В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При аналитическом продолжении через окружность нули переходят в полюсы, в полюсы — в нули. На вспомогательной плоскости 1 свободные струи располагаются на мнимой оси, позтому после аналитиче- 60 По аналогии с. предыдущим решением построим зависимости Йь Йь — (1) и — (() способом особых точек, для чего найдем нули М Ыю :и полюсы функций. Й~ Найдем особые точки функции — — комплексной скорости (Ы вспомогательного течения. Рассмотрев течение на физической плоскости (см. рис.
11.11, а), мы находим: нули 1-го порядка в критических точках К, Н, где скорость равна нулю, с координатами ( †-- Ь и 1 = Ь; полюсы 1-го порядка в точках)) (сток) и 1. (источник) с координатами 1 = О и ( = Ь соответственно; полюс 2-го порядка' в точке С (диполь) с координатой ( = с. Так как функция регулярна, то воспользуемся аналитическим ,ее продолжением через мнимую ось. В зтом случае согласно принципу симметрии нули переходят в нули, а полюсы — в полюсы. Таким' образом, после аналитического продолжения функЙь ции — через мнимую ось получаем следующее распределение Й особых точек: нули: при(=й, 1= — й, (=Ь, 1= — Ь; полюсы 1-го порядка: при 1 = О, 1 = Ь, 1 =- — Ь; полюсы 2-го порядка: прн 1 = с, 1 = — с.
Зная нули и полюсы, получим: ского продолжения через нее получим следующее выражение для относительной комплексной скорости: а~ (г ь) р-а) у~~ — ? <г+ь) — В ~~к (1+а) О+а) $/~+1(1 — ь) (И.4.13) или В = 1. 2) Условие для скорости набегающего потока. В точке 1 е с ~ЙΠ— =$' . Ф После подстановки этого условия в (И.4.13) получим: у ! (с — Ь) (с — й) р с — 1 (с+ ь) (И.4.15) ( +ЬИ +ьИ вЂ” ь)У +? 3) Условие однозначного соответствия функции г (1) в точках 1 = ?с и г = оо определяется (1?.4.7). 4) Условие задания ширины пластинки определяется формулой 11= 2) — (1) Й.
1 5) Условие задания расстояния до источника Е, имеет вид: ь ? =~ — „",(1)б(. 1 (И.4.17) б) Условие задания интенсивности источника Я. 1?а рис. И.12 приведены результаты расчетов относительных параметров каверны д„и Х„при расположении за ней полутела (точки на графике), и дано сравнение с соответствую- 81 Разделив (ИА.12) на (И.4.13), получим: (ы А (1+в)~(1+1) 1 г+! (11 1 1,1) и ~,в х(~+а)а(г,)р~ В правой части выражения (ПА.14) — шесть неизвестных параметров А, В, Ь, а, Ь, с.
Для их определения необходимы шесть .дополнительных условий, причем четыре из них примем такими же, как и при решении предыдущей задачи. йе 1) В точке ?1 (см. рис. И.11) при'1 = 0 отношение ~— лткк = — 1, так как скорость обратной струйки направлена в сторону, противоположную' направлению основного потока.
Тогда после подстановки этого условия в (И.4.13) получим: — 1=В „=В( шими параметрами без палутела (кривые на графике). Как показывает рнс. 11.12, а, если за каверной расположено палутело, ширина которого примерно равна ширине пластинки, то полуширина каверны для данного числа кавитации практически совпадает с полушириной каверны, образующейся при том же числе кавитации в случае отсутствия полутела (651.
На длину каверны при малых числах кавитации расположение за ней полутела влияет незначительно, но при увеличении числа кавитации (уменьшение длины каверны) влияние усиливается. Так, например, при н = 0,5 (рис. П.12, б) присутствие полутела приводит к сокращению длины каверны 'по сравнению со случаем Я = 0 на 12%, если полутело далеко от каверны ('~' = = 5,48), и на 22%, если расстояние от конца каверны до полутела составляет 0,085 длины каверны. в б. Кавитациониое обтекание пластинки в безграничной жидкости (по первой схеме М. Тулина) Рассмотрим пластинку АС (рис.
И.13), расположенную в патоке несжимаемой невязкой жидкости под некоторым углом атаки м к направлению скорости потока 1~ . Предположим, что течение характеризуется числам кавитации н, каверна заканчивается двумя односпиральными вихрями в точках Е и с), за которыми образуется тонкий вихревой след, монотонно сужающийся к бесконечности. Обозначим %'„ — скорость на гран~ще каверны, и« =- <р + гав комплексный потенциал скорости течения, тачка  — точка разветвления потока на пластинке. Схема течения на физической плоскости дана на рис. 11ЛЗ, а.
Принята прямоугольная система координат хОу с началом в точке разветвления. При решении этой задачи необходимо найти профиль каверны, силу сопротивления и подъемную силу. 83 Кроме физической плоскости рассмотрим еще две: плоскость комплексного потенциала скорости тн и плоскость функции Н. Е. Жуковского ге. Как указывалось в $ 2, функция го связана с комплексной скоростью Р и скоростью на границе каверны $~, соотношением: ю = 1п ~ = 1п — — -- 1п — е-' = 1п —, (11.5.1) Р 1'г'1 ~1ю Кк Рк оа ' гк Рис. П.13.
К решению зцаачи о кавитацнонном обтекании пластинки в безграничной жидкости (по первой схеме М. Тулина): а — физическая плоскость течении г; б — плоскость комплексного потенциала кч а — вспомогательная плоскость Ь Из выражения (11.5.1) видно, что — „= ь представляет собой Йй *г'к преобразующую функцию, зная- которую, а также комплексный потенциал, легко построить профиль каверны по формуле г= — ~ —. 1 4ю 1к (11.5.2) Плоскость комплексного потенциала рассматриваемого течения представляет собой плоскость с конечным разрезом вдоль положительного значения оси ф (рис.
11.13, б). Такое представление возможно в случае предположения, что потенциалы скорости в точках Е и Р равны фл = фо, а также равны аргументы йи =е. Преобразуем конформно плоскость ю на некоторую вспомогательную комплексную плоскость ! (рнс. 11.!3, а) так, чтобы выполнялось следующее соответствие точек: точка В: юа — — О, ! =-- О; точка С: юс = ехр (2п(), ! = — 1; точка Вч юр = — ~рр, ! -= оо. Связь между в и ! установим при помощи интегрального соотношения Кристоффеля — Шварца. Разрез АВС1? вдоль оси ~р комплексной плоскости ю примем за четырехугольник, внешность которого преобразуем на верхнюю полуплоскость ! !формула (П.2.
15) 1. В соответствии с рис. П.13, б и е найдем для нашего случая координаты а, и а;: точка А: и~и=-п, а~ =1, аг = !л, точка В: а,п = 2п, а, = — 2, а, =-: О; точка С: азп=п, а,=1, па= — 1; точка Й: и4Л = 2я, сс4 =-- 2 о4 = СО. Подставим эти координаты в (11.2.15), учитывая следствие теоремы, касающейся случая'а, =- со: ( ч( г) (г+а~) + После замены переменной и последующего интегрирования получим: с, г (((+и! с, 2,( (Р+А~)~ + ~ 2(Р+Я + Постоянные С, и С, найдем исходя из граничных условий.
в точке В ю = О и ! = О; в точке В в = ~рр и ! = оо. Подставляя эти значения в (П.5.4), получим",два уравнения для определения Ст и Сз: с Сз = з.н и Сз = <рр. 2й (11.5.5) После подстановки (11.5.5) в выражение для потенциала скорости (П.5.4) получим: ю = <рр г.,.. откуда !.=к ( ) ° (11.5.6) а = 1п — — (В, 1р( Кч (11.5.?) Входящий в (!1.5.5) потенциал ~рр находится исходя из граничных условий в точке С. После их подстановки в (П,5.5) получим барр — — 1 + /Р.
Согласно (П.5.1) функция ы представляет собой комплексное число: где Кем =- 1п —, а 1гп щ = — О. [У[ Ук Рассмотрим теперь изменение функции а на действительной оси полуплоскости 1 и на отдельных ее участках. Запишем известные граничные значения функции еи ! при 1л < ! < со [ У [ = У,. и 11ео = 1п 1 =- О; при О < 1 < 1л 1ш ы = — (и — а) =- а — и; прн — 1 < 1 < О 1т ы = — ( — а) =- сс; при — оо < ! < — 1 [У[ =- У, и йесо =- 1п 1 =- О.
(П.5.8) Таким образом, на вещественной оси для функции а (1) за,даны смешанные граничные условия, которые позволяют найти эту функцию на основании решения краевой задачи Римана— Гильберта для верхней полуплоскости. Здесь мы предполагаем, что функция а (1) на концах аа Ьа не ограничена, однако ограничен интеграл от ш (1). Задачу можно решить при помощи формулы (П.2.10) Келдыша — Седова, приведенной ранее в $ 2 гл.
П, гдето'('г)=!(ео (т) на отрезках аа Ь~; д(т) =- 11ш в (т) на отрезках Ьа ад+„ т — переменная интегрирования. Полипом Р„, (1), входящий в решение, принимается в виде степенного ряда Р (1) = А !'" + А,~ -' + ... + А,. В дальнейшем при решении задачи согласно [85[ ограничимся только одним членом ряда А,. Как следует из рнс.
11.13, вещественная ось, ограничивающая верхнюю полуплоскость 1 [см. абозначения формулы (11.5.9)[, имеет три отрезка: — ооЬ„Ь,ах, а~со, причем Ьт = — 1, аг —— — 1л. При учете сказанного формула для определения функции ы (1) получает вид: где При составлении функции Я (1) ветвь разреза действительной оси принята в интервале — ! < 1 < 1л. Интеграл, входящий в формулу (11.5.10), может быть представлен как сумма интегралов с пределами, равными координатам соответствующих точек на вещественнои оси 1. Однако, так как д (т) иа отрезках ( — оо $6 — 1) и (ул со) равны нулю, то равны нулю также первый и послед- ний интегралы этой суммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
