В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 25
Текст из файла (страница 25)
3) на свободной поверхности давление постоянно н равно р, поэтому граничные условия имеют вид: у2 при — оо<х<оо, у=-Н, где Н вЂ” глубина погружения профиля. 4) в ссютветствии со второй схемой М. Тулина давление в следе каверны р = р„, поэтому условие на границе следа Ф = О при Г < х < оо, у =- О'. 5) на большом удалении перед профилем вызванные скорости и ускорения пропадают, следовательно, Р(з, 1) =- О при х = — оо. (ГУ.3.2) Б) в дополнение к перечисленным выше граничным условиям в точках А и С (см. рис. ГУ.2, а) должно удовлетворяться условие плавности схода струй, что эквивалентно условию Чаплыгина— Жуковского о конечности скорости и непрерывности распределения давления в этих точках, Таким образом, функция Р (г) должна быть ограничена в этих точках в каждый момент времени.
В дальнейшем под х и у будем понимать безразмерные значения координат, отнесенные к Н. В этом случае Н = 1. Линеаризованная физическая плоскость течения и граничные условия показаны на рис. 1у'.2, б. Как видно из рисунка, течение находится внутри многоугольника ВАЕРШС. Преобразуем внутреннюю область этого многоугольника с помощью интеграла Кристоффеля — Шварца на нижнюю полуплоскость ~ так, чтобы вершины многоугольника лежали на вещественной оси з.
Подобные преобразования были нами уже сделаны при решении стационарных кавитационных задач в $ 1 гл. П1 и определялись формулой (ПГ.1.26). Учитывая, что в рассматриваемом случае используются безразмерные координаты, напишем формулу, устанавливающую соответствие плоскостей г (х, у) и ь (5, '1) следующим образом: ь — 1п (1 + Ц (1У.З:3) Параметрическая плоскость ь и соответствие точек плоскости дано на рис. ГУ.2, в. 178 Задача сводится теперь к определению функции Р (ь), регулярной во всей нижней полуплоскости Ь (за исключением точки ь = 0) и удовлетворяющей следующим граничным условиям: 1) Ф = 0 ' при — оо < $< — $а, Ч = О; 2) Ф = — прн — за<$< — $л, Ч= 0; (1Ъ'.3.4) 3) а — --г„(ь, 1) пРн — ьл<з<зс, Ч=О, где $'„($, 1) определяется с учетом формы профиля и закона движения крыла; 4) Ф = 9 прн 5с<5<$о' 5) Ф = 0 при $п < $ < оо; 5) Р (Ь) ограничена прн $ = — $л„$ = $с.
В верхней полуплоскости ь в соответсгвян с принципом аналитического продолжения Р($) = — Р (ь). Следовательно, КеР'= — Ф'= — КеР = — Ф; 1ш Р = Ч'+ = 1ш Р == Ч' . дФ Как следует из условия Коши — Римана, производная— д3) связана с функцией Ч' интегральным соотношением — Ч'$, 1) =- ~ — ф, 1) с$ — с(1), (1Ч.3.5) где с (1) — постоянная интегрирования. 'Таким образом, задача об определении потенциала ускорения сводится к краевой задаче Римана †Гильбер для нижней полу- плоскости со смешанными краевыми условиями. Действительно, на отрезке АС (см. рис.
1Ъ'.2, в) границы полуплоскости задано 1ш, что согласно (1У.3.5) равносильно заданию 1ш (ь) = аРю =- 'р ($), на остальных отрезках задано Ке Р (ь) = Ф ($). И здесь может быть использована формула Келдыша — Седова (см. 92 гл. П). Применение этой формулы было ранее рассмотрено при решении стационарных кавитационных задач. Функция Р (Ь) ограничена вблизи концов отрезка ( — $л, зс), вблизи точки ь = О ограничен интеграл Р (ь) г(ь. Необходимо по заданным граничным условиям найти потенциал ускорения во всей нижней полуплоскости 179 / !!! !!! где )7„ =- ~/ П (ь — а„), Яь == ф1 П (ь — Ь„); а, Ь, — коорй=! й! динаты концов отрезков, имеющих мнимые граничные условия, т.
е. в рассматриваемом случае а„=- — $,~, $с; Ь„=- О. В соответствии с (1Ч.3.6) получим: х„© т/' (~ — Ь )(1+Ьл) )'(~ — Ьд(~+Ьл) ль(и Ф' Функция я(т) имеет следующие значения: д (т) = О при — оо < $ < — 5в,. а( ) = — '; пр — ~,<~ < — ~.; (1Ч.3.7) д (т) = — !Ч'' при — ьл < 5 < $с,. й(т)= ~ при Ьс<с<йо' я (т) = О прн ~~ < $ < оо. Подставляя зги условия в (1Ч.3.6), получим: 5с ! !(! — !И!~~,)~ е!.) ~ вь .) )/'( — Ь ) (т+ Ь„) ( — 1) — ьл ) '! )' (~ Ьс)(~+~А) т ит )/ (т — $с)(т+4) (т — 0 — ае ао ° )/(~ — Ь,)(~+Ь„) Г ™ + 9, ~ " ) )/.(т а )(т ( а ~(„г) ' (1!!".3.8) Вс В ~ 2 гл. Ц уже указывалось, что есть несколько разновидностей формулы Келдыша — Седова, которые определяются условиями на концах отрезков вещественной оси.
В рассматриваемом случае функция Р (ь) ограничена на всех концах а„, а вблизи концов Ь„. ограничен интеграл ~ г (ь) дь. Тогда в соответствии с (11.2.11) решение получит следующий вид: После вычисления второго и третьего интегралов выражения (1Ъ'.3.8) и преобразований получим тс Мт — гн~т~м 1 т(, О г кь .1 )/'(т — з ) (т+ зл) (т — с) — ел к ~1„Ю+ й 1„)/(йо йс) 6+ йл)+)/(6 йс) (йо+ йл) 2я! ~ ~ т )/(~ (й)(ц~т) )/"(~ й)(й й) 2)' (6 — ~с)(~+4л)1п ) о ~о )/~о+ "л (1т13 9) Ь йя+ йс+ )' ~е йл Формула (1У.3.9) — общая для произвольного закона неустановивп!егося движения; функция Ч" (т, !) для каждого закона колебания будет иметь свое выражение.
Параметры Бя и 5о— функции времени. В частном случае струйного обтекания (к = О) Р (ь) определяется первым членом (1Ч.З.9). В формулах (1Ч.3.9) абсциссы сл и Ео известны. Они определяются согласно (1У.З.З) по заданным значениям координат хл и хс на физической плоскости течения. Величины же 5о и 5я неизвестны, для их определения составим два дополнительных условия. В качестве первого дополнительного уравнения, связывающего параметры 5я и со, можно использовать условие равенства координат кдвойных спиральных вихрей». Тогда, учитывая формулы (1Ч.З.З), получим: — $ — 1о(1 — $ ) $ — !п(1+$ ) Я Я о о (Р 310) После преобразования найдем: +1 =1и +Ь о я=и (17.3.11) Второе дополнительное уравнение получаем исходя из граничных условий (1Ч.3.2).
Точка Р с координатой ~ ( — 1,0) в параметрической плоскости соответствует аналогичной точке г (оо, О) на физической плоскости. Полагая поэтому в (1Ч.3.9) ь =- — 1, Г ( — 1) =-= О, получим: сс Ч" (т, !) тот к !1п + 1 — $я 1' (зс т) (т+зл) (1 +т) 2 г (1 +зс) (1 — зл! ~ +' йо — ел ~ ~ ~„гж~д(~ — ь)-';гО+1 )т .~.ь) 1 Йя+ $с) (1 — И вЂ” 1 (1+5с) (йя — 5А) — а)/(1 ! йс)(1+йл)1п ~~' З' ~~ +йл (ПГ.З.12) (/йя+$с+)/5я — $л ~ где )йо — амплитуда колебаний; го — угловая частота.
Учитывая угол атаки а, можно представить уравнение траектории произвольной точки х пластины следующим образом: у(х, 1) = — ах — лйе!"'. (1Ч.З.! 4) Вертикальная составляющая скорости находится по формуле (1Ч.3.1): Ч„= — аЧ вЂ” 1ойое1"', (1Ч.3.15) а ускорение а определяется путем дифференцирования (1Ч.3.15) по времени: а = соей,е!нс о Скорость и ускорение легко представить в виде $~ = — "= — а — 1 ~ й ег"', й' У„ (1Ч.3.16) (1Ч.3.17) На основании условия (1Ч.1.12) находим, что — Чй(х, 1) = 1 д„й(х — (1). ю о Принимая во внимание формулы (1Ч.3.17), получим: — йр(х, 1)=1 й,й Ьдт 'Е(х — сЯ, о (1Ч.3.18) а после интегрирования (1Ч.3.18) Ч" (х, 1) = — ~, ййе1тмх+ с (Х).
(1Ч 3. 19) При переходе от физической плоскости г к вспомогательной ь воспользуемся формулой (1Ч.З.З), в результате найдем: Ч'(5,1)= — —,Ьое1 й ~ ~ "1 +') ~+с(1). (1Ч.3.20) 182 Выражения (1Ч.3.9), (1Ч.3.11), (1Ч.3.12) позволяют получить однозначное решение задачи. Рассмотрим в качестве примера вертикальные гармонические колебания кавитирующей пластинки ВС.
Закон неустановившегося движения при атом имеет вид и (1) = Ьое/"', (1Ч.3.13) После подстановки (1У.3.14) в (1У.3.9) получим выражение для потенциала ускорения Р (~, 1) при заданном законе колебаний пластинки. Коэффициент подъемной силы можно получить из выражения для потенциала ускорения (1Ч.1.8). Действительно, если Ф=— уз то давление на внешней стороне контура Р= — рр" Ф+Р .
Принимая во внимание, что давление в каверне постоянно и равно Р„ легко определить суммарное давление, действующее на точку контура: Р— Р = — РРЫ>+Р или (1Ч.3.21) Интегрируя (1Ч.З.21) по контуру профиля, получим выражение для суммарной силы, действующей на негсс 'с кс где гл, гс — координаты точек отрыва каверны. Проецируя силу Р на ось у, найдем подъемную силу кс и коэффициент подъемной силы где Ь вЂ” длина хорды профиля. Потенциал ускорения определим по формуле (1Ч.З.9). Момент относительно передней кромки профиля "с М= — рг' ) (Ф вЂ” — ) дх, а коэффициент момента "с С =- —,, = — —,) ~Ф вЂ” — ) хЙх. рр' ь' "'л Для определения потенциала ускорения Ф, а затем гидродинамическнх козффициентов С„и С„, необходимо предварительно найти постоянную интегрирования с (1) в (1Ч.3.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
