А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Функция же тока удовлетворяет уравнению дзф дзф дф ~.,-+ д- —,— О, (5,1) которое записано в цилиндрической системе координат [39]. Здесь координатная ось х параллельна вектору скорости набегающего потока, совпадающему по направлению с осью симметрии течения, г — расстояние по нормали к оси х произвольной точки поля течения. Компоненты скорости связаны с Ч! соотношениями и= — — — в=— 1 дф 1 дф (5.2) г дг ' г дх ' где интеграл вычисляется по поверхности вихревого слоя Я, )т— расстояние между произвольно выбранной точкой в области течения, определяемой цилиндрическими координатами х, г, 6 и точкой на поверхности вихревого слоя, определяемой координатами с, гь В~ (рис.
99). Выражение для потенциала слоя ист зчнпков может быть записано в виде (5.5) — — с(м-)-со аз(. Рис. 99. Система координат длн осесимметричного течения Функция тока и потенциал пространственного плоскопараллельного потока, соответственно, будут иметь вид р = — га)21,р х (5.6) В формулах (5.6) значение скорости на бесконечности принято равным единице. й 29. Интеграаьные уравнения осесимметричной задачи обтекания тен идеальной жидкостью Так же как в плоском случае, располагая на поверхности тела вращения слои особенностей и удовлетворяя граничному условию непроницаемости поверхности, можно получить уравнения, связывающие между собою интенсивность (плотность) слоя и координаты точек меридионального сечения тела.
При рассмотрении обтекания замкнутых поверхностей вращения здесь также имеет место равенство вихревой интенсивности скорости, касательной к меридиональному сечению тела. Используя различные формы записи граничного условия непроницаемости и выражения (5.4), (5.5) и (5.6), можно получить четыре типа уравнений, связывающих форму тела с плотностью слоя особенностей. Пользуясь свойством функции тока, согласно которому на поверхности тела оно сохраняет постоян- ное значение, можно написать т (х, г1)+г1/2=0, (5.7) где в левой части стоит суммарная функция тока (5.4) и (5.6) вихревого слоя и невозмущенного потока; г1 — отстояние по нормали к оси х точки контура меридионального сечения тела, определяемой абсциссой х. Поскольку на поверхности тела нормальная компонента суммарной скорости, вызванной слоем особенностей и невозмущенным набегающим потоком, обращается в нуль, можно, пользуясь уравнениями (5.4), (5.5) 'и (5.6), составить еще два урав- нения + (~, )=-О, (5.8) где т — касательная к контуру в точке с координатами (х, у); (а, х) †уг между нормалью к контуру меридионального сечения тела и осью х — — + — +соз1а, х)=0, дт ~у ( 1 дп 2 (5,9) где д — погонная интенсивность источников.
При выводе формулы (5,9) учтено наличие скачка нормальной скорости при переходе через поверхность слоя источников. При составлении четвертого уравнения учитывается равенство в точках поверхности тела вихревой интенсивности и величины суммарной касательной скорости, а также наличие скачка касательной скорости при переходе через поверхность вихревого слоя дф гдп 2 — — +сов(:, х)= — О, (5ПО) 127 где у — погонная интенсивность вихрей вихревого слоя; (т, х)— угол между касательной к контуру меридионального сечения тела и осью х.
Вследствие осевой симметрии функции 7(а) и (,1 (а) в уравнениях (5.4) и (5.5) не будут зависеть от угловой координаты. Если интегрирование по поверхности заменить последовательным интегрированием по углу и дуге меридионального сечения тела, то первый интеграл можно вычислить в конечном виде. Тогда выражение (5.7) можно записать в декартовой системе координат (рис.
100), а интегрирование вести по верхней половине контура меридионального сечения тела и каверны ус(з) — — ~ т(з!)Рг(з, з!) ((2 — А) К (й) — 2Е (й)! ай!=О, (5.11) ! о = ~ ЛгйгЕ (й)+КК(А)) ~у (з!) сЬг1 4 ~ г 3 (ЙЬЕ (~)+/!4К (й)) 1(з!) г~з! от= 4 ~ Л РнЕ(й)+/Ж(й))т(з Изг, 1 (5,13) (5.14) (5,15) где И'=4ут1/р!', й =1 — А'1 р, =(!+/',; Гг=(х — 1); г,=у+ей Л=(х — $) вт/ргй'; у,='и'/рг; Ми=1/Р!' Л=6 х)/Р!' Лг=(У ч)/Й вЂ” Ю Яс 2т1. /тга у (1/и + 1) и) (5/й '+1/Агй '). Яя = — 2у' гги=-1+1//е' ' Де=2.
Таким образом, формулы (5.8), (5.9) и (5.10) являются интегральными уравнениями, ядра которых могут быть легко скомпонованы из равенств (5.12) — (5.15). 128 ГдЕ Р,=-Гг+1„1г=--(Х вЂ” $); г,=у+ей Ф =-4уЧ/Р,; у, 4— 2 2. . . 2 с, ординаты фиксированной и текущей точек контура меридионального сечения тела и каверны; К(й), Е(Ф) — полные эллиптические интегралы второго и первого рода, соответственно. Поскольку в левых частях уравнений (5.8), (5.9) и (5.10) стоят производные от функции тока и потенции ала скоростей, равные норРис. 100, Меридионнльное сечение осе- мальной и касательной комсимметричного тела нонентам скоростей, вы- званных слоями особенностей, они могут быть легко выражены через составляющие скоростей по осям х и у, исходя из простых геометрических соображений. Ниже приведены выражения для указанных составляющих, записанные в декартовой системе координат: и, = — ~ У' гЕ (й) д (з!) г(з,; (5,12) Соотношения (5.7) — (5,10) можно рассматривать как интегральные уравнения смешанного типа для определения кавитационного осесимметричного течения.
Для этой цели их можно применять как по отдельности, так и в комбинации. Так, Л. Г. Гузевский [20] использовал комбинацию уравнений (5.7) и (5.8) для решения задачи о кавитационном течении по схеме Рябушинского (с зеркалом). Удовлетворяя уравнениям (5.7) и (5.8) в конечном числе контрольных точек, Л. Г. Гузевский аппроксимировал их системой трансцендентных уравнений, которые решал методом последовательных приближений, в результате чего определил значения вихревой интенсивности и координат границы каверны в контрольных точках.
Ниже в $ 31 приведен метод последовательных приближений, основанный, как и в случае плоского кавитационного течения, на последовательном решении на каждом шаге приближений прямой и обратной задач. Предварительно в 5 30 рассмотрен имеющий принципиальное значение вопрос о форме границы меридионального сечения каверны вблизи точки отрыва.
й 30. Форма границы каверны вблизи точки ее отрыва от тела При исследовании формы границы каверны вблизи точки отрыва от тела использован прием, аналогичный приведенному в работе [8]. Для этой цели удобно использовать уравнение (5.8), в котором нормальная компонента вызванной вихревым слоем скорости может быть представлена в виде — =ит соз ~п, х/+от соз ~п, Я=и И~+и и =— лу ~ т (кз) [ Е(й)(1+а') [(к — х) — у'(у — Ч)] 4ку Ю пз + + ( зчУ +К(й) [2(1 — х) — 2уу'] Из,. (5.16) Если выбрать дугу контура меридионального сечения тела и ка- верны вблизи точки отрыва (х — е, х+а) такой, чтобы е/9) к,1, а также принять у' ограниченным по модулю, то можно сделать следующие оценки: п сЬ=1+0(е); р,=2у+0(к); 1+й' —.1+0(99)', Я (й) = )+О ( ); К (й) = 1п 9+0 ( ' ), Тогда для интеграла от третьего слагаемого подынтегральной функции (5.16) будет иметь место оценка к+ а К (й) [2 (1 — х) — 2уу'] дз, = 91п к, К-з Р1 9 Заказ № не для интеграла от второго слагаемого— к-(- а 4т (а!) чу'е(а) пк! р!ы О (з).
Интеграл от первого слагаемого можно оценить следующим образом, предварительно несколько преобразовав подынтегральную функцию к+ а (к ) а(! + ааз)Е (Ц [(а — к) — у ( — ч))а(к р! [(! — х)з (- (у ч)21 к+а т (к!) [1 + О (а)] 1! + у' + О (а)] [1 + О (а2)1 Л (х — а) ]1 + у' + О (а)] — [1+О (е)]. к — а С учетом приведенных оценок, уравнение (5.8) в окрестности точки отрыва каверны можно представить в виде к (-а — =у'+7к, (х)+О (а)+О (а 1п з), (5.17) где Р!(х) — непрерывная функция, имеющая на концах логарифмическую особенность порядка 1п]е] и обусловленная индукцией вихревого слоя, расположенного вне выделенного участка поверхности. Уравнение (5.17) по форме совпадает с уравнением (2.23), следовательно, форма границы каверны осесимметричного кавитационного течения вблизи точки отрыва имеет все особенности, присущие границе каверны плоского течения (см.
5 16). $' Зт. Кввитвционное обтекание теп безграничным потоком При построении границы осесимметричной каверны сначала задают пробную границу меридионального сечения каверны и замыкающего тела, и ищут распределение скоростей по составному контуру (прямая задача), включающему часть контура меридионального сечения тела, свободную от кавитации, границу сечения каверны и замыкающего тела.
Информация, полученная в результате решения прямой задачи, служит исходной для решения обратной задачи, заключающейся в определении величины деформации пробной границы каверны, приводящей к выравниванию скоростей в ее пределах. Посколькуобратнуюзадачу решают приближенно, вновь решают прямую задачу, позво- !ЗО ляющую найти распределение скоростей на «исправленной» границе каверны, в принципе, с любой степенью точности. После этого определяют деформацию границы следующего приближения и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
