс~ .) Й(г) (т — г) ' (11.2. 121 причем в последнем случае должны выполннться условия разрЕ- шимости т)-'г(т = — О (1 = 1, 2,..., т). й (т) ге =С,) (1 — а»)" ~ (1 — аг)"» ' ... (1 — а„)~ 'А+С», (П.2.13) а 46 Функции 11 (г), А', » (г) многозначны, для полной их определенности и однозначности в точках разветвления а» и Ь» на вещественной оси проводится разрез и выбирается необходимая. ветвь функции.
При решении плоских задач о кавитационных течениях широко используют теорему Кристоффеля — Шварца, позволяющую взаимно однозначно и конформно преобразовать течение внутр»г или вне многоугольника на верхнюю палуплоскость и найти преобразующую функцию. В случае преобразования внутренней области многоугольника теорема формулируется так: пусть в плоскости переменного пг есть и-угольник (рис. 11.6), внутренние углы которого равны а,п, игл, аггг, ..., и„гг, где гг„гг„а„..., и„— действительные числа, причем каждое из них не должно превышать двух и, кроме того, а» + аг + ° ° ° -+ а„= п — 2.
Функция ш=- 1 (1), конформно отображающая верхнюю палуплоскость 1 (1) > О на внутреннюю область многоугольника, имеет вид где а„ае, ..., и„— точки действительной оси, а, — крайняя точка слева, аа — крайняя точка справа, соответствующие вершинам многоугольника; С! и С, — некоторые постоянные числа. На рис. И.б, а,б даны обозначения вершин веногоугольника на плоскостях и! и 1. В частном случае, когда одна из точек действительной оси, например точка а„(рис.
И.Б, в), удалена на бесконечность, формула примет внд: в=С! (1 — а,)"! ' ... (1 — аи !)" -' с(г+Са. (П.2!4) При рассмотрении задачи о конформном отображении внешней по отношению к контуру многоугольника области, содержа- 9 сн„те б) В ) д! а, ае Рис. 11.6. К формулировне теоремы Кристоффеля — Швариа.
щеи 'бесконечно удаленную точку, преобразующую функцию находйт 'по формуле. а — 1 а — ! 1 (~-,) ' - .. (~ — ~ ~ " о 1де А — координата точки верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной точке на плоскости та; А — величина, сопряженная с А. В атом случае углы измеряют так, как показано на рис.
П.б,г„ е сумму углов находят по формуле сетя + аен + ° ° ° + се,р — - (и + 2) и. Приведенные выше формулы выведены в предположении, что верхняя полуплоскость находится слева от положительного направления оси абсцисс. В случае преобразования на нижнюю полуплоскость в формулах должен быть изменен знак. бб В последнее время для решения кавнтационных задач применяют метод особеиносгей.
При использовании этого метода предполагают, .что на неизвестной поверхности (граиице) каверны располагаются особенности (источники, стоки, диполи, вихри), интенсивность которых неизвестна. На основании граничных условий на поверхности каверны составляют уравнения, которые позволяют найти интенсивность особенностей и вызванные скорости. В общем случае эта задача иелинейна . Для частичной каверны, когда каверна заканчивается на теле, возможна линеаризация задачи: каверна считается тонкой, а граничные условия на каверне сносятся на поверхность тела. Как известно, задачи гидромеханики разделяют на прямые, обратные и.смешанные, Прямая задача состоит'в том,' что поле скоростей и давлений при обтекании тела определяют по заданным координатам точек его.
поверхности. В обратной задаче па заданным скорости и давлейиям в функции выбранных координат находят форму тела. В смешанной задаче в одной обласги течения задается форма тела, а в другой — скорость н давление на некоторой линии тока, форма которой неизвестна. Задача о кавитационном течении относится к числу смешанных, т. е. на контуре тела, свободном от каверны, решается прямая задача, а на границе каверны — обратная задача.
Рассмотрим сначала случай плоского течения, в котором применим метод вихревых особенностей. Поток, обтекающий плоский контур, можно представить, накладывая на основной поступательный поток возмущенный поток от системы вихрей, расположенных на контуре (см. рис. Ч.10) в его плоскости; На основании известных из кинематики жидкости формул (закон Бно и Савара) составляющие скорости в любой точке потока, вызываемые вихрямц, расположенными на участке кривой 1, опредсляк1гся так: нормальная (к контуру); составляющая касательная (к контуру) составляющая где у (Я) — интенсивность вихревого слоя в точке контура Я"„ г — расстояние от точки 5 до произвольной точки Бг; соз (г, 1), з(п (г, 1) — косинус и синус угла между касательной к контуру в точке $, и отрезком г.
Тогда интенсивносп вихрей может быть найдена нз интегрального уравнения, для составления которого используатся .6У условие непроницаемости, т. е. равенство нулю суммы 'нормальных составляющих скоростей (к контуру). Предполагая, что скорость поступательного потока равна $'„, получаем: — у(5) с(5+ Ь' зшт = О. (11,2.16) .где т — угол между касательной в произвольной точке контура 5, и направлением 11„. Получаем сингулярное интегральное уравнение, справедливое как для замкнутых, так и незамкнутых контуров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
