В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому в дальнейшем надо изменить форму каверны так, чтобы на границе каверны было постоянное распределение скоростей. Для этого необходимо задать значение скорости К, на границе каверны; она может быть принята равной скорости в точке схода. Распределение скоростей на смоченной части контура остается пока прежним. Подставив в (Ч.2.3) полученную из предыдущего приближения зависимость у (о) для смоченного контура, а также выбранное значение Г„, найдем т ($), т.
е. ординаты границ каверны в первом приближении. Пользуясь этими значениями т(о), можно снова рассчитать распределение скорости по полученному контуру. 1Тосле этого процесс уточнения координат границ каверны должен быть продолжен. В случае обтекания тела с острыми кромками кривизна каверны в точках схода стремится к бесконечности. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе аппроксимации формы границы каверны вблизи точки схода. Так, например [6), вблизи точки схода каверна аппроксимировалась двояко: (Ч.2.5) у == ах' + Ьх + с (Ч.2.6) у =- (а (х — М) + Ь) (х — М) Ч' -( - д„, где М вЂ” координата точки схода; а, Ь, с — постоянные.
В (Ч.2.6) учтена бесконечная кривизна в точках отрыва. При расчетах по формуле (Ч.2.6) процесс сходится быстрее и результаты более точные. В контрольных расчетах оказалось достаточным сделать три приближения, чтобы скорость на границе каверны отличалась от постоянной не более чем на 1,5 — 2%. Для иллюстрации изложенного выше метода ниже рассмотрим пример расчета обтекания клина (единичной длины) по схеме с зеркалом при произвольном числе кавитации (рис. Ч.11).
Выбранные нулевые рриближения для у(х) и — „(х) = — 1цт ад даны на рис. Ч.12. Функция у (х) аппрокснмнроваласгп на клине— наклонной прямой, на границе каверны — постоянной величиной; функция †„ (х) = 1д т аппроксимировалась: на клине — поли <Ь стоянкой величиной, на границе каверны (до половины длины каверны) — отрезком наклонной прямой. На основании рис.
Ч.11, принимая во внимание положения геометрии, найдем: в(п(Г1, 1) = сов сссовт((иа — (и т); сов(г,, 1) = совасовт(1.[- (паЦт); в(п(Г2,1) = сов~сов т((я[1 — (пт); сов(г.„() = сов[)совт(1-[- (и[)(йт), где и =- г' г,, х; р =--,г г„х. Кроме того, исходя из рассмотрения треугольников (см. рис. Ч.11) ЛБА и ЛЗ'51 получим сова =- — » совр= (Ч.2.11) Г1 Г2 (Ч.2.10) х — $ Г'2— СО2 [) х — 1. Г1 — — — ,' саки ' (Ч.2.12) »»[2» — „'[» Ъ»»2 — »2»+.Юг»»22», >»х х у($) ~ ~) г(5; х — в у'(х) .=- — — )( [сов'а(1+ М а (я т) + 2п +сов2[1(1+ф~фт)[)»($) х сф, (Ч2.15) где у' (х) = 201 Принимая во внимание условие симметрии относительно оси хоп (г, 1) сов(г, 1) Ох, подынтегральные выражения ' и ' , входящие г г в (Ч.2.3) и (Ч.2.4), перепишем в виде: 2(п (г»г 1) хп» (го 1) Мп (г2, 1) Г1 Г2 сов(г„, 1) сох(г,, 1) + оса (Г2, 1) (Ч.2.13) Г Г2 Тогда с учетом формул (Ч.2.9), (Ч.2.11) — (Ч.2.13) интегральные ура6нения (Ч.2.3) и (Ч.2.4) перепишем в виде 1 )Г 1+в' (х)2 Уравнения (Н.2.14) и (Н.2.15) решаются с помощью метода последовательных приближений, при этом интегралы, входящие в эти уравнения, заменяются конечными суммами по формуле численного интегрирования и правилу трапеции с переменным шагом.
Изложенный выше случай кавитационного обтекания клина по схеме с зеркалом был рассчитан на ЭВМ (рис. Н.12 и Н.13') (б). лк.; с - мах 40 ру О ОЗ 40 - и 5 3. Применение метода вихревых особенностей для расчета осесимметричного обтекания тела в режиме развитой кавитации Рассмотрим осесимметричпое кавитационное о текание твердого тела произвольной формы.
Для схематизации течения в хвосте каверны примем обобщенную схему Рябушинского, согласно которой каверна замыкается на фиктивное тело (рнс. Н.14). При решении задачи необходимо найти форму каверны и распределение скоростей на поверхности тела, свободной от каверны 12). По аналогии с изложенным в 9 2 будем рассматривать обтекание комплекса тело — каверна как обтекание единого тела. Распределяя по поверхности единого тела вихревой слой и используя закон Био и Савара, можно составить два интегральных соотношения, связывающих форму контура мерндиональнога сечения тела с интенсивностью вихревых колец.
а Плессет )ч., Шеффер П. Кавитационное сопротивление плоских и пространственных тел. — )КПФ, 1949, т. 20, № !. Рнс, Ч.12. Первое (!) и пятое (2) приближение расчетов для функций т (х) и — (х). с(р с(х ° -т1л1; Π— — (л1. др дл Рис. Ч.13. Результаты численных расчетов.
и л и — — —; л= —. Рнси 1н'т ° — расчетные тесан. Π— анснериыентальные дайн не М. Плессета н П. Шеффера. О, а — длнвв н ШиРине вал' н верны При решении задачи примем прямоугольную систему координат хОу с началом, расположенным посредине длины тела на оси его симметрии. Положительные направления осей указаны на рис.
У.14. Будем искать скорость Уз, в некоторой точке Зх (к, у), вызванную продольным обтеканием тела потоком жидкости со скоростью У и вихревыми особенностями, расположенными на поверхности тела. Примем текущие координаты элементарной вихревой особенности в некоторой точке 5 — $, т1, Ь. Рис. Ъ'34. Осесимметричное каеитациониое обтекание твердого тела нроианольной формы (обобщенная схема Рябушинского). — - —.
— гранина каверны. Тогда вектор скорости Уз, в некоторой точке 5х получает следующий вид: Уз, =У +Уз,, (У.3.1) где Уз, — вектор скорости, вызванной вихревым слоем. Для составления уравнений примем вспомогательную прямоугольную систему координат Юга с началом в точке Ях поверхности тела так, чтобы ось Зггбыла касательна меридиональному сечению тела и направлена вниз по потоку, а ось Яхп перпендикулярна оси Ягг, как показано на рис. У.15, б. Составим выражения для нормальной и касательной составляющих скоростей Уз, и Ьзгь Предварительно обозначим угол между осью 5,1и направлением скорости У, совпадающим с осью Ох, через т. Тогда (У.3.1) перепишем так: Уз„н =У и+Уз,п; У„, =У„1+Уз,1, где и, 1 — единичные векторы в системе координат пЗхй Скалярные произведения векторов, входящие в (У.З.2), получают вид У п =- 1'„соз (1', п) =- У з1п т; У„1 = 1'„сои (1', 1) = У соз т, (Ч.З.З) 203 Скорость с11Сз„вызванная элементом вихревого кольца с(5 в точке 5с, находится на основании уравнения Био н Савара: тд их ив (Ч.3.4) в1 асс сСЗ 1 х р' 1 -)- с'с с($," с 2 2л Ъ'в,с =-)с совт+ — ( у(в) ( х (Ч.3.5) с о к )с' 1+ гс с($.
(ъс.3.6) Как следует из рис. 1с.15, радиус-вектор й связан с координатами~точки 5, (х, у) и точки 5 ($, т1) соотношениями: м =- (х — $)с+ (г совср — с;совср)) + + (г, в1п ср — с; в1п ср) 1с; (Ч.З.У) Р = (х — $)' + (г, + с;)' — Ь сг, 11 + сов (ср — ср)); й == (х — Е) + гс -1 гз — 2гсгв сов (ср — ср). (1с.3.8) Элемент 85 вихревого кольца: с(8 = г, сов ср с(ср) + г, в1п ср с(срй, (Ъ'.3.9) где 1, 1, к — единичные векторы — орты. Для преобразования числителей подынтегральных выражений в (У.З.5) — (Ъ".З.б) необходимо воспользоваться формулой смешанного векторного произведения, предварительно определив входящие в него проекции векторов Ки 6$ на координатные оси и направляющие косинусы.
Для преобразования знаменателей в (У.З.5) — (У.З.б) используется замена переменной по формуле ср — ср = и + 2сх (33). 205 где 11 — радиус-вектор, проведенный из точки 5, к элементу с(5 вихревого кольца; у — — неизвестная интенсивность вихревого кольца. Принимая во внимание, что на теле расположен вихревой слой переменной по длине интенсивности, представим выражения для нормальной и касательной составляющих скорости в точке 5, с учетом (Ч.З 4) в виде: (Ч.3.1О) Iгх [[»2 — (х — 2) г2+ гг [ Е (/г ) + — [~2 — (х — $) »2[ Х 2 2 х (ь (22) — ь'д (22)1 ~ , (1».3.12) А )~(х — $)2+(г, +г,)2 где Е (122), К ())2) — полные эллиптические интегралы 1 и П рода. ' Так как в рассматриваемом случае обтекания кривизна каверны в продольном направлении мала, то для упрощения задачи в дальнейн2ем положим Г[2 =- »2' ж О.
Кроме того, для облегчения расчетов в дальнейшем будем рассматривать безразмерные величины: скорости, отнесенные к )г, линейные координаты -- к половине длины единого тела 02. Для опредеиения неизвестной интенсивности вихрей у (с), входящих в (Ч.З.11) и (Ч.З.!2) по аналогии с изложенным в 2 2 этой главы воспользуемся двумя положениями: 1) условием не- Яоб Входящие в него проекции векторов Р и Ж на координатные оси находятся по формулам )~х — — (Х вЂ” $); Аа — — Г, ИП ф — Г, а(П гг; 1(, = — Г,созф+», сезар; гйх =- О, дЯ„=- Г, соз ~рг(гг; г(Я, == », з(п грйр. Окончательно после промежуточных преобразований получим следующие выражения. Нормальная составляющая скорости 2 [' .
Г)+.,' )г„з)пт+ ) т(Ц 1,г, х алг )/ ) ) .'2 2 2 )г [[ггг2+ »2»2+ [х — Ц) Е(А ) — 2 [»2г2+ (х--Ц)) 22 Х 2 ( г Х [д ()г2) — а'2К (А2)! 1 Х А')г (х — й) +(гг+»2)' д$. (1».3.11) Касательная составляющая скорости э (гз,г == $г Соат+, 7(хь),2 Х 2 протекания, т. е. равенством пулю суммы нормальных составляющих скоростей к контуру тело — каверна; 2) известным из гидро- механики положением о том, что в каждой точке замкнутого контура интенсивность вихревого слоя равна модулю касательной скорости течения в этой точке. В результате после преобразования (Ъ'.3.11) и (Ч.3.12) с учетом принятых допущений найдем: ! — — т т[К(й') Я! + Е (йг) Бг[ г(Е; (Ъ'.3.13) — ! у(х) = — — ~ ~~ [К(УР) йг+Е(Р) йг) !14+ сов(т, х), (Ч.3.14) — ! где ~ = [(х — ь)'+(~.+гг)Т" Я! = 2[гггг+ (х — $))'> 52 .=.
~,~ [ Й [гггг +. гУг + (х — ф)) 2 [гггг + (х — Е))]; 1 % = 2[(х — 5)гг — гг)' г!2 =- —,2 12 [Гг — (Х $)Г21 й [Г2 — (Х вЂ” $)гг+ГгЦ! 1 г йг 4ггг, (х $) +( +!2) !! . г2 Д сог 4! с05 2[! у (я) — значение вихревой интенсивности, отнесенное к величине скорости на бесконечности; т — угол между касательной к контуру меридионального сечения тела в точке с абсциссой х и вектором Ч ; х, у, 5, т[ — координаты фиксированной и произвольной точек контура меридионального сечения тела. Приведенные соотношения обычно используют для определения вызванных скоростей на контуре меридионального сечении твердого тела при его безотрывном обтекании. Выражение (Ч.3.13) есть линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода, а (У.З.14) — уравнение Фредгольма второго рода относительно вихревой интенсивности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
