В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 12
Текст из файла (страница 12)
~а~ Будем искать комплексные скорости — течения 'на пло- Ф ~й~ скости 1 и течения на физической плоскости „, используя известное представление рациональной функции в виде линейных множителей содержащих в числителе координаты точек, в которых искомая функция обращается в нуль, а в знаменателе— координаты точек, в которых функция обращается в бесконечность (нули и полюсы функции, (11.2.8)). Применительно к течению на плоскости 1 и найдем нули и ои полюсы функции —.
Нуди функции определяются критиче- от скими точками физического течения, в которых скорость обращается в нуль (точки О' и К') и в точках, где нарушается конформ- Рис. 11.8. К решению аадачн о канитапионном обтекании пластинки по схеме Д. Л. Эфроса: а — фнэическая плоскость течения; б — аспо- иотательная плоскость Ь ность (точки А' и В'). Полюсы находятся в точках, где располагаются особенности типа источника (стока) или диполя (точкн С' и Р'). Известно, что комплексные потенциалы течений, вызванных источником (стоком) или диполем, можно представить в виде М еии то =- — 1п(1 — а), щ= — — —, 2Л 2п р — а) ' а соответствующие им комплексные скорости — в виде Иа~ Я ! Ае М е"" от йп 1 — а ' от' 2л (т — а)' ' где Ц вЂ” интенсивность ксточника или стока; М вЂ” момент диполя; а — угол между осями диполя и Ох; а — координаты источника (стока) или диполя. Как следует из схемы течения (рис.
П.8, б), особенности располагаются следующим образом: в точке В' — сток, в точке С'— диполь. Используя аналитическое продолжение„распространим течение на всю плоскость 1 и найдем симметричные особые точки. На основании принципа симметрии !56! известно, что координаты точки, симметричной относительно отрезка вещественной оси, имеют комплексное сопряженное значение, а координаты точек, симметричных относительно окружности радиусом К, связаны соотношением )~~ .= Рура где р, и р, — радиусы концентрических окружностей, на которых расположены симметричные точки. Для окружности единичного радиуса 1 й =- На основании сказанного представим теперь все особые точки течения на плоскости ! (рнс. 11.6, б).
Таким образом, окончательно найдем следующее распределе- ние особых точек: нули — в точках с координатами; ( =- О, 1 = И, 1:= — И, — — — — 1= — ! 1=1; — э — ( з полксы 1-го порядка — ! = 1, полюсы 2-го порядка — ( =- (с, ! =- — (с, Ию Зная нули и полюсы функции —, напишем ее выражение: ~М ' ЙО ~р — ц(г+ () р — и)(г+на) (( — — '1((+ — '1 — =А ~й (( — !) (1+ () (Ф вЂ” (с)' ((+ м)~ ~( — — ~ ~ю+ — ) с~ ~ с) г(( — 0 (г'+а') (и + „~,) — А . (!1.4.1) (Р+1) (Р+Р) ((3+ — ) дю Составим теперь выражение комплексной скорости — также дя при помощи метода особых точек. Для удобства выкладок расдв смотрим безразмерную комплексную скорость — „, и найдем границы течения на плоскости годографа. На границе каверны ив ~ = 1, т.
е. получаем уравнение окружности единичного радиуса. Рассмотрев течение на физической плоскости, найдем, что нули функции находятся в точках 0 и К с ксюрдинатами 1=0, (=Й. 75 Используя принцип симметрии, распространим течение на всю плоскость. Тогда при зеркальном отображении через окруж- ность нули переходит в полюсы, а прн отображении через весце- ственную ось (диаметр) нули переходят в нули. После аналитического продолжения находим: нули функции —.
в точках с координатами: 1 =-- О, с =- са, 1 =- — ссс; с 1 полюсы — 1 =— к ' А с!и Строим функцию, по нулям и полюсам с(кК, ! Д В 1и 1)(1+й) В 1(1+'с) (П42) (-1) ~+1) ~"+ — ') Постоянную В находим на основании следующих рассуждений. При с = с' в точке 0 (рис. П.8, а), ссютветствующей стоку, ско- рость на границе каверны изменяет свое направление, т, е. ! с(ск — ~ = — 1. Подставляя это условие в (П.4.2), получим: с(к)ск — 1 = В = — Вссс с ( — 1 +кс) (-' -Ф) или (П.4.3) В.= —.. = — —. йк Лк' При учете (П.4.3) формула (П.4.2) приобретает вид 1 с(кс с 1 (!к + Ьк) (П.4.4) )ск с(к Ак ~ 1)' Разделив (П,4.1) иа (П.4.4), получим выражение для функции с(к — (М).
Выполнив ее интегрирование, найдем границу каверны, а затем характеристики течения. В результате получим с!к сасА ( )~ +кс) (П.4.5) 1 к рк + 1) (гк + сс) ~1с („ 1 ) Входящие в (П.4.5) неизвестные постоянные сс, с, А должны быть найдены на основании трех дополнительных условий.
1. Условие для скорости набегающего потока, состоящее в том, что в точке С при 1 = сс скорость ~ — ~ = 1'„. Тогда на с(ас с(к основании формулы (П.4.2) получим !с( — ск+ кс) !сс — сс (П.4.6) ~+ ьк! — 1п ~ — (1 —. !с)'Ц=О при 1= — 1с. !! г !!т л! '( л! (П.4.7) После подстановки (П.4.5) в (П.4.7) и промежуточных преобра-. зований найдем ' 3 (ПА.8) 3. Условие задания ширины пластинки, которое можно записать в виде: (П.4.9) После разложения (П.4.5) на элементарные дроби и интегрирования в пределах от — 1 до +1 находим длину пластинки, а после интегрирования по бесконечно малой полуокружностп вокруг точки 1 = ! определяем толщину струи б. Силу сопротивления находим по формуле С.
А. Чаплыгина после вычисления по (П.4А) комплексного потенциала. Болев простым оказался прием определения силы сопротивления, осно-, ванный на использовании теоремы количества движения П7). Рассмотрим обтекание пластинки, расположенной между двумя параллельными стенками, расстояние между которыми равно 2!!.
Проведем в бесконечности слева н справа от пластинки прямолинейные сечения, параллельные пластинке, и в бесконечности слева поперек обратной струйки, как показано на рис. П.9. Давления рс, рр, скорости Ф'с, $'о связаны интегралом Бернулли Рс Рп = (1'Ь Ю. 2 (11А.10) Очевидно, что расход жидкости в струйке равен Чр = р277 (Р'с — ~'о) где д — объемный расход. 2. Условие однозначного соответствия г(1) в точках 1 = (с вспомогательной плоскости 1 и г = ся физической плоскости. Это условие означает отсутствие циркуляции на бесконечности.
Из- вестно, что циркуляция зависит от вычета функции, иначе говоря, !!г вычет функции — в точке 1 == юс должен быть равен нулю. Ж Напомним, что если функцию ) (г) разложить в ряд Лорана по степеням г Г(г) = +Ь,г "+ Ь !г-'+ Ьа+ ..., то коэффициент Ь, называется вычетом функции. На основаниИ теоремы вычетов 1551 условие, указанное в и. 2, сводится к ра- венству Применим теорему об изменении количества движения к рассмотрению жидкости, заключенной между параллельными стенками, пластинкой, свободными поверхностями и прямолинейными сечениями, проведенными параллельно пластинке.
Рвс. Ц.9. К выводу формулы (Н.4ЛО). Приращение в единицу времени количества движения жидкости, заключенной внутри этого контура, равно — 1'ср2Н + рор2Н вЂ” $~,др, а результирующая всех давлений на жидкость — Х + (рс — ро) 2Н Приравнивая оба эти выражения прн учете (11.4.10), после преобразования получим ~р + ~'с+ уо) В случае безграничной жидкости, когда стенки удалены в бесконечность и 1~с = Ф'о —— — У„, находим силу сопротивления в виде х .— — ~р (~„+ р.), а затем н коэффициент сопротивления Выражая отношение †' через число кавитации х, найдем У С„= ~, (1+),'1+ ). (П.4.11) Входящий в (11А.11) расход жидкости д связан с толщиной обратной струйки 6 формулой Результаты расчетов по формуле (П.4.11) даны на рис.
П.1О. Как видно из рисунка, с ростом числа кавитации (уменьшенне длины каверны) коэффициент сопротивления увеличивается. В работе 1531 рассмотрен более общий случай — обтекание пластинки под углом атаки. В этом случае на плоскости вспомогательной переменной ! точки С' и Р' Ск смещены относительно вертикального диаметра окружности, а для определения шести постоянных составляют шесть дополнительных условий. В 1531 приводятся также результаты решения задачи о кавитационном обтекании решетки профилей. Рассмотрим теперь несколько видоизмененную задачу об обтекании кавитирукицей пластинки поперечным потоком.
Предположим, что за пластинкой вниз по потоку на оси симметрии в точке Е, (рис. П.11) расположен источник интенсивностью 9. Так как источник нахо- 0 7 2 дится в плоскопараллельном потоке, то его обтекание равносильно обтеканию полутела 165). Вследствие симметрии будем рассматривать верхнюю половину течения. Схема течения на физической плоскости дана на рис. П.11, а.
Для решения задачи воспользуемся также способом особых точек. Преобразуем внешнюю область верхней полоз! У 91 л Оь Рис. 1!.11. К решению калачи о кавитациовиом обтекании пла- стинки с источником, расположенным внии по потоку: о — фианче- скаи плоскость течении; б — вспомогательная плоскость вины течения плоскости г на первый квадрант вспомогательной плоскости ! (рис. П.11, б) так, чтобы свободные струи располагались на мнимой оси, а твердые границы потока — на действительной оси.
При этом зададим положение трех точек так, чтобы на плоскости ! точка В имела координату ! = О, точка Π— ! = 1, точка А — ! = оо. Йо (à — А) (г+ А) (à — А) ((+ А) (г г (~ — ь) (г + ь) (г — с)з () + с)2 — А нли после преобразований: Йо 1 (Р— й') (и — А~) д( А г(р (я)(га ) (11.4. 12) Найдем теперь особые точки функции — „, ((). Как следует из Йю рис. 11.11, а, течение имеет две критические точки (скорость равна нулю) Н и К, в точке Ь расположен источник, а в точке С особенность типа )l 1 — 1. Рассмотрим здесь также относительную Йо скорость Как уже указывалось, при решении предыдущей задачи на Ив границе каверны ~ †„ ~ = 1, т. е. на плоскости годографа, к зто уравнение окружности единичного радиуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
