В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Р, рк р (1.2.40) При заданном законе изменении возмущающей силы Р (1) уравнение (1.2.40) решают численными методами на ЭВМ прн заданных начальных условиях. Применяя описанный выше прием (см. (1.2.20)), можно получить первый интеграл дифференциального уравнения (1.2.40). Для оценки влияния вязкости н поверхностного натяжения на величину радиуса пузырька на ЭВМ «Мир» были проведены численные расчеты /г (1), /7 (!) ((1.2.40)) для парового и газо- наполненного пузырьков. В первом случае третий член уравнения был опущен.
Рассматривалось мгновенное повышение давления в жидкости, т. е. Р (/) = — Ра — — .— 1О' Па ( — 10 332 кгс/м'). Кроме того, было принято: /7, = 10 ' м; /7 = 0; р = 1000 кг/мз (102 кгм ' с'); Т = 283 К (1 = 10' С); о =- 7,35 10 ' Н/м (7,57 х Х 10 а кгlм); р„= 1230 Па (125 кгс/мз); р = 133.10 а Па с ПЗЗ 10 4 (кгс с)/м'1 и р =- 133 10 4 Па.с (ИЗ 10 а (кгс.с)/м'1.
зз с0 10 0 Я0у 010 0 1100 0,10 с.йГС 0.10.0 Рис. 1.8. Влияние вязкости и сил поверхностного натюкевии при схлопывании парового пузырька: а — на радиус пузырька; б — на скорость движения границы пуайрька. 10 Рис. 1.9. Влияние вязкости при схлопатыванин пароваго пузырька: а — на радиус пузырька; б — на скорость движения гранины пузырька. раем аг 10 з) й 10~н 100 01-4 м/с 00 Первое значение р относится к воде, второе — к гипотетической жидкости. Результаты расчетов даны на рис. 1.8 — 1.10.
Как видно из рисунков, поверхностное натяжение уменьшает время схлопывания парового пузырька, а вязкость, наоборот, его увеличивает. б,~ Ф-Ю, м/о а) Ф.тб', и $0 и ат Чх гас Рис. 1ЛО. Пульсация газонаполненного пузырька при различных значениях начального давления газа: а — изменение радиуса пуаырька; б— изменение скорости движения гранины пузырька. Газонаполненный пузырек, в отличие от парового, под действием сжимающих усилий совершает незатухающие колебания, частота которых уменьшается с ростом начального парпнального давления газа р . й 3.
Влияние сжимаемости жидкости на развитие парогазового пузырька В тех случаях, когда скорость движения стенки пузырька (особенно парового) приближается к скорости звука в жидкости, полученные выше решения будут неточными, так как влияние сжимаемости может оказаться весьма существенным н тогда необходимо решать полные уравнения (1.2.1) — (1.2.3). Прежде всего необходимо выбрать зависимость между давлением и плотностью. Внезапное сжатие жидкости не вызывает существенного роста температуры, т. е. жидкость изоэнтропична (энтропия сохраняет свою величину), и поэтому плотность связана с давлением эмпирическим соотношением уравнением состояния в форме Тэта Ада Д (1.3,1) где Ре и Є— давление н плотность жидкости на бесконечности.
Константы, входящие в (1.3,1), для воды равны: В = 3 1О' Па (3ООО атм), и = 7. Скорость звука с определяется формулой С~= — "' дР После дифференцирования (1.3.1) по р и подстановки результата в (1.3.2) получим л — 1 л(Р+В) л ( + (Р+В) В невозмущенной жидкости квадрат скорости звука при р = р с„= — (р, + В) ° з и Р После подстановки этого выражения в (1.3.3) местная скорость звука л — 1 В+ (Р;+ с) Я (У, + ", ) = — '~; (1.3.4) ф ) (р с) д1(у 2 ) ~~, (135) Оператор в квадратных скобках показывает, что величина ( .-) 2с 1~, + — „) ) сохраняет свое постоянное значение при распространении волн в положительном направлении г со скоростью (Р", + с), а величина (11, — ) — при распространении 2л волн в отрицательном направлении со скоростью (У, — с). Широко распространенным методом решения уравнений сжимаемой жидкости является метод характеристик [54).
Введем характеристические координаты а (х, 1) и р (г, 1) такие„что й' — (1~, + с) И1 = О при () = сопз1 или — — (1', + с)— дг д) (1.3.6) На основании решения Римана 1511 для плоских волн конечной амплитуды представим уравнения неразрывности (1.2.5) и движения жидкости (1.2.6), учитывая (1.3.2), в следующем виде: и й — (У, — с) И = 0 при с« = сопз( либо — = (У вЂ” с) —. дг а» ар " ай ' (1.3.7) Уравнения (1.3.6) и (1.3.7) определяют два семейства характеристических линий с« = сопя( н )) = сои»1, где а называется «уходящей» характеристикой, а р — «приходящей». С учетом (1.3.6), (1.3.7) выражения (1.3.4), (1.3.5) легко привести к системе уравнений в частных производных." (1.3.8) (1.3.9) 1~( г) (1.3.10) где г — расстояние рассматриваемой точки течения от центра г т пузырька; 1 — произвольная функция аргумента (1 — — ). Как видно из формулы (1.3.10) величина лр представляет собой функцию двух переменных 1 и г.' Ее производная с учетом условия на бесконечности ( — +с„— ) лр — О.
Неизвестными в этой системе являются характеристические координаты с«(г, 1) и р (г, 1). Для решения системы (1.3.8), (1.3.9) используются численные методы, в частности метод конечных разностей, при заданных начальных и граничных условиях. При смыкании пузырька кривые с«(г, 1) н р (г, 1) будут расходиться от стенки пузырька г = 17 (1). При расширении пузырька с достаточно болыпой скоростью семейство характеристик р = = сопя( мажет стать сходящимся, что означает появление ударной волны, при которой (1.3.4) и (1.3.5) оказываются неправомерными.
Вследствие сложности точного метода решения рассмотренных выше уравнений рядом авторов были предложены различные приближения. В частности, в (95] предлагается считать, что все возмущения распространяются со скоростью звука. В этом случае предполагается, что скорость течения жидкости мала по сравнению со скоростью звука. На основании теории волн потенциал скорости расходящихся сферических волн определяется формулой дУ г др с Уг гУ вЂ” '+ — — + — + д1 р д1 2 1" Нр д1(, с гдр +с ) — +с гУ) — '+ —" — — — О. р г дг р дг Уравнение (1.3,13) дает связь между скоростью и давлением в любой точке жидкости. Если принять г=Р 1;=Я вЂ” = — В (Пгг — — ) д1 то получим дифференциальные уравнения, связывающие скорость и давление на стенке пузырька. Для замены частных производных полными используем соотношения: др др .
др — = — +Ив (Ы д1 дг ' (Ж дУг д1'г Ж ИМ + дг (1.3. 14) Уравнение неразрывности (1.2.5) преобразуем к виду 1 др др У, др др дУг 21гг — — — + — ' — — + — + — '=О р др д1 р др дг дг г или, принимая во внимание (1,3.2), получим 1 др Уг др д1'г 21'г — — + --'- — + — "+ — ' = — О. рга д1 рса дг дг г (1.3.15) Используя (1.3.11) и опуская промежуточные выкладки, пе- репишем интеграл Коши — Лагранжа в ниде У2, (Й.~ — ') = — () — — ). ((,3,)2) где с„— скорость звука на бесконечности. Из уравнений (1.3.11) и (1.3.12) следует, то возмущения, ха- У 1 рактеризуемые г(р и г Ь + — '~, распространяются в жидкости со скоростью звука с .
Такое приближение называется квази- акустическим, так как обычно в акустике делается еще дальнейУа шее допущение о том, что в (1.3.12) — ' (< Ь, и таким образом 2 возмущение, характеризуемое гг), распространяется со скоростью звука с . Если пренебречь вязкостью, массовыми силами и по- верхностным натяжением, то уравнение (1.3.11), учитывая (1.2.6), после ряда промежуточных преобразований можно написать следующим образом: Исключая из уравнений (1.3.13), (1.3.!4), (1.3.15) частные производные от р и Г„получим с помощью (1.2.6) уравнение движения стенки пузырька = — — — — — + — + Пренебрегая затем в правой части членами, содержащими в знаменателе сГ и с', вследствие их малости, напишем приближенное уравнение: Р Рй 1 — — ) + — А ~1 — — ) = —.— — + ) —.
(1.3.16) 2А~ 3 .Р/ 4А~ й Лр й Р4~ Р Если приближенно считать р = р, то ) — = — и г ар р — р~ Р Р решение (1.3.17) может быть получено при помощи численного интегрирования. В частном случае при малых скоростях движения стенки пузырька Ьс (1.3.16) приводится к уравнениям (1.2.13) для несжимаемой жидкости„ Кроме квазиакустического приближения при решении задачи используется приближение более высокого порядка, основанное на гипотезе Кирквуда — Беге, предложенной в теории подводного взрыва (34). Согласно этой гипотезе возмущения распространяются с переменной скоростью, равной сумме местной скорости звука и скорости движения частицы жидкости, т. е.
величине (с -1- к',). Или, иначе говоря, предполагается, что ве- $;2 личина г 1 й + †' ) распространяегся со скоростью (с + Р',). Тогда по аналогии с уравнением (1. 3. 1 1) можно написать: ~ ' -~ ( + г,> ф1 [. [~ .~ +) 1 - о. Р з 17~ Так как энтальпия Ь, входящая в (1.3.17), связана с плотностью, давлением и скоростью звука формулами (1.3.1), (1.3.2), (1.3. 3), то, опуская промежуточные преобразования, найдем: (1.3.18) 39 Подставляя (1.3.17) в (1.3.18), получим: ~ — + (У,+ с) — ~ ~ — '+ ~ =-О. (1.3.19) В соответствии с формулой (1,3.6) введем характеристическую координату сс (г; 1) и после преобразований перепишем (1.3.19) в виде: д (гуг г(с с )! да~2 л — 1 В дальнейшем из (1.ЗА), (1.3.5) с помощью (1.3.19) исключим величины с 1 — — '~ и с — 11 — 1, в результате получим ~ д ~ д.
~п-1~' одно уравненйе (У, — с) — „, ~У,— ) = (1' + с)(Р— сз) у г ~ и 1 + 2 + 2 1кс~. (1.3.20) Полагая в (1.3.20) г = Р, У, = Д и обозначая прописными буквами значение переменных на стенке, получим уравнение движения стенки пузырька у ~ Ы (д 2С ) 1 ~(Я+С)(~ с1) (1.3. 21) где С = С [р (А', 1)1 — скорость звука на стенке пузырька, а р ()г, 1) согласно 2 2 гл. 1 определяется формулой р (Р, 1) = р, — — + Р„~ — ) — 4р —, Если пренебречь взаимодействием вязкости и са;имаемости, то будет справедливо соотношение С=СР, )1) и движение стенки пузырька можно определять путем интегрирования уравнения (1.3.21), которое можно рассматривать теперь как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, не зависящее от поля скоростей жидкости. 4О Что же касается распределения скоростей внутри жидкости, то гипотеза Кирквуда — Бете позволяет исключить с из уравнения (1.3.8).
В результате получим ! Д4 С~ — с" Л', ! 2 и — ! / ' 2)гС~ —,(,, ) — (С ', ) при () == сопз1, где С связана с 1', соотношением г( — + ) =-Я( — + ). Таким образом, поле скоростей можно определить интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль одного семейства характеристик р =- сопз(. Первый интеграл выражения (1.3.21) легко получить, полагая в нем скорость звука на стенке пузырька постоянной величиной. Используя очевидное равенство — =, после А' ! А'о — ()и— и! ( н) промежуточного преобразования (1.3.2!) получим Ю(А — С вЂ” — ) А' — 2'Н К вЂ” 2 Н) з з / А'- ЗС!)' — + 2НС 2Н!) 3 (1.3.23) 4! С2 — сй Входящее в (1.3.22) выражение," представляет собой разность энтальпий жидкости между стенкой пузырька и бесконечностью Н.
Для заданных значений С и Н интеграл (1.3.22) может быть вычислен численно или графически. В частности, если определить корни кубического многочлена в знаменателе подынтегрального выражения, а затем разложить последний на простейшие дроби, то (1.3.22) можно проинтегрировать аналитически.
В большинстве практических случаев замыкания пузырька Н (СС' (для воды это соответствует условию )р! — р,) (С 2 к х 10' Па (2.10' атм), и подынтегральное выражение (1.3.22) можно аппроксимировать выражением, которое разлагается на простейшие дроби После подстановки (1.3.23) в подынтегральное выражениее (1.3.22) и последующего интегрирования находим: = — — ~4 1п(ЗС вЂ” Л)+ 1п (йз+ )— / з 2)о~4 з1 з ) — — ~/ — агс1я(14 ~ )1 .. (1.3.24) В частном случае, если положить |Н ~ (( С~, то последним членом в (1.3.24) можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
