В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Учитывая сказанное, после подста- новки в (И.5.10) граничных условий (И,5.6) и дальнейших пре- образований формула (И.5.10) примет следующий вид: гэ (4) 1' (1 + 1) (уА у) 1 (т+ !) (уА т) (т у) — 1 ул +А, . В'( + П !У вЂ” ) ! — У) 1- о (И.5.11) В формуле (И.5.11) неизвестны ул и А „а в (И.5.6) неизвестна а — координата бесконечно удаленной точки на плоскости Таким образом, для решения задачи необходимо иметь три дополнительных уравнения. 1. Первые два уравнения могут быть получены исходя из условия, что для скорости набегающего потока при г = й модуль Й~ скорости ~ — „г ~ =-- К, аргумент 6 — — О.
Учитывая это условие, получим на основании (П.5.7): ке ау (уй) = 1п — = — — 1п (1 + и) ав 1 $'м4~г 1т ~ ~у)г= — 1т~ !э у)г= 1ш~уэдпу= О или 1ш~ь(!) —,Й =О. Й~ (И.5.13) Входящую в (И.5.13) производную — вычисляем путем диффечв Ж ренцирования (И.5.6) по й йо гь~ (й~+ !) у 2/г~ (и+ )) у ,уу О ) уу!)а (у уцди (уа ) удар (И.5. 14) 1т а (И) = О.
(И.5.12) 2. Третье уравнение получим исходя из условия замкнутости системы тело — каверна. Известно, что расход жидкости при истечении из какого-либо замкнутого контура С пропорционален Йи функции тока ф или 1пу ~с Дг) дг, где ь =- —. !'„.с~г ' Разложение функции ь в ряд Лорана по степеням г показывает, что для больших значений г функция ь имеет те же особенности, что и функция гэ. Поэтому условие замкнутости имеет вид; 4й~ (/Р+ О 1+~А 3 !1А ( 2 ) 1+$ (1А(1А 1)(1+1)! х ехр ( — Ао)'"(1л — 1)(1 +- 1)1, +', Для определения козффициентов подъемной силы и сопротивления воспользуемся первой формулой С. А.
Чаплыгина !681. Гидродинамическая реакция, действующая на пластинку: ~с Я = — Х+ 1У"= — 1 ~(Р— Р„) г(з Фл нли на основании уравнения Бернулли Йс й Х+ уУ Р 1 (к — рФ) дх. *А Принимая во внимание, что 2Х Сх= з ~Ж'к ~ 2У ф'К и( — „, ) =-Я', После разложения а (1) в ряд в точке 1 == И при помощи теоремы вычетов третье дополнительное условие приобретает вид 1т~ — „,.
) „= — О. (П.5.15) Оно получено в предположении, что поток на бесконечности не возмущен. Условия (11.5.12) — (11.5.15) приводятся к трем уравнениям (851, линейным относительно 1п (1 + и), и, и А„но нелинейным относительно 1л и й. Позтому в (85!эти зависимости представлены .в виде графиков 1л (Й) при постоянных значениях сс, н и А,. Без потери общности примем скорость на границе каверны $~, =. =- 1 мlс. Тогда для обтекания наклонной пластинки выражение для функции е (1) (П.5.11) после интегрирования приобретает вид: ~о(1) = — кс+ 1п " лл( + + А,1/"(1л — 1) (1+ 1).
(П.5.16) р" ~,,— ~+у гл <~+с) Формула (11.5.16) дает возможность определить длину пластинки, коэффициенты подъемной силы и сопротивления, профиль каверны. Так, на основании (П.5.2), (11.5.14) и (11.5.16) после преобразований найдем длину пластины где после промежуточных преобразований получим: 1А С„+1С„= — 1( — ) ) ~ — — ~) —,г(1, — 1 АН1 где ь = — —; ь — величина, сопряженная 1'. йаУк ' Су (П.5. 17) Оф ау О П7 ~г ЦУ Пф та Рис. И.14. Зависимость коэффициента подъемной силы Ср от числа навитации и.
— теоретические результаты (по формулам, принеденным в З о гл. П). о — и = 20'. с1 — и .= 15'. ° . о — ' и = 1о' (экееернкентельные реэупьтетык После разделения в (П,5.17) вещественной н мнимой части найдем: С =(1+)с)з!па, С =(1+7с)созсе, (11.5.18) 1А где С= ~(1 ( ~ ) ~ ~ ел+( 2 )1+$ 1А(1А е)(1+э) Х вЂ” 1 к. э 1э. Ртй — Е а~-~~1 ),е "'„, Для определения профиля каверны используют (И.5.2) н (11.5.16). На рнс.
П.14 приведены результаты расчетов козффициента1 подъемной силы С„по изложенной выше теории (формула (11.5.18) ). Я В. Кавитационное обтекание пластинки вблизи свободной поверхности (по второй схеме М. Тулина) Рассмотрим случай обтекания пластинки ЛС при больших числах Фруда, когда вызванная продольная скорость на свободной поверхности равна нулю. Пусть пластинка расположена на некоторой глубине Н под свободной поверхностью с углом атаки а к направлению потока. Примем в качестве модели обтекания вторую схему М. Тулина, в которой каверна заканчивается двумя двухспиральными вихрями (рис.
П.15). Скорость на границе каверны равна У„, в точках Е н 1) происходит скачок скоростей от У,, до У . Для упрощения задачи предположим, что в точках Е и Ь потенциалы .скоростей равны я~в = %п. По аналогии с решением задачи, рассмотренной в й 5, преобразуем с помощью конформного отображения плоскость комплексного потенциала ы на верхнюю вспомогательную полуплоскость Е Затем исследуем поведение функции Н. Е. Жуковского м на действительной оси этой плоскости и найдем на ней граничные значения функции, Используя в дальнейшем решения краевой задачи Римана— Гильберта с помощью формулы Келдыша — Седова по смешанным краевым условиям на действительной оси, построим выражение функции в. Для этой задачи плоскость комплексного потенциала представляет собой плоскость с полубесконечным разрезом вдоль положительной вещественной оси, а свободная поверхность может быть представлена линией, параллельной этой оси, определяемой постоянным значением функции тока ф,.
Последнее, в свою очередь, зависит от глубины погружения пластинки (рнс. П.15, б). Область течения между границей 1Е и берегами разреза ЕВ)' представляет собой многоугольник, у которого два угла (при вершинах 1 и Е) равны нулю. Конформно преобразуем эту область плоскости ш на верхнюю полуплоскость 1 так, чтобы все границы потока лежали на действительной оси (рис.
!1.15, в). Для установления связи между плоскостями воспользуемся интегралом Кристоффеля — Шварца (преобразование внутренности многоугольника на верхнюю полу- плоскость) [формула (П.2.14) ). В соответствии с рис. П.15, б, в найдем а; и а, многоугольмика для рассматриваемого случая: точка В: аг=О; ат=-2; точка А: а, = 1А, ~х, = — 1; точка Е: аз = 1„; аз =- 1; гочка г: а4 — — ~3; сс4 =- О; точка С:а =- — 1;я,==1; точка В: а6 = — 1п; <х,= 1; точка Е а, = +- со; аг =- О. Рис.
Н.15, К решению задачи о навигационном обтекании пластинки вблизи свободной поверхности (по второй схеме М. Тулина)т а — физическая плоскость течения; 6 — плоскость комтшексного потенциала; в — вспомогательная плоскость б Подставляя эти выражения в интеграл Кристоффеля — Шварца 1формула (П.2.14) ), получим: и=С, ! — й+С, 'з ~ — р нли после интегрирования в = С, (1 + р !и (1 — р) ) + С,. (И.6.1) Неизвестные С, и С, найдем исходя нз граничных условий.
Нз рис. П.15 видйо, что в точке В (критической точке потока) га = О. Это условие сохранилось и на плоскости 1, т. е. ж (1) = О .при ! — — — О. С учетом этого выражения формулу (П.6.1) можно представить в следующем виде: С, (Р 1п ( — Р) ! + С, = О, .откуда устанавливаем связь между С1 и С,: С, = — С1р 1п ( — р). Подставляя это условие в исходную формулу (И,б 1) и выполняя преобразования, находим: =С, ~1+Р!п(1 — — ')~.
(И.6.2) Найдем теперь постоянную С,. Рассмотрев течение на плос:кости 1, установим, что прн обходе точки Р (1=-Р) по полуокружности бесконечно малого радиуса н переходе с прямой ТР на прямую ЕР на плоскости га (см. рис. И.15, в) комплексный потенциал изменяется на заданную величину гфм При этом аргумент точки Р изменится на величину и. Тогда (фо == С1Р !пе-ь' С,Р(п откуда С = — —. 1е яр (И.6.3) Подставляя (П.6.3) в выражение для комплексного потенпиала (П.6.2), окончательно найдем'. и=- — ~~~ ~1+ Р!и (1 — ~~)1. (П.6.4) .= !и — — (Е. ! !7! Йа Рассмотрим теперь изменение функции е = 1п — на деиЙ$' ствительной оси плоскости й Представим а в параметрическом виде: Найдем граничные значенвя функции а на отрезках вещественной оси верхней полуплоскости 1 (рис.
П.15, а): — оо < ( < (о, 'Ке ю = — 1п — ==- 1п 1 = О; У К (о<1< — 1; К . =(п — "= — (п(1--,к); )' и и 2 — 1 <1<О, "1п1ю=--а; (11.6.5) 0 < 1 < (А, 1гп ь = а — и; (А < ( (в; Кев = — 1п(1+и); 1 2 При составлении функции Я (1) разрез сделан в диапазоне < 1 < (А. После подстановки этих значений в (11.5.9) с учетом граничных условий (11.6.5) получим а (1) = — Ф'(1+ 1) ((А — () + ( — *)(' ат Л Р( +О((л — )(т — О +а~ ит ), ~ ( + () (г — ) ( — а) Е + — !и(1+к) ~ +А 2л + О И вЂ” ) ( — ~) ~А (11.6.7) Интеграл типа ~ - —, входящий в (П.6.7), гй 1 (т+ 1) (гл — т) (т О определяют согласно (15).
93 (а < ( < (); Ке в = 1п 1 =- О; () <(<со; Кеа= — 1п1='О. Здесь, как и в предыдущем случае, надо найти функцию ю (() в верхней полуплоскости по смешанным граничным условиям на вещественной оси 1. Воспользуемся (11.5.9). Как следует из рис.
П.15, з, если исключить отрезки, содержащие нулевые граничные условия, на вещественной оси останутся три отрезка: — оо Ь„Ь,ао а,оо, причем Ь, = — 1, ат =- (л. Найдем функции Я (() и Я (т), входящие в формулу Келдыша— Седова (11.5.9): К(~)= ~ (т+))И вЂ” (А) ' К(')= )' (т+О( — (х) После интегрирования (П.6.7) и промежуточных преобразований найдем: 1 СА С )~СА((+С) ы(С) = Са+!и — — — — —.— — — + —.1п(1 — ,' )с!А — с+1/с„(3+с) ' 2н' (С вЂ” Со) ((+ СА) (! — СА + 2СЕ) С + (1 — СА) СŠ— 2СА ~! + агсз(п [ . ( .6.
) Как следует из (П64)(П.68), выражения для сз (С) и се (С) имеют пять неизвестных постоянных СА, Се, Со, А, 6, для определения которых необходимо составить дополнительные пять условий. Первое условие легко получить исходя из заданного соответствия точек С при конформном преобразовании: при С =- — 1, се = — 1. Подставляя зто условие в (П.6.4), найдем связь между функцией тока ~Р, и параметром Р. После преобразования получим: ф = (-Р!."(+(СР) ЕР ( .6.9) П.6.9 Учитывая принятое допущение о том, что потенциалы скорости в точках Е и 1) равны, найдем на основании (П.6А) второе условие в виде СЕ + 1п ( 1 — Е ) = Со + 1п (1 Сп ) . (11,6.10) Заметим, что функция са может иметь только логарифмическую особенность. Поэтому все отрицательные значения ) исключаются.
Кроме того, вдали от профиля е! = О, что исключает-все положительные значения 1. Таким образ!)ы, любое А в (П.6.7) равно нулю. Для получении двух недостающих уравнений используют условие о том, что поток жидкости на бесконечности горизонтален. Это означает равенство нулю аргумента функций в точках Р и 1! 1т [в (Р)) = 1гп [сз (оо)) = О; (п.6.11) с(е [сз([3)) = — Ч, 1и'(1 +н). Учитывая (П.6.8) и (П.6.11), получим два недостающих уравнения: 12)' (! + Со) (Сп — сА) ((+ 13) (Р— сА) +1 ' + (! — СА .+ 2СО) [3 — — (! СА) С — 2СА 2н Оп — Р) (! + СА) 2У((+Се) (СŠ— ЕА) ((-(-РНР— СА)+(! — СА+ 2СЕ) Р+ Ц .+ (! — СА) СŠ— 2СА (Р СЕ).(! + СА) +а+( — 2+ й ~.~." „"',,'" Я=О; (11.6.12) ! 2 Р (! + (о) (гп — (л) + (1 — !л+ 2(п) 1 + П(! " 2 ) (! + «в) ((п — гл) + [1 — гл + 2(а) )! 1+ (л Ц+ +се+ [ — — +агсз(п ( л )~ = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
