В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(П.6,13) При выбранных значениях х, сс н т) уравнений (П.6.9)— (П.6,13) вполне достаточно для определения параметров 1о, (л, р. Однако вследствие того, что каждое из уравнений трансб„ ос 2,2 2,0 Рис. П.!6. Результаты расчета на ЭВв!. За- 7,6 висимость ьх)а Щ,/!) при постоянйых зйачениях относительных 7Л погружений Н7!. т () 7 2 цендентно и нелинейно относительно переменных, используем графоаналитический метод решения в соответствии с (861: 1) из (П.6.9) находим (1 и строим график тра(р); 2) используя ряд значений (л и 1, решаем уравнения (П.6.12), (П.б.13) относительно 1п(1 -1- х) и и. В каждом случае 1в находим из (П.6.10) для данных значений 1о н )) и строим !о г (в ~ зависимости — ( — '7!; 3) строим график зависимости а и н в функции от 1л и при зра =- сопз1. Прй известных значениях параметров 1л, 1о, 1в н р уравнение (?1.6.8) решается численными методами на ЭВМ, После определения функции Н.
Е. Жуковского гв вычисляем комплексный потенциал течения, а затем по формуле С. А. Чаплыгина находпм коэффициенты сопротивления и подъемной силы. Формулы для их определения аналогичны приведенным в $ б этой главы. На рис. П.16 приведены результаты расчетов относительного коэффициента подъемной силы для пластинки С„)сс в зависимости от значений функции тока ф 71 при н = 0,076 и разных значениях погружения 1771(1 — длина пластинки). Глава И1 РАЗВИТАЯ КАВИТАЦИЯ. УСТАНОВИВШИЕСЯ НАВИТАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ (ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ) й 1.
Кавитационное обтенание профиля с фиксированными точнами отрыва Предположим, что кавитационное обтекание профиля д =- р(х) происходят в безграничном потоке по первой схеме М. Тулина при числе кавитации х, давление и скорость на бесконечности известны и соответственно равны р и т'„. Физическая плоскость течения дана на рис. Ш.1, а. Как уже указывалось в гл. П, задача об определении характеристик такого течения -- нелинейная.
В нелинейной постановке граничные условия задачи даны на горизонтальном разрезе плоскости комплексного потенциала (рис. П1.1. б). Как указывалось в гл. П, комплексный потенциал равен ш = ср + Щ, комплексная скорость: а функция Н. Е. Жуковского: где Ь'„1~„— проекции скорости на координатные оси; )Ъ'~— модуль комплексной скорости.„ 0 — аргумент. Как показал Т. Ву 11181, лучшее приближение к нелинейной теории получается, если н качестве характерной принять скорость на границе каверны. В связи с этим разделим комплексный потенциал на скорость жидкости на границе каверны р', тогда получим: Члены, входящие в (П1.1.1), имеют размерность длины. Это дает возможность выбрать масштаб длины так, чтобы в точке С Рис. Ш.1. Кавитационное обтекание слабоиаогнутого профиля с фикси б — плоскость комплексного потикивала и гранпчиме условия; а — ли скость; д — контур роваиными точками отрыва при к+О: а — физическая плоскость течения; нсаризоввнная физическая плоскость течения; г — вспомогательная плоинтегрировання.
Учитывая далее, что $~„= У„+ о, и УР = иу, а также принятые ранее допущения, граничные условия после лииеаризацин перепишем в виде: на профиле НУ РР ~ к 1 НУ 1ш т = — в:= — или —" = ~1 сь к,. ~ 21 йх' на границе каверны в Нет= — ' — 1 = — =О Рк 2к РР' РР ' или о,=- -= — "= —; рк к 2' на бесконечности (при к — оо) 1к к Кет — — — — 1= — = — — пли и =О. х Условие замкнутости каверны — "дх= О. Легко также показать, что в линейном приближении плоскость комплексного потенциала преобразуется в физическую плоскость г. Используя известные соотношения между составляющими скоростей, потенциалом скорости и функцией тока, а также условия Коши — Римана, после преобразований получим 1Р— жх, — ==у.
2к = 1к = На основании принятых выше допущений найдем связи между величиной ' безразмерного давления (козффнциента давления), скоростью на бесконечности и скоростью в произвольной точке кавитационного течения. Прн составлении формулы для безразмерного давления его относят к скорости потока на границе каверны или иа бесконечности: С Р 2 р$' 2 С Р, 2 з 2 При помощи уравнения Бернулли выражения (111.1.3) легко представить в виде С =1 — —; С =1 —— " У2 .. - ..*Р'2 РК 2 Р к2 ' у 2 В наиболее общем случае кавитациопного течения (и+ О) вследствие малости поперечных скоростей течения можно при1со нять ~Т~~ ск У„. Тогда Ув ек $'в + 2У о„а коэффициент дав- ления: Принимая затем во внимание, что 1'„=- У„К 1 + х и используя линейную часть биномиального разложения, после промежуточных преобразований найдем, что С „= х — 2 (1 — х) + = х — 2 (1 — х) и„.
В частном случае струйного обтекания (х =- 0) (П1.1.4) В результате принятых выше допущений и преобразований физическая плоскость течения г представляет собой плоскость с конечным разрезом ВО вдоль оси Ох. Граничные условия и координаты характерных точек даны на рис. П1.1, в. Разрез ВВ можно рассматривать как многоугольник, по отношению к которому течение на плоскости г является внешним. С помощью интеграла . Кристоффеля — Шварца преобразуем это течение на вспомогательную плоскость ь так, чтобы вершины многоугольника располагались на действительной оси 5 с выбранными их абсциссами (рис.
111.1, г), а бесконечно удаленная точка находилась на мнимой оси т! с ординатой г! = — й. Аналогичное преобразование было выполнено в й 5 гл. П. В соответствии с (П.5.6) преобразующая функция ~=- — й(, ), или ~=-Й( ) где ! — длина каверны, или (111.1.5) Исходя из граничных условий легко установить связь между л и 1 при г = 1, ьс = 1. Поэтому на основании (1П.1.5) получаем я = (1 — !)'~'. Составляя дифференциалы левой и правой частей (П1.1.5), найдем после преобразований производную преобразующей функции..
дг 2!1 24в ~$~ ~в+ вв (~в+ /Р)в' ю! Второй и третий члены удовлетворяют однородным граничным условиям для о„вне профиля и для о„на профиле. Входящие в (1П.1.5) и (П1.1.8) константы А, В„я или А, В, 1 определяются исходя из трех дополнительных условий: условия иа бесконечности йет( — са) = — — —; )си»( — 1сс) = 0; условия замкнутости 1пс [ — ( — й) 1 = х .
Координата $„определяется заданной величиной х4. Коэффициент подъемной силы на контуре, отнесенный к скорости на гранипе каверны, С„= —, = 2 Ке $ т (г) с(г = 2 Ке ~ т (~) — ~ с$. (111.1.10) рУ~ 1 во с= — и Учитывая (111.1.6), представим контурный интеграл в (111.1.10) следующим образом: $.' — "= т' ". ' -' Из б .С вЂ” Г Я11 яцз '(ь) т~ с(ь= Д~ т(~) 1<~+и)ц — и) (~+ир((.— а>с1 с(ь = ссг =,Ф (Ш.1.9) На основании теоремы Коши о вычетах получим: сСз ..
г 1х сССс Ж 'с т(с) — с(с, = 2п(Ь с = 2п1 ~ — — — — ). ($ с ~ 2 2 ~Ц ~ с=-ссс После разделения этого выражения на вещественную и мнимую части найдем: 1т ~ т(ь) — „сф=п('(а1ш~ ~~ — х)~; — И Ке $ т$) — ~ с(~ — — лй)1е ( — ). (Ш,1.12) с= — са юз С (1И.1.11) В дальнейшем для вычисления интеграла (111.1.11) воспользуемся теоремой вычетов и разложением в ряд функции т в точке ь = — И.
Тогда, учитывая условия на бесконечности (П1.1.9), найдем: х сссс т = — — + — (с,+ й)+- 2 дй Вычет функции — подынтегрального выражения (111.1.11)— после преобразований 1х с'И сссс Ь -= — — — — —. 2 2 с$ Подставляя второе из выражений (П1.1.12) в (П1.1.10), получим формулу для коэффициента подъемной силы: Сг-— — —,, — — 2п(л Ке Я). К Решение может быть также использовано при рассмотрении профиля„имеющего переднюю острую кромку (сл = 0), а также профиля стоек [Цл —— — 1, о„Д) = — и„( — Ц)).
Наиболее простые решейия получаются для каверны при х = 0 (струйное течение), образованной на профиле с острыми кромками. В этом случае точки А и В совпадают. Функция, преобразующая течение на физической плоскости на вспомогательную плос- кость (Ш.1.13) г~~ или г ~з Здесь также задача о кавитирующем тонком профиле сводится к задаче о бескавитационном обтекании некоторого иного профиля (рис. 1И.2, а — в). Например, если форма кавитирующего профиля описывается уравнением у (х) = ах + Ьх' при 0 < х 1, то выражение для некавитирующего профиля на вспомогательной плоскости ь можно найти из равенства производных (условие конформности): или при учете (1П.1.13): а = 2Ьк = а -(- 2Ь$з, откуда после интегрирования Ч™+ — зЬч. 2 ь У= ) (р(х, 0 ) — р(х, 0 )) Их; о (111.1.14) 104 Гидродинамические характеристики кавитирующего профиля легко выразить через характеристики некавитирующего профиля. В соответствии с принятыми допущениями граничные условия переносим на верхний и нижний берега разреза.
Обозначим индексами О, О, ординаты точек на нижней и верхней сторонах разреза в плоскости. Сила сопротивления, подъемная сила и продольный гидродинамический момент кавитирующего профиля зависят от разности гидродинамических давлений, действующих на профиль. Следовательно, подъемная сила Рис. 111. 2. Струйное обтекание слабоизогнутого профиля с фиксированными точиами отрыва: а — физичеекая плоскость; 6 — линеаризозанная физическая плоскость; а — вспомогательная плоскость. 105 сила сопротивления Х.— -- ( (р(х, 0 ) — р(х, О,)1 — „" дх; о гидродинамнческий момент М вЂ” — ~ х[р(х, 0 ) — р(х, 0,))ь(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
