В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(Ш.1.16) о Так как рассматривается обтекание прн я = — О, то р„=- р, 'р'„= — 1' и в формулах (Ш.1,14) — (П1.1.16) р (х, О+) = р, = =- р . Позиционные гидродинамические характеристики профиля определяются следующими выражениями: )' . Х С„.= ь, С,,= рр рр„ — Ь 2 2 — Ь (1И.1.15) М рМ„ — Ьь 2 (П1.1. 17) где Ь вЂ” хорда профиля. После подстановки в (Ш.1.17) формул (П!.1.14) — (П1.1.16) и учета (П1.1.4) гидродинамнческие характеристики кавитирующего профиля представим в виде ь ь ь 20~, г 20~ Оу ь 1 р ( к 1 р Ь р ь о ь С = — )х — бх. 2ьк И3 у Ьь о (И1.1.18) р" ь ' 4фоа($, О ) ьч(з, О ) дз С = —— )г2 Ь (Ш.1.19) Выразим эти характеристики через вызванные скорости некавитирующего профиля ор и„. Принимая во внимание, что х = — Р; ь(х = 25а$, получим: р'ь ~( Жчй* ~-)~В .
В выражение для С„входят две составляющие скорости па и и„. При решении линейной задачи, как известно из теории тонкого крыла, на основании интеграла Коши можно получить связь между и„и оз в виде: / ьо(Г ОЬ ч — и о где 5' — текущая координата. После подстановки этой формулы в (П1.1.19) для С„найдем: )/ь )/ь 4$оь(5, О ) (з 1 оь($', О ) / яИ/о / Принимая во внимание, что $ — $' $-Г , +1, после преобразований получим )/ь. 1/ь ~ Г%(Г О-) (~ ( ьтВ О-) (~ ц)/ о .О о )/ь )/ь + ~ 4ьо(С О ) (~ о о Так как первый двойной интеграл в этом выражении равен С, то в результате найдем: )/ь о ~пе($, О )ь(З о Используя принцип симметрии, распространим течение также на всю плоскость ь.
Тогда коэффициенты подъемной силы и моментов некавитирующего искаженного профиля: С,С= — — ~оьь($; )/ьи о (Ш.1.20) ют Формулы (1П.1.20) составлены по такому же принципу, как и (111.1.18) для физической плоскости г, однако в плоскости ь длина пластинки равна )г Ь, а интегрирование давления производится по верхней и нижней сторонам профиля (безотрывное обтекание). В результате сравнения (Ш.1.18) для кавитирующего профиля с аналогичными выражениями (Ш.1.20) получена связь между гидродииамическими коэффициентами при струйном обтекании заданного профиля и при безотрывном обтекании искаженного профиля: Формулы (111.1.21) могут быть проверены для простых слу- чаев обтекания, для которых известно точное решение.
Например, для пластинки, обтекаемой безотрывно при малых углах атаки сс, как известно, ла. 5 С„с =-2ла; С с=- —. С ~. = — гзх, 2' 32 Сопоставляя эти выражения с (П1.1.21), получим для струйного обтекания: ЯЯ яа' 5 С=- —" С= — —; С = — яа 2 ' ~ 2 ' ~ 32 или а = 2 ' = 32~ (111122) Рассмотрим теперь более общий случай обтекания тонкого кавитирующего профиля вблизи свободной поверхности при я зь 0 14). Примем все рассмотренные в начале параграфа допущения и ограничимся решением задачи по линейной теории.
Эта задача имеет практический смысл — позволяет исследовать движение высокоскоростных судов на подводных крыльях (обтекание кавитирующего профиля под свободной поверхностью). Для упрощения решения задачи предположим, что обтекание происходит прн больших числах Фруда и поэтому на свободной поверхности горизонтальная составляющая скорости равна скорости потока на бесконечности. В качестве схемы обтекания примем схему М. Тулина с двух- спиральными вихрями. На рис. 111.3 показана физическая плоскость кавитационного течения и приведены граничные условия на сторонах разреза и свободной поверхности.
Точка г" соответствует бесконечности, где происходит совпадение границы турбулентной струи каверны и свободной поверхности. Рис. 1Ц.З. Кавитационное обтекание тонкого профиля вблизи свободной поверхности: а — лннеаризоеанная физическая плоскость; б— вспомогательная плоскость; а — отнесенные к углу атаки зависимости коэффициента подъемной силы от числа кавитацни. Рассмотрим линеаризированную физическую плоскость и найдем граничные условия на сторонах разреза и иа свободной поверхности: ВеРхнЯЯ стоРона РазРеза пРн У = Оь При О (х (хл профиль оз =— оу1 <Ь каиериа о» =— 2 граница турбулентной струи о„= О. Нижняя сторона разреза при у = 0 При О (х (хс профиль оз =— оуз йх — х ь хс ( х ( хв каверна о„=— 2 хо (х (хз граница турбулентной струи о„=О ь У=Н свободная поиерхиость и».= О Течение на физической плоскости ограничено свободной поверхностью, каверной и поверхностью профиля.
Можно считать, что течение находится внутри некоторого многоугольника, у которого два угла равны нулю. С помощью интеграла Кристоффеля — Шварца преобразуем внутреннюю область этого многоугольника плоскости г на верхнюю полуплоскость ь так, чтобы его вершины расположились иа действительной оси $?см. (11.2.14)?. Коэффициенты а, и а,- имеют такие же значения, как и при решении нелинейной задачи (й' 6, гл. 11). Поэтому перепишем выражение (?1.6.1) так: г= С, ~ — „0~+С„ (ПП.?.2З) ь хА (х (хе » хя (х (хя 11О где (з — ксюрдината точки г" на вещестпенной оси вспомогательной плоскости ь; С„ С, — постоянные, определяемые граничными условиями.
После интегрирования (1И.1.23) получим: г = С, 1~ + р 1п (~ — р)1 + С,. (1П.1.24) Постоянные С, и С, находим исходя из следующих условий. В точке В на физической плоскости г = О, на вспомогательной плоскости ь = — О. Подставляя это условие в (1П.1.24), установим связь между постоянными: С, = — Сф1п — (3 При обходе точки ь =- р по бесконечно малой полуокружности выражение (111.1.24) изменится на величину г = 18, отсчитываемую от свободной поверхности до начала координат по вертикали, Опуская промсжуточные преобразования, найдем Н С,= — —.
яр ' После подстановки значений постоянных выражение (П?.1.24) окончательно приобретает следующий вид: Координату бесконечно удаленной точки ]3 легко определить из (?11.1.25), полагая г = оо. В результате преобразования находим р = — 1. После подстановки этого значения в (1П.1.25) получим: г = — (ь — !п(1+ ~)]. (П1.1.26) Граничные условия на вещественной осн 5 полуплоскости ь: при $о < а < оо граница турбулентного следа и (т) = 0; при ас<$<$о граница каверны: д(т) = —; при О < $ < $с поверхность профиля: д (т) = 1 ф; при $л< ф<О поверхность профиля.
д(т)=~ Ну~ . при $а < $ .. $а граница каверны: и(т) = —; при р<$<5а граница турбулентного следа: я(т) =О; прн — со < 5 < (3 свободная поверхность жидкости д (т) = О. (Ш.1.27) Таким образом, задача сводится к отысканию функции о (безразмерной вызванной комплексной скорости) по заданным смешанным граничным условиям.
Как уже указывалось ранее, это задача Римана — Гильберта. Для ее решения в данном случае можно воспользоваться формулой Келдыша — Седова. Согласно (П.2.11) перепишем ее еще раз с учетом обозначений настоящей задачи: где При составлении ?1, ь Я) разрез сделан в диапазоне 4л<~<~с, и(т) определяется по граничным условиям (1П.1.27), 11! )' (ь зс) (ь+ зА) 2'Н х ЪИ Р (т зс) (т+ зА) (" — ая о Ид, И 1С)( +~А) ( аА ~ 1 — тгй сии 1 (т — 4С) (т+ ?А) (' — ~) ар я тИт + ' ) ?/(.— ?,)(т+й,)( — Р ес (111.1.29) Первый и третий интегралы, входящие в (1П.1.29), табличные (?б!.
После ряда промежуточных преобразований получим: о Иут т ст д~ М (т зс) (т+4А) (т ь) 1А ;,(д 1 $ (1- йс)6 — 1А) в а с Фв Н.х ™ )/ ( з ) (т+ з ) ( $я+ 1 1и — + ь — йр + 21п)' (ьр ~с)(ь+ьА)+ 1с(ь -с)(зр+ьА) + $~(зя+ зс) (ь+ зА) 1 (ь зс) (1е зА) ~ 2$ (~ зс)(ь Ь1)1 )Гй~ зс ) ~~+41 (Ц? 1 30) Ф ~я+1с+$ ~я йА Уравнение (П1.1.30) решается совместно с (П?Л.25), неизвестными в (111.1.30) являются 5р и $Я. 112 При решении задачи считаем, что скорость и($) в точках А и С ограничена. Это допущение следует из постулата Жуковского — Чаплыгина.
Тогда на основании рис.?П.3 находим о„= =~., ~А; Ь„=о. В дальнейшем, как это было сделано в $ 5 гл. П, интеграл (111.1.28) представим как сумму интегралов с пределами, равными координатам соответствующих точек на ве1цественной осн 5. Так как на отрезках г"Е и ЛЭ граничные значения функции и (ь) равны нулю, то первые два и последний интегралы обращаются в нуль: -6А Для их определения составим два дополнительных условия. Первое из них определяется предположением о равенстве абсцисс верхнего и нижнего спиральных вихрей. С помощью (П1.1.2б) можно получить условие 1+ $о $о+$в=- 1п, 1с "~ьатл, дх ™ , (1+ 1)/'(1,— )(+В,) „)г' — й 1)г1 — ~д(1 — 6 )+)~(1+6 )(1 +1л)) р' +~.
Ь'К.+~ И -й )-И +~М.-4)1+ +)'(1+~,)(1 — Ы1 ~ ~' ~' )'~ +Ч. (П1.1.31) 1 1е+ ~с+ 1' ~е ~л) Таким образом, неизвестная комплексная скорость и (ь) в произвольной точке потока определяется путем совместного решения уравнений (Ш.1.30) — (П!.1.31). Гидродинамические коэффициенты вычисляют по формулам, составленным с учетом (Ш.1.14) — (1П.1.17), (Ш.1.24).
Кроме того, принято Н = 1 м, )~,. = 1 м/с, р = 1 кг/ма. Следовательно, С = — ' ( ъ(01Ж. — —,—.(„,,' „,, 1А $с С-= —, „',, ~.—,(0[1 1.(1+1))х 1А 1 1с 2 1" — - ~0~ 5с — !п(11-а ) ) о«Я ЪЯ 1 ( ~ ° (Ш.1.32) 11- Второе дополнительное условие получаем исходя из замкнутости системы тело †каверна †. Это условие эквивалентно предположению о равенстве нулю вертикальной составляющей скорости о„= 1т о (ь) при $ =- — 1, соответствующей иа физической плоскости бесконечно удаленной точке.
Подставляя это условие в (1П.1.30), после ряда промежуточных преобразований найдем Наиболее простые решения получают для плоской пластинки. В этом случае зл =- 4 = О, — = — а, где а — угол атаки. ад~ сх Тогда уравнения (1П.1.30) — (1П.1.32) значительно упрощаются: -,(~) „,, )/(~-1д~ ~ .. ('1„%+~) l 2" 1 ь зв „1„й(й — 1д+(~ — йс)~ +~)/~Вв(~ — 1с)(Вв — 6д (~а+~с)~+(~ 1с)йе+ )/(~ М)~ ~я(йе+~с) Л4 — $3 „н — ! -';2Л Я ~-Ь1 %+1с+2)/йв(йв+1с) 1 (1/Т+~,— 1)=н )/1+~с)п~ ~в ~с+~ в )/за+ зс +)/зн , )/1 — й,()/'й — й.+)/й,(1+йдЦ )/ +й.()/Х;.+~.+)/~.(1+йд)) ' 2н „ (1П.1.35) где '4с и 1' )/Яв зс+)/ ьв 1 2 2н ~~в+~а+~с )/'~ +й 1)/~ ) нес )/йи )/'Г )/$, +)/з +~ )/Г+)/$ — Т Из формулы (П1.1.35) путем предельных переходовлегко получить выражение для С„для частных случаев обтекания пластинки: для струйного обтекания вблизи свободной поверхности (и=О во=за- — -ов) Ср — 1 ($ — 2)/1+$с — 1) =и $с ~)/'+ с ° (1П 136) и $~ — 1~ (1+ йд Для обтекания в безграничной жидкости (зс= — О.
$в=$и= = Зи/зс) с,-"[ (П1.1. 37). 114 где ~е + у ~е ф%в + 1+ ~/ $в ~/ Вв ! + ~/ 5в На рис. 1П.З, э приведены результаты расчета по формулам (1П.1.33) — (П1.1.35) относительного коэффициента подъемной силн С/а в функции от числа кавитации и/а при различных глубинах погружения й = ЧЬ, где Ь вЂ” длина пластины. Как видно из рис.