В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Составляя дифференциалы левой и правой частей выражения (П1.2.8), получим а ц ь и~ (111.2.23) и ь — с~ и сд ~ — сд + Несколько более общее решение может быть получено для профиля, указанного на рис. П1.6, а. Такое течение может служить аналогом для вентилируемого профиля, на верхнюю поверхность которого подается воздух. Решение задачи для струйного течения было получено в 1101). Рассмотрим его.
Пусть безразмерные ординаты верхней и нижней поверхностей профиля заданы функциями уг (х) и уэ (х). Тогда вызванные вертикальные скорости на соответствующих поверхностях профиля равны — и —. ая, ад, с~х сЬ Линеаризованная плоскость течения г преобразуется на верхнюю полуплоскость ~ так, что все характерные точки (вершины многоугольника) располагаются на вещественной оси (рис. П1.6, б). При решении задачи будем в дальнейшем предполагать, что в точках А и г происходит плавное обтекание и скорость в них имеет конечные значения, т. е. выполняется постулат Жуковского — Чаплыгина. Связь между координатами г и ь устанавливается формулой Кристоффеля-Шварца (П1.2.2). На основании формул (Ш.2.2), (П1.2.4), (П1.2.6), (П1.2.9), полагая в них сг = — 1, с = — е (см, рис.
1П.6, б), найдеьп г = — ' ~ 1п К + 1) (ь — н) + —, 1п — +~ + Ра (П1,2. 24) Рис. Ш.б. Общий случай струйного обтекания профиля ограниченным потоком: а — линеариаованная плоскость течения; б — вспомогательная плоскость. или г = — „1п (~+ 1) + — „' 1п (~ — а) — — „1п — и.
(Ш.2.26) Но так как согласно (П1.2.9) Ь, = йан, (П1.2,26) то, подставляя (П1.2,26) в (П1.2.25), окончательно найдем: г= — ~6,1п(~+1)+6,1п~ — ~ — 1)~+йч. (1П.2.27) 123 На физической плоскости координаты точек А и Р известны (1 и и соответственно), тогда из (П1.2.27) получим два дополнительных условия для определения координат а и) на плоскости ь: 1 — — —, ~ й, 1п (а + 1) -(- ))с 1п ( — а — 1) + сйс ~; (Ш 2 28) п = — ~Ь~ 1пД+ 1) + Йй 1и ( — '~ — 1) + Й ~ . (Ш 2 29) й )'К вЂ” 1)К-а)К вЂ” е) 1 (" еа ) л() 1' (с — Л ('с — а) (т — е) ( с — ь) 1 (П1.2. 31) 3) поток жидкости, ограниченный двуми твердыми параллельными стенками: о(ь)— — 4~ (ь — 1) (ь — а) (ь — е) (ь+ 1) Х й Х. (Ш.2.32) ;) У'( — И вЂ” аП вЂ” и +Л( — ь) 1 В частном случае обтекания плоской пластинки д(т) = — (сс, тогда для получения решения нужно взять интегралы: й й с с(т (' сс(с У (т — Л (т — а) (с — ь),) 'г"(т — Л (т — а) (с — е) (с — ь) (111.2.33) Как видно из рис.
П1.6, б, получена краевая задача со смешанными граничными условиями на вещественной оси. Воспользуемся формулой Келдыша — Седова в предположении ограниченности решения вблизи концов а„и неограниченности вблизи концов о,. В силу принятых выше допущений концам а, соответствуют точки А и Р. Тогда на основании (П.2.11) получим выражения для вызванных скоростей, соответствующие трем случаям течения: 1) струя конечной ширины й БК) — ' ' .' Г ' '"'; (1 ..3О) '",) )'(с — Л(' — а)( -0 ' 2) поток жидкости, ограниченный сверху свободной поверхностью, снизу — твердой стенкой: г' (с — Л (т — а) (с — е) ( с+ 1) (с — ь) Для решения (П1.2.33) воспользуемся также [15 ).
Опуская промежуточные преобразования, получим следуюгцие зависимости. Первый интеграл а (Ш.2.34) Зl !т — 1)(т — а)(ъ — ь! $~" !ь — !) (ь — а! Подставляя затем (1П.2.34) в формулу для вызванной скорости и полагая прн этом, что д(т) = — йх, получим для струи конечной ширины й(~) = !п~~/(1 Х) (! ) (1П.2.35) Второй интеграл тат 'г' (т — 1! (т — а) (т — е) — — — э ~ ~19) ! (П1.2.36) Используя (П1.2.36) и полагая в (П1.2.31) д (т) = — (х, найдем выражение для вызванной скорости в случае обтекания пластинки в потоке жидкости, ограниченном сверху свободной поверхностью, снизу — твердой стенкой: г' (~ — 1) (ь — а) (ь — !) 2а ~я ~lТ вЂ” 1 Х ~ — П ( —, —, д)+ К ( — ", д)1.
(П1.2.37) + 2ййз~ ~/ (1 — — ) (1 — — ) — 1~+ + Ь,а' [(1 + )) (1 — а) — 2 ) '(1 -[- )) (1 + а) — 1) + + АР ~(! — — ) (1 — — ) — 2')/ (1 — — ) (1 — — ) + 11. (П1.2.38) Гидродинамические силы находятся путем интегрирования давления по контуру тело †кавер.. Для определения коэффициентов С„ и С„ используются формулы (Ш.2.21) и (Ш.2.22), в которые подставляются комплексные скорости для трех рассмотренных случаев обтекания. Так, например, для случая 1 — кавитационного обтекания пластинки в струе — получим гидродинамическне коэффициенты в виде ф— (С„= — 2~ай, [)/(1+-)) (1+ а) — 1) + стинки в струе, ограниченной свободной поверхностью и твердой стенкой: с„4ь, Р'(1+1)(1+о)(1+ 1) а и С 4ат (1+1)(1+а)(1+1) Г в-(' и '1 1 П / и 7 — а )~ ае мз — 1 2 ' / 1 + / 'х 2 ' 1 + 1' (П1.2АЗ) На рис.
П1.7 приведены результаты численных расчетов по формулам (1П.2.39), (П1.2.40) относительных коэффициентов а) -г о,г ((4 О,б ООВ 6) Ом С 055 0 Ог 04 00 00 и Рис. П1.В. Зависимости Си(1 = 7 (и); С„/гв = 1 (и) при струйном обтекании сегментного профили вблизи свободной поверхности. 1гу подъемной силы и сопротивления пластинки единичной длины в функции от абсциссы точки начала образования каверны при различных значениях [тт и 77 = оо. Для профиля произвольного образования при определении вызванной скорости о используют формулы (П1.2.10) — (П1.2.12), (П1.2.30) — (П1.2.32). Интегралы, входящие в них, вычисляют приближенно.
На рис. П1.8 при.ведены результаты расчетов гидродинамических коэффициентов для сегментного профиля вблизи свободной поверхности с хордой, равной единице., и при нулевом угле атаки. Принято, что иа верхней поверхности профиля п„= — „' — — 47 (1 — 2х), на нижней— 5 3. Обтекание тонких ненесущих тея в режиме развитой навитации. Применение метода источников и стонов Рассмотрим стационарное симметричное обтекание плоского контура несжимаемой невязкой жидкостью в режиме развитой кавитации при конечном числе кавитации и [23). Схема обтекания контура Д и система координат даны 2 на рис.
1П.9. Задачу будем решать — е ОО в линейной постановке, т. е. Ь х считаем, что контур и ка- 7 верна тонкие, а углы между Ь касательными к контуру тела, каверны и осью х маРис. И1кь симметричное кввнтанионное лы. Лля решения задачи исобтекание плоского контура [мотод нотон- пользуем метод особенностей ников и стоков). (источников и стоков). Так à — контур: у — каверна. как рассматривается тонкое тело, то его обтекание (совместно с каверной) заменим обтеканием системы источников и стоков, непрерывно распределенных по оси х между передней кромкой тела и задней точкой каверны.
Интенсивность источников связана с формой тела зависимостью [88) 128 Дга = — 1п (х — $), ч (з) зя а вызванная скорость соответственно равна Да = — — =— в ь чй) м'т зп х — й (1П.3.2) На основании (П1.3.2) легко получить зависимость распределе- ния скоростей от интенсивности особенностей, распределенных по оси х: к, «в .) — =""(') = ) Д".б'-. (П!.3.3) Как указывалось в гл. П, кавитационную задачу можно рассматривать как смешанную задачу: в одной части области течения задана форма контура, а в другой — скорость на границе каверны, форма которой заранее неизвестна.
При этом для определения точек схода каверны с тела и ее замыкания необходимы два дополнительных условия, для составления которых в дальнейшем введен ряд допущений. В соответствии с рис. 1П.й х, =- О, х, == 1, тогда (П1.3.3) получит следующий вид: ! "-ч(з) $ о (1П.3.4) Обозначим: Ь вЂ” абсциссу точки схода каверны с контура; )»,— скорость на границе каверны. где д — интенсивность особенностей, отнесенная к величине скорости на бесконечности; у„ -- ординаты точек контура, ограничивающего поперечное сечение тела. Обозначим затем: д (5) — неизвестная безразмерная интенсивность особенностей в точке на оси с координатой $; о, = †" — безразмерная скорость, вызванная особенностями д (5), в точке на оси с координатой х; х„ хз — безразмерные абсциссы носика профиля и задней точки каверны соответственно.
Все линейные размеры, приведенные ниже, отнесены к длине контура (тела). Известно, что безразмерный комплексный потенциал скорости течения, вызванного источником или стоком, определяется фор- мулой Принимая длину кавитирующего контура равной единице, в рамках линейной теории легко написать формулу для определения коэффициента сопротивления: ) 1 С = — =2)р — Дх '2х )! =~~, 1 — 3 Их (111.3.13) где р = — 2о . — безразмерное гидродинамическое давление в произвольной точке контура, отнесенное к скоростному напору. Подставляя это выражение в (1П.3.13) и принимая величину и„, согласно формуле (П1.3.12), окончательно найдем ь ь С„= 2н у — — дх+ — р' — х э Г Ь-х дуе ! — а их яЬ) г' ! — х х — „„,' дх ~ 1Г ь — В ="о (1113 14) 6 131 Используя формулу бинома Ньютона и ограничиваясь двумя членами, вторую формулу (П1.3.5) можно переписать так: о, = — = )Г1+ х =- 1 + — х при к (С 1.
(П1.3.10) Подставляя это выражение в (П1.3.9), после промежуточных преобразований найдем — + о .Ф вЂ” —. л) В формуле (1П.3.11) неизвестная функции о„, характеризует распределение скоростей на смоченной части контура. В интервале значений 0 < $С Ь интенсивность особенностей известна, так как на основании (П1.3.5) она может быть представлена в виде д =- 2 — '. Поэтому выражение(П1.3.11) вновь можно рассматривать как интегральное уравнение для определения функции (о„,— — 9 ох).
С помощью формулы обращения после преобразований получим эту функцию: ь о ха дй (111.3.12) 1 — х Используя тождество ь ь ь — х ьь 'ь й Ц ~ ~— * ~~ а рь1 с$~о Фо ~$ ььь' д~ дх ($ — к] ' (1П.З. 15) преобразуем последний интеграл и окончательно напишем: (Н1.3. 16) Подставляя (111.3.12) в (111.3.11), получим формулу для вычисления интенсивности источников, заменяющих каверну: 1 /и . 1+ь — 2$~~ 2 ( т/ ь — х иуь у = — ~ — — агсз(п ~~~ — ) "у =ьдх— к 2 ~ 2 а т(< ь)~ ' ьР 66 м при 5~ Ь.
Координаты точек схода каверны Ь и замыкания 1, входящие в (111.3.18), неизвестны. Для их определения составим два дополнительных условия. В качестве первого примем условие равенства кривизны каверны и контура в точке схода при $ Ь со стороны каверны. Дифференцируя (1П.3.18) по Е, получим (111.3.19) 132 при Ь ~ 5 ч.:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
