В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В формулах (П1.5.7) — (П1.5.9) у' =- — ". «х~ Уравнение (П1.5.7) аналогично уравнению Прандтля из теории крыла конечного размаха. Интегродифференциальиое уравнение (П1.5.7) в ПО) решается приближенно иа ЭВМ путем его замены системой линейных алгебраических уравнений. При этом функция у' (х) = д (х) аппроксимировалась непрерывной ломаной линией. Так как рассматривается обтекание по схеме Рябушинского, то функция «7 (х) должна быть нечетной (рис.
Н1.18). Длина каверны (от — 1 до +1) разбивалась на и — 1 интервала. Уравнение удовлетворялось в и точках в середине каждого интервала 5Д„т (1 =- О, 1, 2, ..., л — 1). Соответствующая система алгебраических уравнений содержала а неизвестных д«,«)о,...,«1 <„П,и. В работе 1101 приведены результаты расчетов по изложенной выше схеме, а также выполнено исследование сходимости приближенных решений на примерах систем линейных уравнений с десятью и двадцатью неизвестными. Результаты исследования позволяют сделать заключение о хорошей сходимости приближенных решений уравнения (П1.5.7), за исключением некоторой узкой области параметров 1.
154 Интегродиффереициальное уравнение (1П.5.7) решается относительно неизвестной ординаты границы каверны у. Параметры а и ) в расчете задаются. Число кавитации находим в результате решения. Искомая функция у(х) должна удовлетворять условию на концах каверны у(х)~ « =у(х)~ « =у,(х)~„-,; (П1.5.8) у'(х) (-,, = у' (х) 1-, = уо (х) ~„- В частном случае для клина Задача может быть использована при рассмотрении более общего случая: бесконечной системы каверн, расположенных друг за другом под горизонтальной стенкой 1711. Каверны образованы за тонкими клиновидными насадками.
Замыкание каждой каверны осуществляется на некоторый клин. Схема системы каверн дана на рис. 1И.19. Длина клина аы угол раствора р, а также расстояние между двумя соседними клиньями Рнс. 111.1В. Аппроксимации и (х) непрерывной ломаной линией. (осиованиями или вершинами) 1. приняты постоянными. Каждая каверна замыкается на некоторый клин длиной ав с углом раствора Граничные условия практически останутся неизменными ((Ш.5.1) — (П1.5.2)1, но границы их применения станут иными.
Рис. Ш.19. Кавнтационное обтекание бесконечной системы каверн, расположенных друг за другом по горизонтальной стенке. Схема системы каверн. Граничные условия непротекания жидкости через границу течения и постоянства давления на контуре каверны имеют следующий вид: о„=1' -и; при — оо<х<ос, (П1.5.10) ву р)г и — рй'у=р — р„; р =р,+р)' о,— рйз (1П.5.11) прн лЕ,<х<лЕ+1 илн О < хе <1, где х„-"-= х — пŠ— значение х в пределах одного периода или — а~ =-' х0 ==-' 1 — а„1 — длина каверны; и — ряд целых чисел, изменяющихся в диапазоне от — со до со. Величины р„и г"„можно считать предельными значениями давления и скорости потока на уровне горизонтальной стенки в середине между кавернами при увеличении расстояния между ними до бесконечности. Кроме того, исходя из условия непротекания и периодичности характера течения найдем: иа поверхности клиньев д =- 2Г„р при лŠ— а, < х "= пЕ; д =- — 2$'-()о при ай+1< х<пЕ+1+а,; (П1.5.12) иа поверхности каверны д(хо)==д(хо+пЕ) при пЕ х=-пЕ+й д =О при пЕ+1+а,<х<(п+1)!.— а,.
(Ш.5.13) Интенсивность источника связана с формой границы каверны у (х) зависимостью (см. (111.3.1) ) д (х) = — 2)! — „" (х) = 2Г„у' (х). (111.5.1 5) лЕ+ 1+а, Учитывая условие замкнутости каверны ) ц (а) о$ = О, М.— и~ вызванную скорость можно представить в следующем виде: м 1+а, Принимая во внимание известное разложение котангенса в полубесконечный ряд (56) с1яих — — + — „т „... (П1 5 17) 1 2х %~ 1 аа Так же, как и в предыдущем случае, система клин — каверны заменяется особенностями, расположенными по оси Ох, а вызванная скорость в произвольной точке с координатой з определяется формулой (111.5.3), в которой изменены пределы интегрирования: выражение (Ш.5.16) можно легко преобразовать к виду !+о.
и (к) = — ~ д (Во) с(ц —" (ко — 5о) Вй . (111.5.18) Ордииата границы каверны на основании (П!.5.15) Х х у( ) =- — ~ дФИ — — — ~) 76,)о$,. (Ш.5.19) о~ Далее подставляем (Ш.5.18), (111.5.19) в условие (1П.5.10) и в результате получаем интегральное уравнение относительно интенсивности распределенных по оси Ох особенностей д (х). Предварительно введем безразмерные величины хо . — $о . — П . о ь о — а,. а,= — ' а,= — ' у= — — ' ах, у (П1,5.20) ч! . — а . Р- — Р. — = 2К„Р ° = ),о 2 Учитывая безразмерные величины (111.5.20), условие на поверхности каверны (111.5.11) преобразуем к виду б — Ч (ь) с(К ~ (к— — ~) (ь) о(о — —— 2 о!п — (1 — х) $) 4 — — 1п о!п — (! + ао — х) (.
о!п — (х+ а,) = — 1п + п)а,. (Ш.5.21) о1п — х 7. Решаем (1П.5.21) приближенно путем замены интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений. Так же, как и для случая одной каверны, искомая функция д(х) аппроксимируется ломаной линией. Подробное изложение численного метода решения дано в 1711. На рис. 111.20, а — г для иллюстрации представлены расчетные зависимости — "" Щ, У"' (7), — "((), -з"- Щ при заданном значении длины клина а, =0,1.
Системы линейных уравнений были рассчитаны иа ЗВМ при соотношениях — ' 0,1 ах и — = +"' ' = — 0,04; 0,52; 0,76; 0,88; 0,94; 0,97. При численном интегрировании число участков на клине хи = 5. 157 Для определения козффицнеита сопротивления клина используется формула е о 2Л 2 Г и — р» — — 2 Г в» Са= == ) г г(х и+Рог — ) 'р р)г~ рог аг 3 р)' ' О~ — а, — аз (П1.5. 22) Приведенную здесь схему решения задачи можно применить к расчету параметров каверн, образованных под днищем" водо- а) 0,5 0,4 0,5 0 1 2 5 4 ~03 52 1 2 5 4 5 5) ть)р 0 1 2 Х 4 5 Рис.
Н1.20. Результаты теоретического расчета характеристик системы беско- яечиых'- каверз: а —.— е(1); б — мех (1); в — — (1); а — —" (1). измещающего судна, и к расчету обтекания глисснрующей поверхности с каверной, которое также можно рассматривать как кавитационное течение в ограниченном потоке 1491. й 6. Кавнтацнонное обтекание профиля плавных образований В задачах о кавитационном обтекании, приведенных выше, были рассмотрены профили, имеющие фиксированные точки отрыва каверны. Однако во многих практических приложениях рассматриваются профили, имеющие плавные образования, а положение 1бо Рис. Ш.21. К решению задачи о кавитапионном обтекании профиля плавных образований: а — физическая плоскость течении; б — вспомогательная плоскость; в — схема распределении особенностей.
на оси 5 1п (1 — $). ай О 3 ~д(р) йр+ ) а(Р 1й:=О, о где Ь вЂ” абсцисса конца каверны на оси $; йт — угловая координата начала каверны. Второе условие — касание границы каверны в начальной точке: Суммарный комплексный потенциал определяется формулой е2йх 1 Г (~+ )+ 2 ' ~+ в, е, + —,„1 а М 1п К вЂ” з'ч) дч — — „1п4 ~ а(р) ФГ+ 1 1 о а 4 Ь + —,'.~аа')1па — Г)Л+ —,' ~аа')1п(~ — й',) (Г— 1 '"1 В~ 4п ~ 1 ~ (~ ) 1 (111.6.2) где $' — переменная интегрирования. Первый член (Ш.б.2) представляет собой потенциал скорости обтекания неподвижного единичного круга под некоторым углом а. Второй член учитывает наличие циркуляции 1', третий и пятый члены представляют собой потенциал скоростей, вызванных источниками и стоками и расположенных на дуге круга и на оси симметрии течения (в случае развитой каверны).
Четвертый и седьмой члены определяют условие иепротекания через круг и горизонтальную стенку, зто потенциалы скоростей от стоков, расположенных в центре круга, шестой член определяет потенциал скорости зеркально отображенных источников )ег Итак, на вспомогательной плоскости ь" рассматривается обтекание единичного круга под некоторым углом сс, имеющего указанную выше систему особенностей. В связи с тем что координаты начала и конца каверны неизвестны (точки А' и В'), необходимо составить два дополнительных условия. Первое из них — требование о замкнутости каверны — равносильно тому, чтобы интегральная интенсивность источников и стоков была равна нулю, т.
е. (рис. 111.21, в). В частном случае частичной кавитации пятый, шестой и седьмой члены равны нулю. йо Комплексную скорость течения — находим путем диффес$ реицирования (Ш.6.2) по ь: ъ . 1 Р'"М Г е-~а 1 ) + ~$ ~ ~~ 1 2юи" а, а~ 2и 1 ~ ~~9 4Щ 1й(Р) + Ва Ь м + 4л~ 6 ( ) à — $' 4л ~й( ) 1 4п( ~й( о 1 з' (П1.6.3) при ь=1 или О~ ф' Е-юа(1 аФа) )( ~а(Ч,) 'Р е, в, 4 ~д(ч') ьч'=о, 1 (П1.6.4) где Π— угловая координата конца каверны. Выражая затем показательные функции через тригонометри- ческие, после промежуточных преобразований получим уравне- ние для определения циркуляции Оз Г = — 4М'„з!и и + — ) йр, 1 г д(<р) ма ~у 2 .) ! — соз~р е, Для определения циркуляции Г в (П1.6.3) составляется допол- нительное условие.
В силу принятого условия тонкости граница каверны совпадает с поверхностью профиля и частично с ли- нией 1 — Га. Критическая точка находится на границе каверны, скорость иа ней должна быть конечной и равна У„, что соответиж ствует постулату Жуковского — Чаплыгина. Скорость — должна гЦ обращаться в нуль. В частном случае частичной каверны это условие' имеет следующий вид: Р" 1 Г у. --~ — — '+ — + 2Ы О~ е, + — '~дЮ "'„— —,„' ~й(ч) йг=о О. аа Как уже указывалось, мы считаем каверну тонкой, и поэтому полагаем, что скорости 11, и г'„малы так, что У~=~'а п и $~1; $'~ =1~ь при 1<5<5.:.
(Ш,б.б) Представим комплексную скорость Рс в параметрическом виде. Учитывая (1П.6.5), найдем У = ~ ~" ~ ' = — '~ Я~а' . (111.6.6) Поспе подстановки (П1.6.3) в выражение (Ш.б.б), с учетом (Н1.6.4) и ряда промежуточных преобразований для частичной каверны получим: г $'~ = 2$' з1п (Π— а) — —— яп 6~ Вд ) Ы(Ф) ! — Π— оФ 4 10(Ф)МФ (111.6 7) Ов в, 163 — йв Как видно иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
