В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(111.3.42) ,) )' (х — Ь) (1 — х) о Оаг О,3 г, О,4 3=(з Рис. !П,12. Результаты расчетов по формулам (111.3.40) и (Ш.3А3): ь — длина каверны прн и = О; — — — по форлпуле [1и.зло); по форнуле Пн.з.азз. После подстановки в (111.3л42) значении функций 1(х) согласно (П1.3.31) и вычисления отдельных интегралов условие плавного замыкания каверны на контуре примет вид 2 (' [о„+ Лил! 4(х — + .
(Ш.3.43) "41"и †по в к( †ее в В результате решения уравнений (111.3.38), (111.3.43) получим контур с ордниатами у„== уо + у,, который можно рассматривать .139 как каверну, образованную на теле, ординаты у тела удовлетворяют следующим условиям: у( (г„при Ь( х(1; У =- Уч пРи х =-Ь; х ~ 1. Таким образом, получим две формулы, связывающие параметры 1, Ь, а, 4, н: первая из них — для случая замыкания каверны по нормали к поверхности тела (Ш.3.40), вторая предполагает плавное замыкание — (см. формулу (И1.3.43)1.
На рис. 111.12 приведены зависимости числа кавитации я от длины каверны 1 при постоянных значениях мощности источника, подсчитанные по этим двум формулам. Характер изменения зависимостей и (1) различен. Полагая в формулах (П1.3.38) — (П1.3.40), (1П.3.43) интенсивность стока ~~ -- О, получим зависимость для случая кавитационного обтекания тонкого тела без стока. Полученные результаты могут быть использованы при оценке влияния работающего гребного винта, установленного за кавитирующим телом, на характеристики каверны. Влияние потока двухфазной жидкости за каверной на характеристики гребного винта показано в работе А.
А. Беспрозвания. й 4. Влияние весомости жидкости на характеристики кавитационного обтекания тонкого клина Приведенные выше примеры решения задач о кавитационном обтекании тел рассматривались в предположении, что влияние весомости жидкости на параметры каверны отсутствует. Однако такое решение, вообще говоря, весьма приближенно, так как весомость окружающей каверну жидкости вызывает деформацию границы каверны в зависимости от направления вектора силы тяжести по отношению к условной оси тела и скорости его движения. Для установления этого влияния рассмотрим два предельных случая кавитационного обтекания: а) обтекание тела, при котором вектор силы тяжести направлен перпендикулярно продольной оси тела, движущегося параллельно свободной поверхности; б) обтекание тела, при котором направление вектора силы тяжести совпадает (или имеет противоположный знак) с направлением продольной оси тела, что соответствует движению тела перпендикулярно свободной поверхности.
Эти два случая движения имеют практическое значение. Задачу будем рассматривать в линейной постановке. Рассмотрим линейную задачу о кавитационном обтекании тонкого клина в поперечном н продольном поле тяжести. Для упрощения возьмем клин единичной длины. Вследствие тонкости клина и каверны граничные условия на их поверхности будем переносить на продольную 140 ось клина. Физическая плоскость течения дана на рис. П1.13, а, б, а плоскость после линеаризации — на рис. П1.14. В качестве безразмерных величин, характеризующих кавитационное течение с учетом влияния сил тяжести, примем: число кавитации р Р« Х == р1'з 2 число Фруда Гг= — =, где Ь вЂ” длина клина. раь ' Задача состоит в определении вызванных скоростей, обусловленных влиянием весомости жидкости. а) Рис. П1.13. Каантационное обтекание клина с учетом сил гравитации: а — физическая плоскость м течении в поперечном гравитацион- ном поле; о — физическая плоскость течения в продольном поле тяжести; а — связь между парамет- рами клина и вызванными скоростями.
Рассмотрим сначала задачу о влиянии поперечного гравитационного поля на кавитациониое обтекание тонкого клина (рис. 1П.13, а) и составим уравнение Бернулли. В левой части уравнения запишем члены, характеризующие давление и скорости у основания клина, а в правой его части — аналогичные члены для произвольной точки на границе каверны: (П1.4.1) где ра, 1'„— давление и скорость потока на поверхности каверны в невесомой жидкости; и, )' — давление и скорость потока на поверхности каверны в произвольной точке в весомой жидкости; уа — ордината границы каверны. Учитывая предположение о малости вызванных скоростей, можно написать, что 1' =- (1'к + пх) — (пя и ~"' =- (~'к + ое)' 1- гЯеч 141 Пренебрегая квадратами малых величин, найдем Ь" = $1+ 2$ кох' Рк — $'к=-2$'кох (111 4 2) Тогда с учетом (111.4.2) выражение (111.4.1) представим в виде Р— Рк = — ($ к — Р) — рярк = — рркох — ряр„.
(111.4.3) к= 2 Из (111.4.3) находим коэффициент давления: Р— Рк 2и~ яяук (х) Лк — „,З .— )~ ук к к х (111 А. 4) Найдем теперь граничные условия на поверхности клина и каверны. Учитывая малую толщину клина, а также то обстоятельство„что суммарная вызванная скорость на клине должна быть касательна к его поверхности (рнс. 111.13, в), можно написать: Ф1 =- лд Йя 1+лх ол= )) при 0(х<1, (1П .4.5) где ал =- )) — на верхней поверхности клина; ол = — р — на нижней поверхности клина. Давление на поверхности каверны равно давлению в каверне, т.
е. Р = Рк и С = О. Тогда, принимая во внимание (1Н.4А), получим второе граничное условие — на поверхности каверны: лх лук (х) ох= — =— к $/к их яяк (х) (1 +к) (111.4.6) Третьим граничным условием будет условие на бесконечности. Действительно, при г =- оо К,+ох=Ъ"; о„=1'„— Ъ; или —" = — — ! = — 1кк — к . (1Н.4.7) )к Кк ~/")+я 2 где р — половина угла раствора клина; о, о„— безразмерные вызванные скорости, отнесенные к скорости $;.
Однако вследствие тонкости клина и малости ох по сравнению с единицей первое граничное условие упрощается и получает вид (1П.4.12) При этом щеки клина переходят иа дуги единичного полукруга, как показано на рис. 111.14, в. Найдем координату точки М, Рис. Ш.(4. Линеариаованная плоскость течения в поперечном гравигапнонном поле (а), вспомогательная верхняя полуплоскость Ь (о).
вспомогательная полуплоскость ! (в) н граничные условия. соответствующей бесконечно удаленной точке на физической плоскости. Для этой цели преобразуем первое из выражений (П1.4.10) к следующему виду: ==-'('- +") (Ш.4.13) Подставляя затем вместо ь его значение через 1, получим 4(Р!а ) г= — 1(1— га+ 2(! + 2(га) (и+ ! После подстановки Ф по формуле (111.4.11) 4(! — !! (и ) г =1()в (111.4.14) !а+2(2! !) (а+1 144 Дальнейшее решение выполним при помощи метода особенностей, при котором вызванная комплексная скорость формируется как сумма комплексных скоростей, обусловленная особенностями.
Для этой цели преобразуем течение на плоскости ь на новую вспомогательную плоскость 1 по формуле Найдем на плоскости 1 координату точки, соответствующей Как видно из (1П 4.14), г =- ос, если выполняется условие 14+2(21 — 1) Р+ 1 =О, откуда г =- '()/! + 3/1 — 1); г' = 1 (~/ ! — )/! — ! ).
(П!.4. 15) Физический смысл имеет первое выражение (П1.4.15), так как точка лежит вне контура обтекания. Перейдем к построению выражений для составляющих комплексной скорости, учитывая при этом условия на границе потока иа вспомогательной плоскости й Из рис. П1.14, а видно, что реальные части вызванной скорости должны удовлетворять граничным условиям на оси х, а мнимые части — граничным условиям иа единичном круге. Выражение для вызванной комплексной скорости представим в виде о (1) = — — 1п:. + 1А ~! — — ) + В + 1Е 1п1+ Ю: 2!3 1+1 . У 1 Х .. Р— 1 и 1 — 1 (, 1) И+1 ' (П1.4.16) где А, В, Е, 13 — действительные постоянные, определяемые из граничных условий. Постоянные В и Е найдем исходя из изменения о (1) на вещественной оси плоскости й В точке А при ! =- 1 на основании (П1.4.16); 213 1+1 2р ~ у и (1) — — — — 1п .' + В == — — 1п е ' + В = —  — 1р.
л 1 — 1 а Принимая во внимание, что о = и,— Ы, найдем:  — -- о„= — с. В точке А' при ! — — --1 с (!) =- — — 1п,, + 1Е! п — 1 +  — -- — с — пЕ + 1!3, 2!3 — 1+ 1 откуда 2 о =-с = — с — пЕ или Е= — — —. Х= и Для определения постоянных А и 13 разложим искомую функцию о (1) в ряд Лорана: с(1) =-а„3- — '+ —,'- а 1 1 14 Принимая во внимание условия на бесконечности (111.4.7), найдем 1 а,=и == — 1. х 1/" ат — — 0 (условие отсутствия вихрей на бесконечности). Используя второе из этих условий в (111.4.16), найдем значения постоянных: Р 2с (1 — т) А= (1 1) и Р= — —:„1пО/1+)/1 — 1), где Т=21 — 1+2)/1(1 — 1) ° Входящие в (111.4.16) особенности находим исходя из следующих соображений: 1) особенность вцда 1п —.
соответствует скачку в 11п о 1+1 1 — 1 в носике клина на единичном круге. Действительно, при 1= -~- 1 1п —. = 1+1 . и. — 2 ' 2) особенность вида 1 (1 — — ~ характеризует вызванную 1 1/ скорость и при обтекании полуокружносги. Так, при 1= 1 1(1 — — ) =О, 1т т. е. в угловых точках скорость равна нулю; 3) особенность вида 1 1п 1 соответствует скачку в це и при переходе от верхней к нижней границе каверны (на плоскости 1) 0,1>0 1 11п1= ' ); и, 1~0 )' .Р— 1 4) особенность вида 1,, удовлетворяет условию на бесконечности. Практически более удобно искать решение в виде функции и (а). Тогда (111.4.14) преобразуют к виду 8 (а) и раскладывают в ряд по степеням 1/г при г оо (1 — 1 ), а полученнь1й результат подставляют в (П1.4.16).
Коэффициент сопротивления, отнесенный к длине клина, определяется путем интегрирования давления по поверхности клина С„=2) С,„(у=а" +"1"' ', (Ш.4.17) о где С, определяется формулой (1114.9). 146 Коэффициент подъемной силы, отнесенный к длине к,чина: С, =- — 2(1+к)с 1+2($'1(1 — 1) (!+ + 1и Ьт( + )I ! — 1 )~ — (~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
