В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Профиль тела и распределение пиента давления Ср по двине. Р— Р с — —. ан а 24 Р(г) 1гь(нгс/~а 0.70" ( 0.70а) 2 70~( 2 70а) 2 1-70~) ( 2+707)) Рис. 1.б. Сравнение теоретических и ансиеринентаньных результатов работ 1481 и 1921. Теоретические реэуаьтатьч †. — — 1781: — ; Действительно, замечая, что И+ —,А= — — (.йФ) =— 3 1 И ° аа 27са о71 р ' получаем с( (ЙФ) = —" Я' Ий. р (1,2.20) Проинтегрируем левую и правую части лв аа Для упрощенных уравнений (без учета вязкости и поверхностного натяжения) часто используют формулы первых интегралов.
Подстановка их в (1.2.12) для постоянных значений г (1) при растяжении или сжатии позволяет нам составить выражения для определения давления. Предполагая начальные условия при ! = О; Й = Йо, Й = Й = О, после интегрирования находим Й= 3 — (1 — о,)! '* зо ио Йо ' или И (Йзйо) = — Р 2Йз г!Й + — '' —. (1.2.23) Р р После интегрирования левой и правой частей (1.2.23) получим 1 (Йойо) 2Р (о Йо Й + Розно Ло ао или з ЙЙ = — — — (Й вЂ” Й6+ — 1п —.
з з 2 р з 2Р,оно Р з р Р ио Разделив на Йо, получим 2 Р ( Йо 2ройо Й з~ з Й'= — — — 1 — — ~ + — ' — 1п —. — зрак(РЙЙ,' Для получения ускорения движения границы газового пузырька продифференцируем (1.2.24) по времени После преобразований находим: Й* = — — — ~р — р„о (1 — 3 1п — ) ~ . (1.2.25) (1.2.24) В случае постоянного растяжения следует принять в (1.2.25) р = — ро, а в случае постоянного сжатия р = ро. Аналйзируя исходное уравнение движения стенки газового пузырька (1.2.22), находим, что в начальный момент, когда 1 = О, Й = Йо, Й = О, знак ускорения определяется разностью р, — р,. Если эта разность больше нуля, то пузырек будет расширяться, и, наоборот, если р„— ро<О„сжиматься.
26 ПолагаЯ в (!.2.21) го — — Р„-1-Ро, а затем зо = — Ро, полУчим формулы для определения скорости и ускорения при расширении или ' сжатии парового пузырька соответственно. Указанный выше прием решения уравнения (1.2.16) можно также применить и для случая расширения или сжатия газового пузырька. Принимая во внимание (1.1.5), для изотермического закона изменения состояния газа внутри пузырька найдем: ЙЙ + — Й' = — — + — ( — ) = — — (Йзйо) (1.2.22) з, р(з! р ~н~з ! а 2 р р ~Я~ 2но ой р (1 — — ) + р„1п ( — ) = О. (1.2.26) Решение уравнения (1.2.26) легко получить графически как /й1 р!йэ точку пересечения кубической параболы ~,~ — ) = — — — 1 '~йе) Рю ~~4 и логарифмической кривой ~,,~ — ~ = 1п ~ — ~ .
Йа Йо Критический радиус определяется по формуле 1 —— )~кг = ЙФ Аналогично можно получить выражения для Я и 1( для случая адиабатического процесса расширения н сжатия газового пузырька. Принимая в этом случае, что (1.2.27) где у — показатель адиабаты, после преобразования найдем з ~, ~ ~~~)з~ (1.2.28) Если показатель адиабаты принять равным ~/з и пренебречь внешним давлением р по сравнению с р,м то в результате получим: ~>,~ (~'„)з ( ~~„) (1.2.29) Дифференцируя выражение для г(з по времени, найдем ускорение в виде (1.2.30) Таким образом, газовый пузырек при давлении в нем, отличающемся от внешнего, будет совершать незатухающие гармонические колебания.
Из уравнений (1.2.24), (1.2.25) легко найти экстремальное значение радиуса. пузырька (1(' + 1г,), при котором скорость движения его границы обращается в нуль, а также значение критического радиуса, при котором скорость сжатия газового пузырька достигает максимума. В первом случае необходимо положить в (1.224) А = О, а во втором — в (1.2.25) К = О. Тогда после промежуточных преобразований экстремальный радиус пузырька находится как решение уравнения вида Приравнивая (1.2.30) нулю, получим выражение для определения критического радиуса, "Я„р — — ~/,Й,.
Выражения (1.2.24) и (1.2.25) можно переписать в безразмерной форме с учетом принятых обозначений (1.2.18): т1 = ~ — (т1 ~ — 1) + бт( ' 1п т(~ Ч = б ~Ч 4 (1 — 3 1и я — 8 т). (1.2.31) Аналогично выводят формулы для ц и т( при адиабатическом законе расширения или сжатия газового пузырька. Опуская промежуточные преобразования, получаем: 1=(28 (1-ц-'и"' ц = 38ч" (ц-' — 1)+ бц-'.
Подставив полученные значения скорости )1 и ускорения движения М стенки пузырька в (1.2.13), (1.2.14) и введя безразмерные величины, после преобразований получим зависимости безразмерных давлений от двух безразмерных параметров. Для паровой кавитации эти формулы приобретают следующий вид: при расширении пузырька 1 + ~ — '~" = — е (4 — т1 з) — — ез (1 — ц з); (1.2.33) з 3 при сжатии пузырька — "9 = — е [т1 з (1 — ез) — (4 — е'И.
(1.2.34) р, з В формулах (1.2.33), (1.2.34) приняты следующие обозначения: Р а=в г ' а, = р, + р„— растягивакицие напряжения в жидкости; р — давление на бесконечности. Результаты расчетов по формулам (1.2.34) даны на рис.
1.6— 1.7. Для газовой кавитации, полагая показатель адиабаты у='/и учетом (1.2.27) получаем: — = е~ч '~1+ ~(4т1 ' — 3)~+ +(4 — з')(Ч'С++ Р(1 — ')3 — +Ь* ('233) где ре — изменение давления на бесконечности; знак + соответствует расширению пузырька, знак — его сжатию. Результаты расчетов для сжатия по (1.2.35) даны на рис. 1.7, б. Время 1„за которое радиус пузырька изменяегся от 1со до 1т, можно получить путем интегрирования первого уравнения (1.2.21) — для парового пузырька и выражений (1.2.24), (1.2.28)— для газовЬго пузырька. г/Р— цтцрцб д7 аб о~ др д,т дг дФ о — г/г Рис.
1.6. Распределение давлений вблизи склевываю. щегоси пузырьиа. — — — геометрическое место мекснмельнмк енечениа р/р . В результате после промежуточных преобразований получим: при расширении парового пузырька Нз12,ЬЧ а при сжатии парового пузырька ~/З р 11 а 11з1з ля 2 Ре (Яз — аз)'lз ' с» с~ й~ о х с $Х Ыо ьо — 1! о е~ ~4 Ф а~ М О. В 3 рИ д $ ~д ~! М~ И "' а й=, 5~ б "С, Ф Й !! 1:(Я „О. Сб ю.
ф ".й д ) Или, вводя значения безразмерного радиуса Ч = )г1)1м получим: при расширении при сжатии 1 ЗР Ч ДЧ 0 Г' ЗР (1 э)1/2 й (1.2.36) Из второго выражения (1.2.32) при 11 =- 0 получим время полного схлопывания т. В этом частном случае интегрирование можно выполнить с помощью 1-функций. Опуская промежуточные выкладки, получим ,— г ~ з ) г( — ') т=й, ~ — '- '- — — — =001466йо~/ —.
В работе 13Ц приведена таблица значений безразмерного времени 8' = 11)1, )'р/,о, в интервале Ч от 0 до 1,0, полученных в результате численного решения второго уравнения (1.2.36). Время изменения радиуса газового пузырька, как и в предыдущих случаях, находим по формуле я З1 где функция Р определяется по формулам (1.2.24), (1.2.29).
На последних стадиях сжатия пузырька вязкость может оказать существенное влияние на характеристики течения. Поэтому рассмотрим способ учета вязкости в дифференциальных уравнениях движения границы пузырька. В связи с тем что проявление вязкости жидкости происходит сложным образом и связано с сжимаемостью жидкости, рассмотрим сначала несжимаемую жидкость.
Из анализа уравнений Навье — Стокса (681 можно показать, что движение жидкости, вызванное сжатием или расширением сферического пузырька, описывается уравнением невязкой жидкости, а влияние вязкости учитывается граничными условиями.
Из курса динамики вязкой жидкости известно, что при движении вязкой жидкости возникают касательные напряжения и изменяются нормальные напряжения (по сравнению с невязкой жидкостью). На основании гипотезы Ньютона при ламинарном обтекании касательные напряжения в вязкой жидкости связаны с градиентом скорости и динамической вязкостью зависимостью ау т=р— да ' где р — динамическая вязкость, В невязкай жидкости нормальные напряжения одинаковы для всех площадок, проходящих через данную точку, и равны величине — р, абсолютное значение которой равно гидродннамическому давлению в данной точке.
Будем считать, что касательные напряжения, а также и изменения величин нормальных напряжений не зависят от давления в данной точке. Тогда нормальные напряжения при движении вязкой жидкости представляются в ниде суммы двух слагаемых: одно равно — р, другое, обусловлено только вязкостью и не зависит от р. В декартовой системе координат получим: р,„=- — р+ о; р„„= — р+о,; р„= — р+ о„, где оп — дополнительные нормальные напряжения, вызванные вязкостью, находятся по формулам дУа .
о~~ = 2р о =2р —; аи„. уз ду о„= 2р —. ау. дз В случае же сферической симметрии потока (сферическая система координат) ау о„= 2р а суммарные нормальные напряжения аи, Р* Р+2Р а Так как давление внутри пузырька равно нормальному напряжению с обратным знаком, т. е.
р„= — р, то для парогазо- ного пузырька при учете сил поверхностного натяжения и вязкости найдем: дУ~ Р.= р' — 2р — ~ дг у=а или 2а I яа 2зт ду ~ Р =- Р. — — -'- Рт» ~ — ) — 2р — ~ (1 2 37) г ! Р) дг ~г--.а Выразим градиент скорости через радиус пузырька и его производные: дУ, д'~р Ай' дг = дг' ' ~ г (1.2.38) Тогда после двойного дифференцировании (1.2.38) по г получим (1.2.39) После подстановки (!.2.39) в (1.2.37) найдем давление на границе пузырька 2с Г Рв ~зт Р Р=Р— — +Ро( — ) '1р ~к) Р ' Подставляя затем зто выражение в интеграл Коши — Лагранжа, получим дифференциальное уравнение движения границы парогазовога пузырька с учетом вязкости: )И+ — й — — ~ — ) + — + 3, р„,гн,тат 2 р ~1~') + 4р — = — — Р (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
