В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 17
Текст из файла (страница 17)
П1.3, в, при уменьшении глубины погружения коэффициент подъемной силы возрастает и одновременно увеличивается число кавитации (умеиьшается относительная длина каверны). 5 2. Навитациоииое обтекание тонких профилей ограниченным потоком Рассмотрим струйное обтекание (по схеме Кирхгоффа) слабо- изогнутого криволинейного профиля ограниченным потоком несжимаемой иевязкой жидкости: 1) струей конечной ширины, ограниченной сверху и снизу свободными поверхностями; 2) потоком жидкости, ограниченным сверху свободной поверхностью, снизу — твердой стенкой; 3) потоком жидкости, ограниченным двумя твердыми стенками (течение в канале с двумя параллельными прямолинейными стенками).
Положим, что каверна образуется на верхней стороне профиля. Хорду профиля, скорость натекающего потока примем равными единице. Ширину потока, углубление профиля, расстояние от нижней поверхности, отнесенные к хорде профиля, обозначим 1., йм й, соответственно. Безразмерные ординаты нижней поверхности профиля заданы в виде некоторой функции у =- 1(х), где х — безразмерная абсцисса профиля (отнесенная к хорде). Безразмерную вызванную комплексную скорость обозначим о = о, — )о„.
Задачу будем решать в линейной постановке, принимая допущение, сделанное в $ 1 гл. П1. В соответствии с этим линеаризованная физическая плоскость в приведенных выше трех случаях представляет собой полосу с полубесконечным разрезом вдоль положительного направления оси Ох. 115 Схемы трех случаев струйного течения на физической плоскости и линеаризованная плоскость течения даны на рис. П1.4. При решений задачи предполагаем свободную поверхность невзволиованиой. Тогда граничные условия имеют следующий вид; на свободной поверхности — ои = О; на твердых стенках — о„=- О; иа нижней поверхности профиля — 0„= И (х) = нн. Рис.
1П.4. Струйное обтекание профиля ограниченным потоком несжимаемой невязкой жидкости: о — струей конечной ширины„б — потоком жидкости, ограниченным сверху свободной поверхностью, снизу — твердой стенкой; и — потоком жидкости, ограниченным двумя твердыми стенками. Линеариаованиан плоскость течении 1е). Течение на линеаризованной плоскости внутри области ОСВАЕ преобразуем на верхнюю полуплоскость ь с помощью интеграла Кристоффеля — Шварца (И.2.14) так, чтобы вершины пятиугольника 1)СВАЕ располагались на вещественной оси 5 при соответствии точен, указанном на рис. П1.5.
Значения а, и а, (см. $ 6 гл. П) найдем по рис. П1.4, г и П1.5: ,0: оса =- О, аг —— - оо; С:,=О, а,=-С,; В:оса=2, аз =-О; А:ае=1, а,= — 1; Е:ае-:=О, аа.а аа. !1Б Тогда ~01 г ! (Ь вЂ” сг! (~ — са) + (Ш.2.1) г= — ь ~!п(1 — сг)К вЂ” се) + + !и ~ с 1 +Р. (П12 2) ! о„.-а С ил=даниил=0 Ю 3 Г ьг Рнс. 111.5. Вспомогательная плоскость и граничные условии, Для определения постоянных Р, и Рв составим дополнительные условия.
Полагая в (Ш.2.2) в соответствии с рис. 1П.4, г и 1П.5 в точках В и В' г =- О и ь = О, получим: Р, = — — ~1пс,св + 1п — ~. в, г сг+ св 2 сг — са сг / (Ш.2.3) Как видно из рис. 1П.5, при обходе точки С' (с,), лежащей на вещественной оси полуплоскости ь, по бесконечно малой окружности величина г на физической плоскости г изменяется на!Йы Составляя разность значений г для двух точек на оси $ слева и справа от точки С', найдем после преобразований аг с,— с. и (1П.2.4) После подстановки (Ш.2.4) в (П1.2.3) найдеьа или Ра= — 1пс, — — — !псв. а Ь сг и г и са (П1.2.6) Пт где ЄР' — постоянные, зависящие от начальных условий.
Используя табличные значения интегралов рациональных функций и опуская промежуточные преобразования, получим." Заменяя затем постоянные В, и П в (П1.2.2) выражениями (П1.2.4), (П1.2.5), получим: + 6 1пс,— а — "1пс,. (П1.2.7) и л су Преобразуем первый член (1П.2.7) к форме, аналогичной форме двух других членов суммы. Опуская промежуточные преобразования, найдем: — — 1и (ь — с,) — — !п (ь — с). ь, с, Ь, л с~ л Таким образом, формула для з приобретает вид: й,с, = — Ьзс, и с, = — — . Ь~с, й, (П1.2.9) Для решения задачи будем в дальнейшем считать, что задняя кромка профиля в точке А обтекается плавно, и скорость в ией имеет конечное значение, т. е.
выполняется постулат Жуковского †с1аплыги. Таким образом, мы получим краевую задачу со смешанными граничными условиями,. которые для перечисленных выше случаев обтекания даны на рис. 1П.б. Учитывая принятые допущения, рассмотрим решение, ограниченное вблизи концов а„, и не ограниченное вблизи концов Ь, (см. (П1.1.28)1. Как уже указывалось, скорость ограничена в точке А (задняя кромка профиля), а также в точках С и Е вниз по потоку на бесконечности.
Таким образом, абсциссы этих точек могут быть обозначены через аь. 11в Для определения координат с1 и с, составим два дополнительных условия: 1) в точках А и А', как видно из рис. 1П.4, с, П1.5, координаты должны иметь значения г = 1 и ь = — 1; тогда (П1.2,8) преобразуем к виду л — (! + с,) л с~ са 2) при обходе точки Е' по бесконечно малой окружности величина г изменяется на (йз. По аналогии с предыдущим получим: ь2 с~ — с, А/1 = л с1 Сравнив эту формулу с (П1.2.5), найдем соотношение между координатами с, и с,: Х (П1.2,12) (т- ь) Входящая в подыитегральные выражения (П1.2.10), (1П.2.11), (1П.2.12) функция д (т) =!о„находится в зависимости от формы (уравнения) профиля, так как в линейной постановке ;= — '„„" (Р.
(П1.2.13) Наиболее простые решении могут быть получены для плоской пластинки, расположенной под углом атаки а к направлению основного потока. Тогда в формулах (Ш.2.10), (Ш.2. П), (П1.2.12) следует положить д(т) = — Ьх, а для получения решений необходимо взять интегралы, содержащие иррациональные подынтегральные функции вида: — ! — ! !(т Ж о )~ — ('! — ь) " )~ (т — ь) .,Г„ т — ! Ю )/ Ж я / (т+ 1) (т — с,) (т — со) (т — Я (П1.2.14) 11Э При составлении функции Я, о (ь) разрез сделан вдоль оси 5: при — 1 < 5 < 0 — для первого случая обтекания, при — со < < э < Со и — 1 < $ < 0 — для второго случая обтекания, при — оо <5 <Со, — 1 <$ <О, С! <$ <оо — для третьего слу- чая обтекания.
В результате формулы (П1.1.28) приобретают следующий вид: 1) струя конечной ширины (рис. 1П.4, а) — 1 о(~) = — — у — —. ) ° (П!.2.10) з/Ь+1 1 Г я(т)дт У ~ .) ./.+ о $/ — (т-0 2) поток жидкости, ограниченный сверху свободной поверх- ностью, снизу — твердой стенкой (рис. П1.4, б), — ! ( ~.>)( — )! о 3) поток жидкости, ограниченный двумя твердыми стенками (рис. П1.4, в), '~ ! (Ь + 1) (Ь вЂ” сД (й — сс) — ! Третий интеграл имеет следующий вид: — 1 ( с+ 1) (т — с,) (ъ — сс) (т — ь) (111.2.19) Подставляя (111.2.19) в выражение (1И.2.12) и принимая также во внимание, что д(т) = — (а, получим выражение для комплексной скорости при кавитационном обтекании пластинки потоком жидкости, ограниченным двумя твердыми стенками: 2шс 1/ (ь+ 1) (ь — с~) о = — .
11~ Х ~ПС 2 ° (1 -1) ~ ~) Х((2 ~ Р)~~ (111.2.20) 1/ сс — с, Для определения гидродинамических реакций, действующих на плоский профиль, воспользуемся формулами С. А. Чаплыгина 1681. При этом будем рассматривать комплексную скорость отнесенной к скорости. на бесконечности, а координату г отнесенной к хорде профиля. В случае линейной задачи, когда вызванные скорости считаются малыми, по сравнению со скоростями набегающего потока, формулы С. А. Чаплыгина несколько видоизменяются. Учитывая принятые допущения н формулы (Н1.1.4), представим на основании уравнения Бернулли гидродинамнческне коэффициенты в следующем виде: С„= — — 2Ке) о1(х= — 21 о,дх; С = — 21п1 ~ о — дх = — 2 ) о — дх.
с-нк с ия с лх = ~с(х Однако в силу линейности задачи (см. 2 1 гл. П1) 121 После преобразований окончательно получим: 1 1 С» — — — 21ш~. о дх= — 2~ пуух. При переходе к плоскости ь формулы переписываем в виде С„= — 2це ) о(ф) — г$; о (111.2.21) С, = — 21ш ( ппэ ф — г$ о (П1.2.22) Входящую в (П1.2.21), (П1.2.22) комплексную скорость о (ь) определяем из выражений (П1.2.10) — (П1.2.12) в зависимости ат формы профили и вида течения. В частном случае кавитационного обтекания пластинки под углом атаки а определение гидродинамических коэффициентов значительно упрощается, так как входящая в (П1.2.22) вызванная комплексная скорость находится по формулам (1П.2.16), (П1.2.19), (П1.2.20). Функция — „определяется путем дифференИг цировання выражения (П1.2.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
