В.В. Рождественский - Кавитация (1163223), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассматривая гармонические колебания профиля, представим потенциал ускорения и вызванные скорости в комплексной форме: Ф=Ф(х, у)ет ', и =о„(х,у)ете', о, — — йу(х, у)е!"', (1Ч.3.22) где Ф (х, у); о„(х, у); о„(х, у) — комплексные функции координат, не зависящие от времени. Тогда на основании (ТУ.1.4), (1Ч.1.2) и с учетом (Ту'.3.22) после дифференцирования по времени получим дч' )ту дуу — — = — о + —.
дх У У дх (ж.3.23) Исходя из граничного условии (1Ч.3.2) найдем, что прн х = = — оо вызванная скорость и = О. Решая затем уравнение (1Ч.З.23) относительно оу на смоченной части профиля найдем п,(х, у, 1) =- — е — Ф' ° ~ еФ вЂ” йх, (1Ч.3.24) где пу, (х, у, 1) — вертикальная составляющая скорости точки профиля, имеющей абсциссу; ху =- х/Ь; я = (тей)/'у' . Формула (1Ч.3.24) справедлива для любой точки профиля и не зависит от пути интегрирования.
Для носика профиля х, = 0 после интегрирования (1Ч.3.24) по частям с учетом (1Ч.35) получим: о о„, (О, О, 1) = — с(1)+ )А ) еФ*ту(х, 1) т)х, (1Ч.З.25) где о„(О, О, 1) и Ч" (х, 1) определяются законом колебания про- филя и его формой. Функцию 1х" (х, 1) находим из общего решения задачи (1Ч.З.О) в предположении, что длина каверны велика. 184 Подставляя (1Ч.3.9) в (1Ч.3.25) и полагая, что длина каверны велика, а амплитуды колебаний малы, после ряда преобразований получим: о с Я = — „(9, О, () +!И 1 з! " х — Ф 4с , 1ш )"(ь — ьс)(ь+ВА) 1 Ч" (т г) ™,(х л1 ') )/(т зс) (т+$А) (т $) 1 -Вл Здесь на основании приведенных выше допущений принято 5с —— = Еп — — оо. В случае установившегося движения полученные выше решения совпадазтг с решением стационарной задачи, изложенной в $ 1 гл.
111. Глава Ъ' ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ й 1. Применение метода конечных разностей (метода сеток) В связи с широким использованием ЗВл1 для приближенных вычислений появилась возможность решить ряд задач о каипационных течениях, не имеющих аналитических решений. Одним из численных методов, применяемых при расчете кавитационных течений, является метод конечных разностей. Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим осесимметричное кавитационное обтекание тела по схеме с зеркалом в потоке, ограниченном твердыми стенками (рис. У.1, а) 175).
Примем цилиндрическую систему координат (х, г), тогда функция тока ф и потенциал скорости ~р будут связаны соотношениями — = — — = )г ", — = — — — = )г, (У.1.1) де 1 д$ „де 1 дЕ дх г дг "' дг г дх где $г„, (г, — проекции вектора скорости У на осях х и г соответ- ственйо. Йаправление вектора скорости составляет угол В с осью г. Удобно рассматривать задачу в безразмерном виде. Введем атно- сительные величины: х., 2У х= —; У= —; гг э у ,р Ф.
ф тн тэ (Ъ'.1.2) где )г — скорость однородного потока; ф„ — функция тока на границе АВ (рис. У.1, а); <р, — разность йотенциалов между точками Е и Р. Тогда физическая плотность течения преобразуется так, как указано на рис. У.1, б. 186 1 дФ 1 дчг 1 и где а = — У вЂ”. Так как функция тока равна объемному 2 ~ра расходу жидкости, то фа= — Н'У, 1 Обычно при решении задачи основываются на уравнениях, в которых функции «р и тр связаны с независимыми переменными х, д тр=! е В=! В тр Рис. У.1. Осесимметричное кавитапионное обтекание тела в потоке, ограниченном твердыми стенками: а — фиаическан плосиость течения; д— транорормированная плоскость. —. —. — наоскость свмметркн; т — стенка трубы (Е = ч 1". т — смочеввав н' вовервнссть. Ю вЂ” точка отрыва; и — нратнческан точка.
г. Однако в этом случае возникают определенные трудности при построении сетки вблизи криволинейных границ. Здесь рассмотрим новую форму уравнений, в которых роли (ер, тр) и (х, «) меняются. На основании (У.1.1) легко получить соотношение йр деР дер дтР дк дг дг дк ( " + дифференцирование по ер, тр, г!га После подстановки (Ч.1.2) в (Ъ'.1.1) найдем: 1 дФ 1 д'вг дл' г' дг' Затем, определив х и г и выполнив их после преобразований получим: деР др дк дг . дл дг . дг ды гУв ' деР ту в ' евр др дг дл деР тра * (У.1.4) !87 Сопоставляя затем первое и четвертое, второе и третье выражения (1/.1.4) и учитывая (Ъ'.1.1), находим, что дх дг дх ! дг д~р д$ ' д~> г Йр ' Следуя работе 175), обозначим д =- (г')" и /' =- у'/х. После подстановки новых обозначений в выражения (1/.1.5), найдем: дх' 1 дя 1/„' дФ 2 дЧ Г~ ' дх .
~1/2 2я//з дФ ~ дЧ' )г'х ' (Ч.1.6) Из математики известно, что /(Ф = 1пд(Ф) д (Ф) я'(Ф) д)пд(Ф) (У.1.7) х (Ф) дФ где д'(Ф) =+. дя Продифференцируем первое из выражений (Ч,1.6) по Ч', а второе по Ф: дхх' 1 дхд и д~д па дхх' и дФдЧ' 2 дчгх ' у~1/з дФх " дЧдФ д~х' Исключая в этих уравнениях члены —, получим: дФдЧ' сР дхд(Ф) дхд(Ф) д(Ф) дФх + или Подставляя (1/.1.7) в (Ч.1.8), напишем: х дх1пя дхя а' дПЯ дчгх + — = — О. (Ч.1.9) Переходя к безразмерным величинам (Ъ'.1.
2) и опуская промежуточные выкладки, получим: дх', дг' )/х . дг', дх' Рг а — = г' — = —,; а — = — г' — = —, . (х/.1.5) дФ дф )/'х ' дФ дЧ' )/'х ' Зная решение уравнения (Ъ'.1.9) д(Ф, Ч"), по приведенным ниже выражениям легко найти значения 1'„, Ъ, Г, 0 н х' в любой точке. Получим формулы для определения этих величин. Возведем в квадрат выражения (Ъ'.1.6) н сложим нх левые и правые части: Из (Ъ'.1.10) можно определить Ъ", К„' и Ф"„'. Рис.
Ъ.2. Графическое представление метода конечных разностей: а — злемеиты сетки; б — представление произаоднык через конечные разности. Разделив левую часть второго выражения (Ът.1.6) на левую часть первого выражения (Ъ'.1.6), найдем формулу для определения 0: дд а —, 1ц0= ~~ да а!д И уа дЧ (Ът.1.1 Ц Составив выражение для полного дифференциала 1(х' = — — дФ вЂ” — — Юр, 1 дд а дд 2о дЧ 2о дФ (Ъ'.1.12) найдем абсцнссу х' путем интегрирования (Ът.1.12). Согласно методу конечных разностей (методу сеток) плоскость течения разбивается взаимно перпендикулярными параллельными линиями иа прямоугольники (ячейки).
Угловые точки каждого прямоугольника называются узлами. В рассматриваемой плоскости течения (Ф, Ч") обозначено: расстояние между параллельными вертикальными линиями сетки п, а расстояние между горизонтальными линиями т (рис. Ъ'.2). Смысл метода конечных разностей состоит в том, что при малых значениях п н и производные искомой функции в какой-либо 189 точке вычисляют приближенно, как разности значений функции в соседних (сверху и снизу, слева и справа) точках, отнесенные к соответствующим приращениям аргумента — центральные разности. Пусть функция 1(х) представлена на рис.
чг.2, 6. В соответствии с 1561 выразим ее первую и вторую производные через центральные разности: ( и, )„== '~,л„, ' ( —,,з ) = з (6т-2Ре+У т) где 1„1, — значения функций в точках хе+ Лх, соответственно. ~ю ~х +г)рг= чге-ус)й, ФУ' Рис. ч'.3. Разбивка трансформированной физической плосно- сти на ячейки и граничные условия. ае — чя Г "и +4" чЪ !а~ кл — и", ~ (гег — и)' + чсРчгл ! В соответствии с 175) выразим частные производные, входящие в (Ч.1.9), через центральные разиостн.
В качестве примера рассмотрим точку с индексом О (рис. Ъ'.3): ( — "), = —,'. (а. — а.); ( —.).-= д~з ) е = — глз (Из+ Иа — 22е) (Ч.)ЛЗ) — ) = — (1пда — 1пйа); ( д1пя ч ! дФ е ки ( б',зк ) = —, (!и из+ 1и дз — 2 1п ие). Подставим второе и четвертое условие (Ъ'.1.13) в уравнение (Ч.1,9). В результате получим: а~ 1 — „, (1п й', +!и дз — 2!п а0) + — „, (й' + й~ — 220) =- О. После преобразований найдем: сР— „, 1п -йф + й'я + й» вЂ” 2йа = О. (Ъ'.1.14) Обозначая левую часть (У.1.14) через Х„легко определить так называемые коэффициенты влияния: м (Ч.1 15) где И~ а = й'э + Йа' йь з = ЙЮа.
Уравнения (7.1.14) составляют для каждого узла. При решении задачи необходнмо выписать столько уравнений типа (Ч.1.14), сколько внутренних точек (узлов) содержит рассматриваемая область изменения переменных Ф и Ч", разделенная сеткой. Присоединяя к этим выражениям еще зависимости, полученные при удовлетворении граничным условиям, можно записать систему алгебраических уравнений, определяющую значения искомой функции в узлах сетки. Таким образом, в случае применения метода конечных разностей интегрирование системы дифференциальных уравнений сводится к решению системы алгебраических уравнений. Точность решения зависит от размеров сетки: чем гуще сетка, тем точнее решение.
Однако полученные выше уравнения нелинейны, и поэтому их решение можно получить методом итерации (последовательных приближений) Гаусса — Зейделя, смысл которого состоит в следующем. В начале процесса итерации задаются значениями д во всех узлах сетки. Затем, обозначая индексом ( значения в узле после 1-й итерации, мы повторяем операцию для каждой точки по формуле Фо = — ке+ы( — Хо)/(~,') ~ где Х, — частное значение левай части уравнения (7.1.14) в какой-либо момент итерационного процесса; в — выбранный фактор релаксации.
191 Для составления системы алгебраических уравнений предположим, что плоп1адь прямоугольника иа безразмерной физической плоскости (Ч', Ф) разбита на а-Ь ячейки, причем по вертикали (в столбце) есть а ячеек, а по горизонтали (в строчке) Ь ячеек. Тогда общее число узловых точек равно Ь=(а+1) х Х (Ь+1). Нумерации узловых точек принята в соответствии со схемой на рис. Ъ'.3. галерна Е Е Аисн Свара Рнс. Ч.4. К выводу граничных условий.
Принимая центральную точку прямоугольника за исходную, составим систему алгебраических уравнений: 1) точка д а' — 1п ~'~' + Ев -1- нв — ив —— О; и' нй 2) точка 1 св в 1п —,+йЪ 1-Ев — 23х=О; в ~~ ввЫо Й 3) точка 2 Я вЂ” 1п — + Иго+ Ео — 2дв = 0' в ~ явяв ов к1 (У.1.16) 4) точка 3 в — ", 1п "й" -) д,+Е,— 2у,=а йв и т. д. Рассмотрим теперь значении функции д' на границах области АВСЕ1ЕЕА плоскости (Ф, Ч'): на стенке АВ г'= —.=1 и д = " =1; Н (У.1.17) на оси симметрии потока х на участке ЕЕ г' =- О н хг = О. (Ч.1.18) На участке ЮЕ, соответствующем смоченной поверхности тела, граничные условия зависят от его формы. Рассмотрим два тела: диск и сферу (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
