В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Система уравнений включает уравнения: неразрывности, движения частиц жидкости и газа, баланса энергии, диффузии, теплопроводности, а также условия на границе раздела двух сред. Эти уравнения громоздки, и мы их здесь не приводим. Из опытов известно, что большинство пузырьков имеет сферическую форму. Примем допущение о сферической симметрии пузырька, которое значительно упрощает задачу, однако она все еще остается трудно разрешимой.
Дополнительно сделаем предположение о том, что внутренняя область пузырька однородна. В таком случае будем исследовать только поле течения вне пузырька, а параметры, характеризующие внутреннюю область, считаем связанными непосредственно с соответствующими величинами на движущейся стенке пузырька. 18 где б)ч — дивергенция векторного поля; 2) уравнение движения частиц жидкости (газа) — = — +(р. ~7) к = г — — Су р, И) дЧ 1 ж дг р (1.2.2) где У вЂ” вектор скорости; Р— главный вектор напряженности массовых сил; р — давление в произвольной точке жидкости; р — плотность жидкости; ~7 — оператор Гамильтона (набла); д . д д 7= —.+ — )+ — к; дх дэ дг ЙчЧ= — "+ — + — *; а~ „аи„л~..
дх ду дг ' 3) уравнение состояния р = р(р)' (1.2.3) 19 В дальнейшем для упрощения аадачн примем также допущения о том, что массовые силы отсутствуют, вязкость равна нулю, эффект взаимодействия между сжимаемостью и вязкостью пренебрежимо мал, так как жидкость, по существу, несжимаема, а эффект вязкости мал.
Движение стенки пузырька определяется в основном тремя факторами: инерционными, тепловыми и диффузионными эффектами. Так как эти факторы не всегда равноценны, то, рассматривая только превалирующие, можно значительно упростить решение задачи. Если инерционный эффект оказывается основным определяющим фактором движения пузырька (как, например, при быстром смыкании пузырька пара), то можно пренебречь тепловыми и диффузионными эффектами.
В этом случае скорость стенки пузырька иногда может превышать скорость звука, и жидкость нужно рассматривать как сжимаемую. Если преобладают тепловые и диффузионные эффекты, то скорость стенки обычно мала по сравнению со скоростью звука в жидкости. В этом случае сжимаемостью жидкости можно пренебречь. Если инерционные силы являются определяющим фактором движения пузырька и можно пренебречь всеми тепловыми и диффузионными эффектами, то система уравнений, описывающих движение пузырька, значительно упрощается: исключаются уравнения теплопроводности, диффузии и баланса энергии. Последнее обстоятельство объясняется тем, что для большинства жидкостей, результаты исследования которых представляют практический интерес в судостроении, существует зависимость р = = р (р).
В рассматриваемом частном случае система уравнений для невязкой жидкости имеет следующий вид: 1) уравнение неразрывности Фд, +б1,(рр) -О, (1.2.1) 4) граничные условия Р =Рг (!.2А) где р' — давление внутри пузырька; р — давление в жидкости, окружающей пузырек. Допущение о сферической симметрии течения позволяет получить более простые уравнения, если принять сферическую систему координат с началом в центре пузырька. В этом случае каждая физическая величина в произвольной точке течения зависит только от г — расстояния этой точки от начала координат, и только радиальная составляющая скорости отлична от нуля, т. е.
уравнение стенки пузырька г — й (Х) = О. С учетом сказанного напишем уравнение (1.2.1) в сферической системе координат (1.2.5) Уравнение Эйлера (1.2.2) в дальнейшем рассматривается в форме Громеко, а первый интеграл берется в форме Коши— Лагранжа; массовыми силами пренебрегают: Уг $+++Р =Р (1), (1.2.6) й~» =Р(Р). Если стенка пузырька движется медленно, то жидкость можно рассматривать как несжимаемую.
Тогда, полагая в (1.2.5) и (1.2.6) р (1) = р = сопз1, после преобразований получим: уравнение неразрывности г — +2К =О, дУг дг Г где У, = —; ~р — потенциал скорости течения; дф . дг интеграл Коши — Лагранжа — + — ~ — ~ + — =Р(1). д~р ! где тэ р дт 2 ~дт/ р (1.2.8) р где Р (р) = ) — — функция давления; Р (1) — произвольдд ) р(р) ная функция времени, определяемая исходя из граничных условий. Из термодинамики известно, что функция давления представляет собой рааность энтальпии для жидкости при давлениях Р и р .
В дальнейшем функцию давления обозначим через Потенциал ~р находим исходя из граничных условий. Преобразуем (1.2.7) к виду —,(сЧс,)=0 с')с,=О и 1с„= —,, В (1.2.9) где  — постоянная величина, определяемая граничными условиями. На стенке пузырька Тогда (1.2.9) преобразуем к виду (1.2.10) 1? =сст)с и )с,= —, Потенциал скорости течения находим путем интегрирования второго уравнения (1.2.10): (1.2.11) Используя выражение для потенциала ср, а также его частные производные по 1 и с', найдем формулу для определения давления в произвольной точке течения: Р(б КК +2йй ! ЯЯ +Р(1) (1212) р с 2 с4 Формула (1.2.12) позволяет найти поле давления в жидкости вблизи пузырька переменного радиуса Я (8). Для вычисления величин )с (1)„К (1), 4 (1), входящих в (1.2.12), составим уравнение движения стенки пузырька. Полагая в (1.2.12) с = К, после преобразований получим.
(1.2.13) где р — давление внутри пузырька. Величина р зависит от вида кавитации (паровая, парогазовая, газовая) и от законов изменения состояния газа. При изотермическом законе изменения состояния газа р определяется из а! (!.1.7), Тогда уравнение движения стенки парогазового пузырька с учетом сил поверхностного натяжения преобразуется к виду з за~я; з )Й + — Л вЂ” — ~Р— д, + — ! — '+ — = ~ а рд (1.2.
И) При адиабатическом расширении газового пузырька иа основании (1.1,13) получим: м+ 3 ьз Рм(К~~')зт+ 2о где у = '/, — показатель адиабаты для воздуха. Уже указывалось, что в общем случае функция Р (1) зависит от времени. В качестве примера могут быть рассмотрены три возможных закона ее изменения: 1) внезапное понижение давления в жидкости (растяжение) илн повышение давления (сжатие).
В этом случае Р (1) = — Р0 Р (1) = — '"; Р Р 2) изменение давления на теле (профиле), обусловленное его формой. В этом случае закон изменения давления определяется эпюрой распределения давления на профиле Р(1) = — Р Р где х (1) — абсцисса, центра пузырька; 3) изменение давления по гармоническому закону, что характерно для излучателей гидроакустических станций, у которых возникает ультразвуковая кавитзция. Если излучатель расположен на некоторой постоянной глубине жидкости, то р Ра Рвзюьх (1) = Р где р, — постоянное статическое давление; ра — амплитуда ультразвукового давления; в — частота колебаний.
При заданном законе изменения давления уравнения (1.2.14) †(1.2.15) решаются методом численного интегрирования. В качестве начальных при 1 = О принимаются условия й = М0, А=4,=О. Наиболее простое уравнение движения стенки получается для парового пузырька при мгновенном изменении давления (расши- 22 рение или сжатие). Если в (1.2.14) исключить третий член, учитывающий влияние газа, то уравнение приобретает следующий вид: при растяжении пузырька (разрежение в жидкости) (1.2.16) Ф р р' при сжатии пузырька (повышение давления в жидкости) И+ — 'А'+ — = — ~. з рй р (1.2.17) В уравнениях (1.2.16) принято Р (1) =- — — "" = сопз1, а Р в (1.2.17) — Р (1) = р,/р = сопз1 и р„(( р,.
Для иллюстрации на рис. 1.3 приведена зависимость радиуса парового сферического пузырька от времени с учетом сил поверхностного натяжения в переменном поле давления. Рассматривалось развитие пузырька в потоке, обтекающем тело вращения с оживальной формой носа. Профиль тела и распределение коэффициента давления С по длине при отсутствии кавитации даны на рис.
1.4. Кривая изменения давления р (1) получена по Ср при постоянных скорости потока $'„и числе кавитации и. Начальное статическое давление р, (1), при котором возникают пузырьки заданного радиуса, определяется по формуле 2о Ра (/) = Ри Йо Расчет произведен 148) для значений начального радиуса Д = 0,01, 0,1 и 0,5 мм и при р = 1000 кгlмз (102 кг/сЧм~); р„= = 2330 Па (238 кгс/м'); а = 0,0735 Н/м (0,0075 кгс/м); К = — 21,3 м/с; х = 0,30. На рис. !.5 проведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов. Некоторое расхождение зкспериментальных данных и теоретических кривых объясняется принятыми в теории допущениями, а также тем обстоятельством, что распределение давлений в зксперименте 192) было найдено неточно. В ряде случаев уравнения движения стенки пузырька приводят к безразмерной форме.
Введем безразмерные величины: Й . Рм. ~ гло хпз (1.2.18) йо гь 8а ~ г ~ Тогда, пренебрегая в (1.2.16) силами поверхностного натяжения и вводя безразмерное время т, после промежуточных преобразований получим: „'+ 3 ~+1 (1.2. 19) рЯ Йа1кгслг у у тр 1'-ю.уа') тр 1' тат~ О 0 Рис. 1.3. Зависимость радиуса парового сферического пузырька от времени (с учетом сил поверхностного натшкения) в перемен- ном поле давления. Ср 08 о,ю О ковффи- Рис. 1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
