В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В результате получим логарифмическое уравнейие, которое после подстановки пределов н промежуточных преобразований преобретает вид; (зс й)4(ф 1 ! 1) -"( +'3") Если положить теперь, что 1т мало по сравнению с ~Н! то й ( ЗС ) ( + 2 Н~)' Или принимая во внимание, что ~Н! = Р" ~ , получим Р (+) = (1 — — ) (1 + — " ). (1.3.25) Выражение (1.3.25) представляет собой обобщенное уравнение Рзлея для сжимаемой жидкости. Как видно из рис. 1.11, решения для сжимаемой и несжимаемой жидкости быстро расходятся при числах Маха больших единицы.
В предельном случае несжимаемой жидкости, т. е. при Ф (~С, находим: (к)з з я А' (1.3.26) Иа рис. !.11 даны зависимости скорости движения стенки, отнесенной к скорости звука, от относительного радиуса газового и пустого пузырька при у = 1,0 и 1,4 н при внешнем давлении р = 10' Па (-1,0 атм) и 1О' Па (-10 атм). Как видно, решение с использованием гипотезы Кирквуда †Бе хорошо согласуется с точной теорией, за исключением последних стадий 42 тда та зь. (а-" (Р" 2 та™ тч 3 та-' Ои го м у Утр ' тр та ' 10-2 Ю-т в) Оа ф 'се 10 ъ 10 г 7П и га * та ' Рис.
1.11. Относительная скорость перемещения степин пузырька в зависимости от относительного радиуса )гЯе при изменении содержания газа. 1 — рте —— !От Па (1О т атм); 2 — риф — — 1(Гт Па (!О в атм); 8 — иго —— = !Оз Па (10 з атм); и — р = 1О Па (!О з атм); о — пустой пузырек. — — — несжимаемая жидкость; расчет с использованием гипотезы Кирквуда †Бе; — — — точное решение. схлопывания пустого пузырька. В соответствии с точными решениями уравнений движения скорость стенки пузырька в сжимае- ~д~ — окн мой жидкости стремится к бесконечности, как Йа Согласно приближению, основанному на гипотезе Кирквуда— Бете, как видно из формул (1.3.2б), величина Я стремится к беско- Г о з — о,за нечности, как ~ — ) . В то же время скорость движения Йе стенки пустого пузырька в несжимаемой жидкости, как видно / я т — ьз из (1.2.29), стремится к бесконечности, как ~ — ) ~~.) Таким образом, сжнмаемость среды приводит к замедлению темпа роста скорости границы захлопывающегося пузырька.
$ 4. Влияние твердой стенки на развитие парогазового пузырьна Выше было рассмотрено поведение парогазового пузырька в переменном поле давлений в безграничной жидкости. Однако в большинстве случаев пузырчатая кавитацня возникает на элементах судовых конструкций (стойках, крыльях, гребных вин- Рнс. К12.
Кзннтзцнонный пузырек золнзн плоской твердой стенки. тах), поэтому большой интерес представляет влияние твердой поверхности на поведение парогазового пузырька [411. Рассмотрим влияние твердой стенки на развитие изолированного пузырька. Пусть пузырек радиусом 11 расположен вблизи плоской стенки иа расстоянии Ь (рис. 1.12). Пузырек имеет сложное движение: граница пузырька совершает радиальное движение под действием постоянного давления рз, а центр пузырька имеет некоторое поступательное перемещение со скоростью и.
Будем считать, что движение пузырька происходит в несжимаемой невязкой жидкости и имеет потенциал скорости <р. Расширение или сжатие пузырька можно заменить источником или 44 стоком, расположенным в центре пузырька, а обтекание пузырька — диполем, также приложенным в центре сферы, с моментом, ориентированным вдоль оси перемещения.
Для учета влияния твердой стенки используется метод зеркальных отображений, согласно которому симметрично относительно стенки располагаются фиктивный источник и диполь. Тогда с учетом (1.2.11) суммарный потенциал течения имеет вид." ~И 2 гИ ! ф=фн — +ф и =-тс2 — — + д! г ! 2 1И ! !»Рсоа(«1, «) 1 и)!2«оз («„х) (1 4,1) «2 2 «1 2 «1 «1 = (х2+ у2)'!2 г = ((2(! — х)2+у2)1)2.
(1,4.2) Тогда с учетом (1.4.2) формулы (1.4.1) переписываются в виде: здй (' ! ! ф=я' — ! 1 2 + 6! ( («2 ! у2)112 ((2Ь «)2 ) у211I2 1 — — и ( ...(1.4.3) « — 2Ь 1 («»+ у')'" 1! — 2Ь)'+ уЧ'~ 1 В (1.4.3) первый член определяет сумму потенциалов источников, а второй член — сумму потенциалов диполей. Для вывода уравнения движения пузырька вблизи твердой стенки воспользуемся энергетическим методом. Кинетическая энергия находится по значениям потенциала скорости и его градиента по нормали к поверхности з: 2 ))фд (!.4.4) Производные — должны удовлетворять гранич ныли условиям дф д» на сфере (пузырьке) и стенке: для сферы — = — 1; — * = — сов(г1, х); дфя .
дф« д» ' д» 45 где фя и ф« — единичные потенциалы радиального и поступательного движения соответственно; и — поступательна я скорость движения; гм «2 — расстояния от центров сфер до некоторой произвольной точки А; соз (г„х), соз(г, х) — косинусы углов между осями днполей и осью х. Из рис. 1.12 следует, что 2Ь вЂ” « . соз(гм х) = —; соз(г„х) = «1 «2 для стенки (1.4.5) Выразим <р, входящие в подынтегральное выражение (1.4.4), чеРез единичные потенциалы ~дл и 1Ь, в соответствии с фоРмУ- лой (1.4.1). В результате получаем + "л дз д1 + д* дз д~рл ~И з д~рг Ч (1.4.б) Из теории потенциала известно, что Ц ~~рл — — ср,— ) дз = О.
(1,4.7) После подстановки (1.4.7) н граничных условий (1.4,5) в (1.4,б), выражение для кинетической энергии получим в виде: где <рл и р, для сферы (поверхности пузырька) легко находится из (1.4.3): 1 1 11з ( х х — 2Ь Для произвольной точки на поверхности пузырька (сферы) г) = — )г' = (х'+ у')'„ г$=(2Ь вЂ” х)'+у'=)с'+4Ь' — 4Ясоз(К, х). г3= — К'( — +1) . 4б Как видно, величина г„а следовательно, и единичный потен- циал Ч~, переменны по периметру сферы и зависят от угла К, х. Для упрощения задачи примем некоторое среднее значение гм при котором ЕК, х =- О.
Тогда Или, используя формулу бинома Ньютона и ограничиваясь первым членом ряда, найдем: 2Ь . г,ыЯ— ч,= 1((1+ — "); Чг 2 11+ 2Ьл)' Подставим значение единичных потенциалов ч~л и ~р, в выражение для кинетической энергии (1.4.о). После промежуточных преобразований выражение для кинетической энергии приобретает вид: у=2пУр~1+ й) а) + 1 азр(1+ 3 Л,) ил. 3 д' Для практических расчетов примем в дальнейшем — —,, (~ 1, тогда т=ьад(1+2ь) Ы'+ з пв.'Ри (1.4й) Для вывода уравнений движения пузырька вблизи стенки воспользуемся уравнениями Лагранжа, в которых в качестве обобщенных координат примем радиус сферы К и расстояние центра пузырька от стенки Ь.
Далее, обозначая дй.. дЬ 1т= —; Ь=- — =и, = Ж' =Ф= запишем д дT дТ вЂ” —.— — — — О, Ф дд дЬ где Ел — сила, действующая на поверхность пузырька по направлению обобщенной координаты. Эта сила определяется разностью давлений, действующих на поверхность сферы. Согласно (1.1.2) в предположении, что полость пузырька заполнена парами жидкости и газа, а сжатие происходит по адиабатическому закону, находим условие статического равновесия р= рн+ рг — — =- рн — — + рю ~ — ), (1.4.10) где все обозначения прежние. 47 С учетом (1.4.10) сила Ра =- 4лК' ~р — р„+ — — р, ( — ') ~, (1.4.11) где у = '! — показатель адиабаты. Составим производные от выражения для кинетической энергии (1.4.9) по обобщенным координатам и времени и подставим их в уравнения Лагранжа.
Опуская промежуточные выкладки, получим, учитывая (1.4.11), два нелинейных дифференциальных уравнения". ЗР (1 -(- ~ ) К'-)- Р ~ К'+ 2КР (1 + зь ) К вЂ” ф Ь' — р —, КЬ =- 2 ~ — р+ р„— — + р„, ( — 'Ц; (1.4.12) БЬ'ЬК + 2Ь'КЬ + ЗКтК' = — О. Первое уравнение соответствует радиальному движению границы пузырька, второе — поступательному движению. Для удобства вычислений приведем уравнения (1.412) к безразмерной форме и введем безразмерное время. Обозначим К и . Ь Ч ! а= —; 0= в —; Ђ к' зь ' Ке' Х=тКо(~) и г((=дтКЬ(~) (1413) Ро= Р+Ра' Ро Пренебрегая силами поверхностного натяжения, после подстановки (!.4.13) в исходные уравнения (1.4.12), получим: 1р)(! +е)+тЧ!'( — + 2з) — — ~' — 2ззЧР— —, +1 =0; (1.4.14) здесь все производные составлены по безразмерному времени т.
При бесконечном расстоянии пузырька от стенки, т. е. при а О, () О, р — О, левая часть второго уравнения (1.4.14) обращается в нуль, а первое уравнение переходит в рассмотренное выше уравнение радиального движения границы пузырька в безграничной жидкости (!.2.13). Дифференциальные уравнения (1.4.14) решаются численно с помощью ЭЦВМ.
Для иллюстрации иа 48 рис. 1.13 — 1.!4 даны результаты расчетов системы (1.4.14) на ЭЦВМ с помощью метода Рунге — Кутта, приведенные в работе 1411. При численном интегрировании были приняты слеп ~От) дующие начальные условия: -й -Ф при 1=0 т) = 1, ан=е1)а т) =О том р .=- О. тр Р о,г йб йб -ттт -то 1.6 М' ГР' Рис. 1.14. Зависимость скорости Ч от безразмерного радиуса т) н начального отстояния парового пузырька (6= О) от стенки Р . 1 — во=11:2 — Ре 1.2:3 — Ро= = 1.21 б — 11е 2.01 5 — Ре —— Б.О; б — Ро = 1О' 7 — Ре = 100.
Рис. 1.13. Зависимости функций тЬ р, т), Р, т от относительного радиуса т) при йе = 1,6; 6 = 1О о. 1-я; г-Р! з — 15 — 91 Р— Ре 5 — т= Ре На рис. 1.13 представлены результаты расчета для случая ~, = 1,5, б = 1О б в виде кривых 1) (11), р (т)), т) (т)), () (11). На рис. 1.14 даны результаты расчета скорости т) в функции безразмерных радиуса и начального отстояния от стенки парового пузырька. й 6. Устойчивость сферического пузырька Выше, при исследовании уравнений динамики сферического пузырька, не рассматривапось влияние внешних возмущений на его характеристики. Однако представляет интерес вопрос о том, будут ли расти или затухать возмущения, если полю скоростей дать некоторое бесконечно малое отклонение от сферической симметрии. Для решения этой задачи выразим сначала произвольное малое возмущение через сферические гармоники. Примем уравнение стенки пузырька в виде г(1) = Я(1)+ ~~Р1 аа(1)1„, (1.5.1) где )1 (1) — начальный радиус пузырька; 1„— сферическая гармоника и-го порядка; аа (1) — амплитуда возмущения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
