В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В дальнейшем предполагается, что ~ аа (1)~ ~~ 11 (1). 49 Уравнения для коэффициентов ал образуют бесконечную систему связанных уравнений, что затрудняет решения. Для упрощения решения принимают, что невозмущенная стенка пузырька г = )г' (1) есть поверхность раздела двух несмешивающихся несжимаемых невязких жидкостей. Кроме того, будем считать, что составляющие амплитуды возмущений малы и не зависят друг от друга, т.
е. каждая гармоника может рассматриваться отдельно. Составим потенциал скорости возмущенного движения (для и-й гармоники) по обе стороны от поверхности раздела, предполагая при этом, что возмущение по мере удаления от поверхности раздела должно уменьшаться; ~р, = — + Ь,г"1„при г < )г' (внутри пузырька); 2Ф ~рл — — — +Ьз —" при г>й (вне пузырька). (1.5.2) 1л г Коэффициенты Ь, и Ь определяются из условия непрерывного изменения скорости при подходе к границе раздела изнутри и снаружи пузырька — ®), = — — (ф), =- А+ а„1„. (1.5.3) др, ЯВА — '= — — +лЬ,г" — Ч .
дг гР л (1.5,4) Приравнивая (1.5.4) правой части (1.5.3), подставляя = г, = )т' + а,1, и пренебрегая членами, содержащими г4, получим (1.5.5) ллл [1+ал Чл(эй ~+а — !)1' Здесь и в дальнейшем в ал индекс п опущен. После разложения в степенной ряд выражение (1.5.5) с точностью до малых высшего порядка примет вид й й а+ 2а— а+2а— Ьг= „, (1 — ай Ч„(2Я т+л — 1)) = лил Выражение в правой части (1.5.3) получено путем дифференцирования (1.5.1) по времени. Производная первого выражения (1.5.2) по г имеет вид РРф Рл+2 .
й Найдем теперь давление по обе стороны от поверхности раздела жидкости, используя решение уравнения (1.2.8) в форме Коши — Лагранжа: Р' =- Р~ (!) — р~ [( — ') + — (йгад ~р4,~; Р = Ра(1) ра ~( д~'), + з (Игам ЧЪ)~,1 (1.5.6) где Р— давление вне пУзыРька; Г~ т(1) — постоанные интегРирования; р' — давление внутри пузырька. Составим затем выражения отдельных членов, входящих в (1.5.6). Опуская промежуточные преобразования, получим: ( ).= Ю )7) и ()~ й) дт1 1 ! И а а!» и дС 7ю й ЙЕ д' Ф вЂ” — „И + — „оК7„— — „В„+ 2а — 7„; (1.5.7) — ), = — — Ж%) — —" — (й%) + ( )„= дч т ! и ' а!„ д а !,, Р и й~ й (йгад гр„), га (огай Чь)„= Б~+ 2аИ„.
(1 5-9) Возмущение поверхности раздела вызывает изменение ее кривизны, а следовательно, и сил поверхностного натяжения. Если обозначить через )г' и )7" главные радиусы кривизны возмущенной поверхности раздела, тогда давления снаружи и внутри пузырька связаны Р=Р о(я + о ) ° Выражение в скобках можно приближенно представить в виде — = 2о+ (" ') (" х) ! (1.5.10) й" Яй з! Аналогично легко найти выражение для Ь,. После подстановки Ь, и Ь, в формулы для потенциалов возмущенного движения (1.5.2) получим: ЮЧ~ Р l ° й1. <р, = — — — ! (а+ 2а — ); .я- Р/1 Тогда на основании формулы (1.5.10) приближенно можно написать (1.5.! 1) где и А- !» (й — 1) рз — (й — 1) (й — 2) рт! Й вЂ” (й — 1) й (и + 1) (й + 2) — и »2 )т' !й('е+ ("+ 1) р ! (1.5.13) б) а/аа Л)Я, а) а а Цт 44 йб ((б йб б Цг ОА Об Дб 2О Р,/Р ле/)) Рис.
1.15. Развитие ивиущеиий при распмреиии пузырька: а — ее = О; б — ее = йе/3. Из (1.5,13) видно„что форма возмущения при и = 1 соответствует поступательному перемещению пузырька; таким образом, нарушение сферичности обусловлено возмущениями при п ъ 2. Если предположить, что р, С( рз, т.
е. рассматривать паровой пузырек, то выражение (1.5.13) получит вид ) )т' — (и — «(и+ !)(а+2) Дифференциальное уравнение (1.5.12) легко преобразуется к двучленной форме с одним переменным коэффициентом, если г )!а тз/2 ввести подстановку а = ~ — '~ С. Опуская все промежуточные преобразования, найдем: — +ВС=О (1.5.14) (1 + где В == ( — !) (п+ «(в+ 2) — '„— '"+,'"" — 4 Я)'. 2а (» — 1) (» — 2) Р '=Р К 1 ~а аау, и" После подстановки (1.5.6) — (1.5.9) в (1.5.1«получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно амплитуды возмущения а+ — а — Аа =- О, (1.5.12) Как видно из (1.5.12), (!.5.14), амплитуда возмущений а(1) или С (1) определяется путем интегрирования дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях и различных значениях п. Обычно эа независимые начальные условия принимают аэ и )~о.
Характер изменения функций а(1) или С(1), полученных в результате интегрирования (1.5.12) илн (1.5.14), определяет закон развития начальных возмущений поверхности пузырька во времени. Если возмущения с течением времени затухают до нуля или до некоторого постоянного значения, то движение стенки пузырька устойчиво асимптотически или неасимптотически. Если же возмущения неограниченно нозрастают во времени, то движение неустойчиво. Коэффициенты А (1) и В (1) являются функциями )т, А и Я, которые находятся в результате численного интегрирования нелинейного дифференциального уравнения движения стенки пузырька. Если принять, как это было сделано выше, давление внутри пузырька не зависящим от времени и равным давлению насыщенных паров воды, а давление на бесконечности постоянным (внезапное расширение или сжатие), то К и )г, согласно (1.2.2!), зависят от отношения ЙОИ.
При такой постановке задачи выражения (1.5.12) и (1.5.14) представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, решение которых в квадратурах не вызывает затруднений. На рис. 1.15 для иллюстрации приведена зависимость безразмерного возмущения к й от величины Я /)1 при расширении а/а~ йФО парового пузырька, имеющего устойчивую границу (возмущения затухают). Зависимость получена по (1.5.12) без учета поверхностного натяжения для начальной скорости возмущения где Глана Л РАЗВИТАЯ КАВИТАЦИЯ. УСТАНОВИВШИЕСЯ КАВИТАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ (НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ) й !.
Форма границы каверны, парадонс Бриллуэна, схемы кавитационных течений Форма границы каверны зависит от ряда факторов. "конфигурации и размеров тела, вида каверны (частичная или развитая), скорости набегающего потока, влияния гравитации, степени турбулентности потока и внешних возмущений. Достаточно полное представление о форме и поведении границы каверны дают экспериментальные исследования искусственных кавитационных течений. В настоящее время имеется большое число опытов с кавитирующимн дисками, крыльями„телами вращения или близкими к ним телами.
Визуальное наблюдение за поведением границы каверны позволяет дать характеристику ее формы и установить ее зависимость от рида факторов. Как показывают эксперименты, а) при больших скоростях потока образуется развитая каверна, в хвостовой части которой появляется обратная струйка, прн этом части каверны отрываются, вызывая пульсацию хвоста каверны; б) при уменьшении скорости обтекания образуется каверна, хвостовая часть которой сворачивается в два вихревых жгута; в) при малых скоростях потока и направлении его, перпендикулярном силе тяжести, последняя существенно влияет на симметрию каверны относительно горизонтальной плоскости: с уменьшением скорости всплывание каверны возрастает. При направлении потока, совпадающем с направлением силы тяжести, ее влияние проявляется в укорочении и расширении каверны; г) поверхность каверны негладкая, она имеет малоамплитудные высокочастотные возмущения.
Таким образом, эксперименты указывают на нестацнонарный характер границы каверны, причем наибольшая нестационарность 54 наблюдается в хвостовой части каверны и в следе за каверной. Экспериментально доказано, что при кавитации за телом образуется полость с постоянным давлением р„. Следовательно, давление постоянно также и на границе каверны, которая представляет собой свободную поверхность. Это обстоятельство учитывается при построении теоретических методов решения плоских и пространственных задач. Рассмотрим уравнение движения частицы жидкости, перемещающейся по границе каверны. Это даст нам возможность установить знак кривизны границы каверны. Если частица движется со скоростью $~„по границе каверны, имеющей кривизну !Я, то !к Я вЂ” = — — игам рп, р (1!.1.1) где и — давление в жидкости; и — нормаль, направленная к центру кривизны; р — плотность жидкости.
Так как Р„'Ф ) О и 11р ) О, то для соблюдения условия (1!.!.1) векторы игам р и п должны быть направлены в разные стороны. Как правило, каверна образуется в тех областях потока, где появляется минимальное давление, т. е. игам р направлен из каверны в сторону жидкости, а нормаль и для получения положительной величины правой части (11.1.!) должна быть направлена к центру кривизны. В этом случае число кавитации рУ~ 2 Таким образом, при положительном числе кавитации граница каверны имеет выпуклую форму (рис. 11.1, а). В то же время, если давление в каверне оказалось бы больше давления в окружающей ее жидкости, граница каверны имела бы вогнутую форму (рис. П.2, б). Однако на практике такое течение не реализуется.
Чем меньше число кавитации к, тем меньше кривизна границы каверны (рис. П.1, а). При построении теоретической схемы кавитационного течения принимают, что поверхность каверны гладкая. Важное значение приобретает вопрос об устойчивости границы каверны. Как показывают исследования, в большинстве случаев, когда плотности соприкасающихся жидкостей существенно различны (вода и газ), граница раздела устойчива. Однако при этом возникают трудности представления формы хвостовой части каверны. На основании уравнения Бернулли скорость на границе каверны должна быть постоянной и равна $~„. Однако точка смыкания струй в хвосте каверны, принадлежащая ее границе, 55 Ъ1 а) у Р,» у Рс мч-О Рсо Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
