В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(111.3. 1?) Интегрируя (1П.3.17) согласно (П1.3.5) в пределах от Ь до $, найдем формулы для определения ординат точек границы каверны а) у Уев Рис. !Н.10. Образование каверны на илоском контуре: а — схема Н. Е. Жуковского; 6 — линейный аналог схемы Д. Л. Эфроса; в — схема Рябушинского.
ков и стоков, заменяющих каверну, равна некоторой постоянной величине с ) д(х)дх= — 2уи(1) =2й, (1П.3. 20) о где уи (1) — ординаты границы каверны в месте ее замыкания. Используя это условие в формуле (П1.3.18) и принимая с == 1, получим условие замыкания каверны: У Я вЂ” -)г= ) 1/ ь а' г(х — — „х(1 — Ь) (П1.3.21) о Полагая ь ~ ( ~/ 1 — л + '~ / Ь вЂ” л ) 4/а,(„ о получим, что (П1.3.21) соответствует линейному аналогу схемы Жуковского — Рошко (рис. П1.10, а): 2 (' г1рв г,) бв р'(1 — и) <ь — и) о (П1.3.
22) Второе условие характеризует течение в кормовой части каверны, которое зависит от принятой стационарной схемы кавитационного обтекания. Напомним, что в действительности в хвосте каверны движение жидкости нестационарно, и именно поэтому прибегают к схематизации кавитационных течений. Более подробно эти схемы были рассмотрены в $1 гл. П.
а) Сформулируем в линейной У постановке второе необходимое нам условие. Положим, что суммарная интенсивность источни- Если величину й принять равной — — С„, то условие (П1.3.20) 1 будет соответствовать линейному аналогу схемы Д. А. Эфроса (рис. П1.10, б). В этом случае в области, занятой каверной и контуром, есть сток, расход жидкости в котором пропорционален сопротивлению контура. Границы каверны при этом пересекаются и замыкаются на две линии, уходящие в бесконечность. Показанные пунктиром линии соответствуют течению на втором листе Римановой поверхности.
Подставляя значение я в (П1.3.21) и принимая во внимание (П1.3.16), получим для этой схемы: о' о 2 — х+ — -- — ~ ( — ' '1/1 — х йу, 1 1 — ь ~( а~у ох 1)' Ь вЂ” х До + Эл '~.) Их р(1 х) (Э,) о о и— (Ш.3. 23) Если каверна замыкается на эллиптический контур (рис. П1.10, е), то суммарная интенсивность источников и стоков, заменяющих каверну, равна нулю, т. е. й = — О. Такая картина замыкания соответствует схеме с зеркалом или первой схеме М.
Тулина. В этом случае н .—.= ~ ~/ ~ ф Нх. ' (П1.3.24) о При больших значениях 1 (1 )) Ь) выражения (П1.3.23) и (П1.3.24) в пределе совпадают: о (П1.3.25) Таким образом„для развитой кавитацни (каверна замыкается далеко за кавитирующим контуром) схема Д. А. Эфроса и схема с замыканием на эллиптический контур оказываются равноценными.
Для решения задачи должно быть задано уравнение кавитирующего контура. Если уравнение контура задать в виде поли- нома, то интегралы, входящие в формулы (П1.3.22) — (П1.3.25), вычисляют элементарно. Задают также абсциссы точки замыкания каверны 1. Далее исключают параметр я из (П1.3.19), и при помощи одного из равенств (П1.3.22) — (П1.3.25), в зависимости от принятой схемы кавитационного обтекания, определяют абсциссу точки схода каверны Ь. После исключения аналогичным 134 $'к« = ~'с + ц«+ Лп«+ и«, + бо«, + п„„(1П.3,26) где г' — скорость потока на бесконечности; и„ вЂ” проекция скорости, вызванной системой особенностей, заменяющей тело; Ло„— проекция скорости, вызванной влиянием стока на систему особенностей, заменяющую тело; и„, — проекция скорости, вызванной системой особенностей, заменяющей «наращиваемый» контур; Лп„— проекция скорости, вызванной влиянием стока на систему особенностей, заменяющих «наращиваемый» контур; о„, — проекция скорости, вызвангюй стоком.
Исходя из условий непротекания на контуре каверны и учитывая допущения линейной теории и зависимость (П1.3.1), можно найти где д, — неизвестная интенсивность системы источников и стоков, заменяющих наращиваемый контур и расположенных на отрезке Ы оси 0х. Формула получена на основании следующих рассуждений: на бесконечно малом участке длины «Ь направление скорости, касательной к границе каверны г'„, совпадает с секущей. Эта скорость имеет проекции па координатные оси (',» и У, . Из рис.
Ш.11, б видно, что $'„«= — $'„, ~', . (Ш.3.27) образом параметра к из (1П.3.16), (П1.3.19) находят зависимость С„и у, от 1. 'йрассмотрим теперь другой метод решения: исходный некавитирующий контур наращиваегся дополнительным контуром так, чтобы сумма вызванных скоростей исходного и дополнительного контуров равнялась скорости на границе каверны. При этом поле скоростей исходного контура может быть задано с любой степенью точности, а условие «тонкости» добавочного контура может быть выполнено и тогда, когда исходный контур не является тонким. Это обстоятельство позволяет с помощью метода «наращивания» решать также и нелинейные задачи.
В качестве примера, иллюстрирующего применение этого метода, рассмотрим задачу об обтекании тонкого тела в режиме частичной кавитации при наличии стока, расположенного за телом на оси симмегрии (Ц. , Поверхность комплекса тело — каверна будем рассматривать как непрерывный контур, на котором выполняется условие не- протекания, а на поверхности каверны соблюдено условие постоянства давления.
Физическая плоскость течения дана на рис. П1.11, а. Проекцию скорости на границе каверны на ось Ох представим в виде Так как интенсивность источника нли стока есть расход жидкости д, через заданную поверхность (в рассматриваемом случае через отрезок единичной длины), то при учете влияния стенки (исходного тела) формула для интенсивности д, получит вид д,= 2)т,„— „„, оУг как было показано выше.
Задача состоит в определении неизвестной системы особенностей от (з), поэтому в правой части интегрального уравнения а) Рис. 111.11. К решению задачи об обтекании тонкого тела и режиме частичной каиитации ири наличии стока„расположенного аа телом на оси симметрии: а — физическая илоскость течения; б — объяснение к формуле (111.3.27). относительно этой неизвестной должны быть записаны скорости, вызванные этими особенностями, т.
е. (111.3,26) перепишем так: !ти — )т — о» вЂ” Ло„— о»,: — — оа, + Ьол,, (Ш 3 28) Тогда интегральное уравнение получим в виде с ! чт (Р' л — .=- о„, + Ло„, = Ъ', — Ъ' — о„— Ло„— о„„(Ш.3.29) 3.). й —" и где 5 — текущая абсцисса. 136 Введем безразмерные величины: Ь Чд =' (Ш.3.30) Считая тело тонким, можно положить, что Р„, = Фх, а прини- мая во внимание формулу (1П.3.10) и ее разложение по биному Ньютона, для малых значений чисел кавитации н получим (111.3,32) При определении скорости о„пренебрегаем величиной у), по сравнению с (а- -х)', где у„— ордината деформируемого контура, а -- абсцисса стока; () — интенсивность стока, расположенного за телом.
Тогда в безразмерной форме получим: х~ — 2и (а х) э — Ю где () =- —, С помощью формулы обращения (111.3.3) из выражения (111.3. 31) легко получить уравнение для определения неизвестной интенсивности д, в виде д, (х) = — ~/ — ~ ~1 — ~~ — ) Лс. (111.3.34) Подставляя в (И1.3.34) формулы (111.3.31) и (П1.3.33), получим д, (х) ==- — ь" 2 ч.Гх — Ь и Р т l ) — 1 (сх(1)+Лгх($)1 Ьа + и Г ) — х ~ 2 „) Г 1 — Ь 1 †+ 6 1/' -)1 2(а — х) Г а — Ь~ (111.3.35) Ордипата добавочного контура д, определяется путем интегрирования (П1.3.27) К ) ( а,(х) у, = — ) — '- — г)х.
2 ) Укх Ь (111.3.36) 137 а все линейные размеры отнесем к длине тела 1.. После преобразования найдем = — — 'г',„— 1 — о — Л вЂ” о „=)($). (111,3 Зц Р» (1)% ь Принимая во внимание (П1.3.32), напишем х у,(х) — ~ дх(х) с(х. (И1.3.37) После подстановки в (П1„3.37) формулы для вычисления д, (П1.3.35) и вычисления отдельных интегралов найдем выражение для ординат добавочного контура в виде ,( ) == (1 — Ь) 1 х (р (( — х) ( — 6) ° Гх — 61 2+к ( — ь — агс1д р — ~— Р ( — х1 2 ( 1 1 д — Ь 1 1 ~ ( — х (йх (х) + дах (х)) НхЖ а(2+к) 1)' ( — 1,) К х †х — $ ь Ь а(2+к) ~ ' 81 а — Ь 1 1 — х г' а — Ь ~™3 ( — х1 (111.3.38) (П! .3.39) р, (1) =0.
Предполагая, что каверна направлена по нормали к телу в точке замыкания, и принимая во внимание, что агс18 со = —, легко приведем (П1.3.38) к виду 2' " ( . ( ) + б, ( )) ~(х+ а(( — Ь) ( Г а — Ь)' (Ш.3.40) Решение по формулам (П1.3.38), (П1.3.40) соответствует каверне, гранина которой совпадает в начальной и конечной точках с поверхностью тела„касается тела в начальной точке н направлена по нормали к телу в точке замыкания. Следовательно, в точке замыкания условие тонкости нарушается, и решение для хвостовой части каверны следует считать формальным.
В случае же плавного замыкания условие тонкости не нарушается. Тогда второе дополнителыгое уравнение может быть получено и ис- В (П1.3,38) входит пять параметров: а, Ь, 1, х и ф В дальнейшем будем считать а, Ь, (~ заданными величинами. Для определения и и 1 составим два дополнительных уравнения. В качестве одного из условий примем условие замкнутости каверны па теле в точке х = 1: ходи из условия касания границ исходного и нарашиваемого контуров (каверны) в точке замыкания каверны на теле: (П1.3.41) Сопоставляя (П1.3.37) с (111.3.41), получим второе, дополнительное уравнение в виде дз(1)= — 0 или Г = О..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
