В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ш.22, комплексная скорость Ъ'с =— и~ может быть представлена через проекции так: Сопоставляя (П?.6.6) с (П1.6.7), найдем е, ?га-— — 2)г з?п(0 — а) — — — — ) а(сг) Г 1 г з?п (Π— Е) 2я 4я ) 1 — соа (З вЂ” Е) Йр', е. а, у,= —,„~а(р) ?ч' Принимая во внимание связь между скоростями на границе каверны на физической и вспомогательной плоскостях (1П.6.1), О 055 ааьпас В) Ь 05 . ~5 юЫ ег х Рис. И!.зз.
Результаты расчета относительной длины каверны в за- висимости от угла атаки и числа кавитации. а также выражения (И1.6.6) и (П?.6.6), получим интегральные уравнения для определения неизвестной функции распределения особенностей а (О): )ге —— 1~ ~ — ~ при к=1; 0~0~2п; 5:-1. (111.6.6) Выражение (Ш.6.7) можно написать для более общего случая— развитой каверны.
Интегральное уравнение (Ш.6.8) дополняется тогда уравнением (П1.6.9) Решая (Ш.6.9), найдем функцию распределения особенностей д (з) вдоль оси 5. Зная распределение особенностей д (О) и я (з), легко вычислить и форму каверны. Исходя из положений геометрии можно установить по рис. Ш.22 связь между скоростями и приращениями координат каверны: для части каверны, расположенной на профиле, Ф Нг. =-)е — ==тс — ' г аэ —,ф для части каверны, расположенной за профилем, чч А~ г=г д~=- Ж где Ь'С определяется по выражению (П1.6.7). На рис. П1.23 приведены результаты расчетов по приведенной выше схеме для частичной каверны, образованной на плоской пластинке, а также результаты экспериментов с симметричным двояковыпуклым и плоско-выпуклыми профилями.
На рис. П1.23, а дана зависимость относительной длины каМв а верны гь'1 от отношения, где и — угол атаки; н — число кавитации; 1 — длина пластинки; й — длина каверны. На рис. П1.23 даны аналогичные зависимости для двух профилей, образованных дугами круга. Там же нанесены экспериментальные точки, полученные в работе (891 для профилей, имеющих хорду 150 мм и толщину 6 мм.
Как видно из рисунка, совпадение теоретических данных с экспериментальными наблюдается при И ==. 0,5. При увеличении этого отношения получается резкое расхождение результатов теории и эксперимента„ что объясняется неправомочностью использования линейной теории в диапазоне значений Ы1 = 0,76 —:1,0. Глава !Ч НЕСТАЦИОНАРНЫЕ НАВИТАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ф 1. Понятие о потенциале ускорения Исследование гидродинамических сил, действующих на тело при нестационарном обтекании с отрывом струй, имеет практическое значение: его результаты необходимы для различных инженерных расчетов, в частности при проектировании конструкций быстроходных судов. Настоятельная потребность в достаточно простых способах расчета вызвала появление теории, основанной на ряде допущений, известных из решений линейной задачи о стационарном обтекании.
В частности, предполагается, что вызванные скорости жидкости, обусловленные присутствием тела и его колебаниями, малы по сравнению со скоростью основного потока. Весьма плодатворнымоказался метод потенциала ускорения, введенный в аэродинамику Прандтлем. Метод потенциала ускорения состоит в следующем. Из теории невязкой жидкости известно, что иестационарное движение определяется уравнениями Эйлера. В случае плоского движения (г = 0), исключая массовые силы, в декартовой системе координат получим: дух д~» дух 1 др .
х+ «У ) хУ дГ дх " ду " р дк ' дк„ др„ д~„ 1 др —"-1- —." 1' + — У = — — —. дГ дх " ду р Р ду ' (1Ъ".1.1) Проекции скоростей, входящие в (1Ъ'.1.1), легко представить так: У =У„+о„У„=и„, где У„ — скорость па границе каверны при стационарном обтекании; о„, ор — проекции вызванной скорости и на оси Ох и Оу. 166 В дальнейшем и„, по и их производные будем считать малыми величинами. Тогда третьими членами в (1Ъ'.1.1) можно пренебречь. В результате найдем: док дох 1 др . д! + дх .'= р дх до„ д'„ ! др — + — Ч = — — —. дг + дк = р ду ' (1Ч.1,2) Введем безразмерные величины о и к к э Ук После подстановки (1Ч.1.3.) в (1Ч.1.2) получим: дох ! дох г 1 дР, Ч вЂ” + — Ч„= — — —; дГ+ дх " р дх' дко дох г 1 др + 1к— к д! дх к — р ду или 1 дох до„! др Ук дг + дх руг дх* р к д~~~ доу др — + У д! (1Ч.1ой) дх руг ду Известно, что векторное поле потенциально, если выполняется условие го! а=О нлн дак д""и (1Ъ'.1.6) Составив частные производные правых частей (1Ч,1.5) по у и по х соответственно, убеждаемся, что в нашем случае условие (1Ч.1.6) выполняется и векторное поле ускорения потенциально.
Определение потенциала консервативного поля 167 Как видно из (1Ч.1.4), левые части этого выражения представляют собой проекции вектора ускорения а = ак1 + ау1, где ~Ь~х док ! др . Ук дг дх рУа дх ' и = — — + — = — —— 1 ду до 1 др (1Ч.1.5) Ук дг дХ руг ду ' к равносильно задаче о вычислении функции Ф по ее полному дифференциалу: йФ = — дх+ — ду, дФ дФ дх др но дФ. дФ а = — а =.—. х Ъ ' а д Тогда потенциал поля ускорений находим по формуле Ф = ) ар Иу+ ) а„0х. в безразмерной форме или, так как потенциал определяется с точностью до постоянной, (1Ч.1.7) рР Если вызванные скорости отсчитывать от скорости основного потока на бесконечности, т.
е. считать, что ~х=уа +оа1 Уу ою то выражение для безразмерного потенциала ускорения получим в виде Ф= —— Р рК~ нли Р Р, Ф=— риаз„ (1Ч.1.8) Покажем теперь, что потенциал Ф вЂ” гармоническая функция, т. е. он удовлетворяет уравнению Лапласа. Уравнение неразрывности течения." да, ~Ь вЂ” + — =О. д» др Подставляя вместо а а„их значения по формуле (1Ч.1.5), после интегрирования получим следующие выражения для потенциала ускорения (для несжимаемой жидкости): в размерной форме Продифференцируем первое и второе уравнение ()А.1.5) по х и у соответственно, а затем сложим их почленнсс ! дФ ОФ рай/~ ( д~И + дух ) (1Ч 1 10) Как видно, на основании (1ЪГ.1.9) левая часть (1Ъ'.1.10) обращается в нуль. В результате получим уравнение Лапласа — '„, + ду, — 0.
(1Ъг.1. П) На основании (1Ъ'.1.11) можно утверждать, что существует комплексная функция Р (г, 1) = ГР + 1Чг, удовлетворяющая условиям Коши — Римана: дФ дЧ' дФ дЧ' — = — = а„и — = — — = а . (1Ъ'.1.12) дх ду ду дк Назовем функцию Р (г, 1) комплексным потенциалом ускорения. Легко установить связь между вызванной комплексной скоростью а и комплексным потенциалом ускорения Р. Принимая во внимание, что о = и„— Й„, умиожим второе уравнение (1Ъ'.1.4) на 1 и вычтем его из первого. После преобразований с учетом (1ЪГ.1.12) получим: дФ .дФ дФ .дЧ.
= — — 1 — = — +1 —; дх ду дх дх ' (1Ъ'.1.13) + — —— у~ да Иг да Рассмотрим теперь применение метода потенциала ускорения к задачам нестационарного кавитационного обтекания. 5 2. Ускоренное навитационное обтекание тонного клина Такая задача встречается в корабельной гидродинамике, например, при нестационарных режимах движения крыльевой системы быстроходного судна (колебания на волнении, разгон„торможение). В ряде случаев отдельные элементы системы: стойки, крылья — находятся в режимах кавитации (или веитиляпии), при которых с течением времени изменяются; скорость набегающего потока, длина каверны, а также гидродинамические силы 169 дф ИГ дч' — — — 1 — — — — 0 д ~дх д (?Ъ'.2.2) кроме того, примем Ч' = О.
2. На границе каверны давлениер=р„. Принимая во внимание (1Ч.1.7) для потенциала ускорения, получим граничное условие в виде: при 1<х<1, у=О Ф = Ке Р (г, Е) =- О, (1У.2.3) где 1 — длина каверны. 3. Н а б е с к о н е ч н о с т и (при больших значениях (г ~). В настоящей задаче целесообразно представить систему координат хАу как неподвижную. Тогда на основании принципа Даламбера необходимо учесть инерционные силы, обусловленные ускорением потока на бесконечности, что достигается введением в интеграл Коши — Лагранжа потенциала инерционных сил ввиде Я = ах по сопротивления. Так как профиль стойки имеет большое удли- нение, то ее обтекание может быть уподоблено обтеканию тонкого тела.
Рассмотрим тонкий клин АСВ единичной длины в ускорен- ном потоке невязкой и невесомой жидкости при числе кавита- ции х + 0 1781. Предположим, что на бесконечности скорость натекающего потока г' изменилась на малую величину $'~ (1) так, что результирующая скорость имеет вид Р (1) = ~' + 1' (1). Необходимо найти вызванные скорости, длину каверны и силу сопротивления, обусловленные изменением скорости потока. Физическая плоскость течения дана на рис. 1Ч.1, а. Здесь хАу— прямоугольная система координат, связанная с клином; х'ду'— система координат, связанная с жидкостью на бесконечности.
Пусть давление на бесконечности равно р„, при кратковременй', ном изменении скорости $', (1) ускорение потока равно а = — '. Ж Рассмотрим граничные условия задачи. 1. На поверхности клина при 0<х<1, у=-0 (1Ч.2.1) Выразим это условие через потенциал ускорения. Так как о„=— дФ =- сопз1, то из второго уравнения (Тт'.1.5) получим, что— дР = 1ш — = 0 или, принимая во внимание условие Коши— Римана, Рис.
1Ъ'.1. Ускоренное кавитационное обтекание тонкого клина; а— фиаическая плоскость течения; б— линеаризованиая фнаическая плоскость; в — вспомогательная плос- кость 11: Недра С) = Ф= О; дг дФ С ь — — о, да дв г — вспомогательная плоскость Ь: и дФ ие и Рч о = Ф = в; пч — и бп г1 =- — =- о; дй ' дд д — вспомогательная плоскость ч: — Ь+гИ-ц' д/2 и= 1/я г !71 Учитывая сказанное, представим потенциал скорости и давление в следующем виде: <р = У (1) х, р = р — р пх. (1Ч.2 4) Подставляя выражение (1Ъ'.2.4) в (1Ч.1.7), найдем величину комплексного потенциала ускорения при больших значениях ~ г~ Р(з, 1)- —,(р„— р +1 ) 1 р1~к или, принимая во внимание, что Р, = $' ф'1+ х, получим: Оа я ьэ В+„) 2(1+я) (1Ч.2.5) В формуле (1Ч.2.5) первый член представляет собой вид особенности на бесконечности.
Линеаризованная физическая плоскость течения н граничные условия даны на рис. ГЧ.1, б. Преобразуем с помощью формулы Кристоффеля — Шварца внешнее (по отношению к разрезу) течение на плоскости г на вспомогательную верхнюю полуплоскость Я (рис. 1Ъ'.1, а), при этом может быть использована известная нам формула из 2 1 гл. 111. 0 =(1 — 1) ~* ( ) или 9 =й( а ) '. (1Ъ'.2.6) (1Ч.2.7) Как видно из рис, 1Ч.1, г, поверхности клина располагаются на полукруге единичного радиуса, а границы каверны — на вещественной оси. Однако отметим, что если постоянные значения граничных условий не изменяются при переходе от одной плос- НР кости к другой, то граничное условие †„ изменяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
