В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно, ИР ИР Иь" БАРР дР юг — = — — или — = — —. ну й~ йг с$ь сл~ с$ ' 172 В результате получим задачу с заданными граничными условиями на вещественной оси плоскости Я. Точка М (И) на мнимой оси этой плоскости соответствует бесконечно удаленной точке на плоскости з (г = оо). Решение этой задачи выполним методом особенностей, рассмотренным нами в $ 4 гл. П1. В этом случае находим потенциалы ускорений, обусловленные каждой особенностью, а затем суммируем нх. По аналогии с изложенным в $ 4 гл. 111 преобразуем течение на плоскости 1,1 на вспомогательную плоскость ~ с помощью формулы Производные ~$ дг нг или — легко определить путем диффеЙ~ ренцирования (1Ъ'.2.6) и (1Ч.2.7).
Опуская промежуточные выкладки, получим И~ 4 (! 1) Р + (~Р + 1)~ (1Ч 2.8) Ыя 8! (! — 1) ь (ь4 — 1) Таким образом, граничное условие на поверхности единичного круга плоскости ь зависит от (1Ъ'.2.8). Координату точки плоскости ь, соответствующую бесконечно удаленной точке г = = со, аналогично решению стационарной задачи, находим при помощи формулы (111А.15): ( =!Р'*+(1 — 1)*'). (1Ъ'.2.9) Неизвестный потенциал ускорения Р можно легко получить как сумму потенциалов ускорений, вызванных особенностями: р(ь, !)= — „1п=!+ ' —, (ь — —,)+Г., (1Ч2.1()) 2В ь — ° А(!) / 1) ( ! +Я)ча (1Ъ'.2.12) Вспомогательная плоскость, соответствующая атому преобразованию, дана на рис. 1Ч.1, д. С помощью (1Ъ'.2.7) — (1Ч.2.12) выражение (1Ч.2.11) преобразуем так: а[! — (! — 1) 1*1(! — 1) 1* 1 Р— 2)~ (1+х) ! 1* т — 'ч„, (1Ч.2.13) вблизи т = и = —,, (1 + 1 (1 — 1)'!'1, где и — координата, сопряженная с т.
173 где первый член соответствует скачку вызванной скорости и„ в носике клина; второй член характеризует вызванную скорость при обтекании окружности единичного радиуса; третий член определяется особенностью на бесконечности при г = со; А (1)— действительная функция времени. Асимптотическое приближение для потенциала ускорения на плоскости ь в точке ь" (г = оо) после подстановки в первый член (1Ч.2.5) формул (1Ч.2.6), (1Ч.2.7) и последующих преобразований имеет вид ~1! (! 1)1~/в~ Р— "1!(! 1)1 ~ вблизи ~=~~, (1Ч.2.11) 2$'~ (1+х) ((,— Ь, ) где ь„, определяется формулой (1Ъ'.2.9). В дальнейшем формулу для Г удобнее получить в новой вспомогательной плоскости т, связанной с плоскостью 9 соотношением Граничные условия (1Ч.2.1), (1Ч.2.2) и (1Ч.2.5) применимы к мнимой и вещественным осям плоскости т соответственно.
Решение для функции Р при г =- со может быть выражено затем через комплексную переменную с ! — (! — 1) н чх !+(! — 1) и ! 1 — (1 — !)чч +,4 .„, !+ (1 — 1)Ч т+тт 1+— 1 ь 1 1 —— .а(1 1)чч 1 1+~щ 1 ~д 41~~ (!+и) ~ ь ~т ~+~я Таким образом, окончательно решение для потенциала ускорения имеет вид Р(~, !)= — 1п . +! — ~~ — — ) + 2р ~ — ! ° А(!) / 1 а ь+! 2 (1 — й Д 4уз (! ) ) ( ь) 1+~ + 1 — 1 ь — 5 ь+~ 1 — — 1+— (1Ч.2. 14) 1 1 1+— х о„.= ~ б~~, р, 1 — ", ') а, дч' где 6 =- — †. ; $ — переменная интегрирования.
дк Решение (1Ч.2.14) для комплексного потенциала ускорения Р при заданных ускорении и форме клина содержит две неизвестные функции: А (1) н ! (!) — длину каверны. Найдем два дополнительных условия для их определения. Первое условие легко найти, если в ()Ч.2.14) положить ь— — а затем вещественную часть полученного выражения приравнять постоянному члену формулы (1Ч.2.5).
Опуская промежуточные выкладки, найдем — г 1п~ ) А(1)1 — 1 + ) . (1Ч.2.15) 174 Полученное решение удовлетворяет граничным условиям для Р Ю и — „, а также граничным условиям для вызванной скорости о„. Скорость о„может быть найдена из (!Ч.1.5): Второе условие можно получить исходя нз следующих соображений. При больших значениях г можно принять условие, что контур клин — каверна замкнут. Тогда, если представить вызванную скорость и в виде ряда Лорана, найдем: В этом выражении в соответствии со сказанным выше вычет а, = О. Отсутствие логарифмической особенности в выражении г', 0г" означает также, что вычет при разложении функции — в ряд Ф Лорана равен нулю.
Используя (1Ч.1.13) н (1Ъ'.2.16), получим, что — =- О, т. е. а, не зависит от времени и поэтому равно Ий~ Ж значению для стационарного потока. В рассматриваемой задаче предполагается, что при кратковременном изменении скорости потока каверна остаегся симметричной относительно оси Ах, однако при этом изменяются размеры каверны при сохранении ее площади — укорочение каверны сопровождается увеличением ее ширины, удлинение— уменьшением ширины. При больших скоростях потока, когда весомость жидкости проявляется слабо, это допущение справедливо и подтверждается экспериментом.
Согласно !119) площадь стационарной каверны для клина единичной длины находим по формуле о =- — 2пам тогда в свете принятого допущения а, = сопз1. Все сказанное выше дает основание считать с учетом (1Ъ'.1.13) нл и (1Ч.2.16), что коэффициент при члене 1/г' в выражении для — „ должен быть равен нулю, а это, в свою очередь, значит, что равен нулю коэффициент при члене 1/з в выражении для определения г. Учитывая эти обстоятельства и переходя к плоскости Ь, после промежуточных преобразований из (1Ч.2.14) получим второе условие для определения неизвестных А (1) и 1(1): 4$'т~ О+ н) (1 — 1)' — — /чч + А1ьч (1 — 1) = О.
(1Ч.2.17) Сила сопротивления кавитирующего клина может быть получена интегрированием давления по поверхности клина: 1 1 Х = 2 ) (р — р„) г(у=-2р ) (р(х) — р,) бх, (1Ч.2.18) О о где р (х) — давление на стороне клина; р, — давление в каверне Разность давлений, входящая в (1Ч.2.16), может быть получена на основании (1Ч.1.7), (1Ъ'.2.14) и (1Ъ'.2.17). 175 После преобразования получим коэффициент сопротивления: Х 8~А!(1+я) ! 2р ! й (1т 2 19) — ри я(1- 1) 2 ( Полагая в (1Ъ'.2.19) а = О, получим формулу для стационарного кавнтационного обтекания клина в невесомой жидкости.
Длина каверны 1(1) определяется из (1Ъ'.2.15) и (1Ъ".2.17) прн заданном значении ускорения а(1). Из этих двух уравнений функция А (1) легко исключается. В результате получаем прямую зависимость между 1 (1) и а (1): ай) 1+я!1 и Р !1+1 2(! — — — — — — 1п 4уз ! !+3 2 1+я л !Че ! з ! — 1 (1Ъ',2 20) где н — число кавитации стационарного потока. Уравнение (?Ъ'.2.20) решается графически для заданных н и 13. После графического определения функции 1(!) по формуле (1Ъ".2.20) находят коэффициент сопротивления С„по (1Ъ'.2.19). 9 3.
Нестационарное навнтационное обтекание тонкого профиля вблизи свободной поверхности Рассмотрим тонкий кавитирующий профиль, совершающий вблизи свободной поверхности колебания малой амплитуды по закону й (х, 1) в потоке жидкости, имеющем постоянную скорость г' (691. Предположим, что каверна замыкается далеко за телом, что соответствует малым числам кавитации н. Отрыв струй происходит в произвольных фиксированных точках нагнетающей и засасывающей сторон профиля.
В качестве схемы замыкания каверны примем схему М. Тулина с двойными спиральными вихрями, уже рассмотренную в гл. П. Течение рассматриваем в прямоугольной системе координат хОУ, нагнетающие и засасывающие стороны профиля определяются уравнениями д, = у, (х) и у, = у, (х) соответственно. Предположим, что у,, н — ' настолько малы, что средняя дУь линия профиля незначительно отличается от отрезка прямой, а вызванные скорости (обусловленные иестационарностью) и == = о — ы,, малы по сравнению со скоростью основного потока У .
При сделанных выше допущениях влияние нестацнонарных составляющих движения можно рассматривать как малые возмущения, а задачу представить в линейной постановке. Физическая плоскость течения г показана на рис. 1Ъ'.2, а. Задачу также будем решать методом потенциала ускорения (см. $1 этой главы). Рассмотрим граничные условия: 176 1) на поверхности профиля задана вертикальная составляющая скорости жидкости. Так, если профиль совершает колебания по закону й = Ь (х, 1), то вертикальная составляющая скорости определяется формулой ду«х, «) ду(х, О а д«д. Ф О Ф=— 2 Рис.
%.2. Несгационарное обтекание тонкого профиля вблизи свободной поверхности: а — физическая плоскость течения; б — лннеаризованная физическая плоскость", а — вспомогательная плоскость. где у (х, 1) определяется формой профиля и законом колебания, а граничное условие на профиле в соответствии с (11«.1.1) имеет вид: дФ дтг дуя дУа ау ду дх д«дх при О < х < хл, у = О'; О <х<хс, у=О. 2) на границе каверны давление р = р„, поэтому, учитывая (117.1.8), получим: у2 2 при х„< х < 1, хс < х < Г, где à — длина каверны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
