А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 24
Текст из файла (страница 24)
95, а приведена схема обтекания профиля при наличии каверны (физическая плоскость а=х+(у), а на рис. 95, б — течения на вспомогательной плоскости ~ = $+(ть на которой контуру профиля соответствует окружность единичного радиуса, а границе каверны некоторая линия между точками а~ и Ьь Из приведенного рисунка прослеживается также соответствие характерных точек обеих плоскостей.
В физической плоскости между точками а и Ь на контуре профиля располагается система источников, эквивалентная каверне, Ее интенсивность связана с формой каверны соотношением (3.7). Образ источников в плоскости ь будет расположен на дуге окружности между точками а, и Ьь Пользуясь формулой (3.7), а также известной формулой связи между скоростями потока в точках физической и вспомогательной плоскостей, нетрудно установить соответствие между интенсивностью отображенных в плоскости ~ источников и координатами образа границы каверны в этой плоскости 118 Ч (В) =2по ~ (4.36) где ~ — ~ — значение модуля производной функции, с помощью ггл иь которой область вне круга единичного радиуса конформно отображается на физическую область вне контура профиля; е(г/Ж— тангенс угла наклона между касательными к границе образа каверны в плоскости ~ и окружностью;  — угловая координата точек в плоскости круга, отсчитываемая от отрицательного направления оси й по часовой стрелке.
Рис. 95. Схема обтекания профиля а физической и вспомогательной плоскостях В формуле (4.36) произведение ое~ — ~ равно скорости на лл ггь границе образа каверны в плоскости круга. Указанная скорость равна сумме скоростей обтекания окружности в отсутствие циркуляции по контуру, охватывающему профиль и каверну, скоростей, вызванных системой источников, соответствующих каверне, и скоростей, обусловленных циркуляцией Г, которую необходимо наложить для удовлетворения постулата Чаплыгина — Жу.
ковского о конечности скоростей в окрестности угловой хвостовой точки профиля, Обозначая упомянутую сумму скоростей через о, можно получить интегральное уравнение„связывающее между собою интенсивность источников и распределение скоростей по некавитирующему профилю (4.37) 119 где е, о=2п з1п(В+а)+ — ) д(р) с1п г6~+ —,; (4.38) 1 и.т г 9, 6~ 2 0' 2 1 ) (т) й 2 Г . 1 (4.39) э, Если считать заданным положение точки замыкания каверны Вь то в интегральном уравнении (4,37), в общем случае, будут неизвестны параметры са и Оь Для определения первого параметра можно использовать условие замкнутости каверны, согласно которому суммарная интенсивность источников должна равняться нулю ~ д (т) (т о.
(4.43) В случае гладкого отрыва каверны параметр 8Ь можно найти нз условия Бриллюэна — Вилля, согласно которому и (67 ли (4. 41)  — <р  — ~р 0 ( ~п функция с1п может 2 2 аппроксимирована двумя первыми чле- В диапазоне изменения быть достаточно точно нами степенного ряда е — т с1я-— 2 2 6 — т + (4.42) 120 а — угол атаки профиля, отсчитываемый от угла нулевой подьемной силы некавитирующего профиля (за положительное значение а принято то его значение, которое приводит к возникновению подъемной силы на профиле, направленной вверх параллельно оси у; Вь Вз — угловые координаты точек схода и замыкания каверны, соответственно. Первый член правой части уравнения (4.38) соответствует бесциркуляционному обтеканию круга невозмущенным потоком, составляющим угол а с осью $, второй член — значению скоростей в точках окружности, обусловленных наличием источников, третий член — течению в точках окружности, обусловленному наличием в ее центре вихря с циркуляцией Г.
Величину циркуляции Г можно легко вычислить с помощью постулата Чаплыгина — Жуковского, согласно которому суммарная скорость п в точке 6 = и, соответствующей задней угловой точке профиля С, должна равняться нулю. Полагая в формуле (4.38) 6= и и приравнивая правую ее часть нулю, можно получить На рис. 96 точные значения котангенса изображены сплошной линией, а значения, соответствующие двум первым членам ряда (4.42),— пунктиром, Бифры на оси ординат рис. 96 соот. ветствуют левой и правой частям уравнения (4.42).
Используя аппроксима- и цию (4,42), интегральное '~Р г уравнение (4.37) можно представить в следующем виде в~ ч1(т) нт й (у) в-- т (4. 43) где 41= "Ю й (1)), оо — 2 (з! и (6+ и) + з1ц а ) + А; в, 0 Яв т. А= — „~ 4~(р) Х Х(1й 2 — б )сйр — постоянная величина. Решение (4.43) может быть найдено в той же форме, что и. решение (4,31), Рис. 96. Точные и приближенные значее — т ния функции с1и в, Ч1 (е)) = — „)/ „~ ~ )У ~ в ° ( т) т .
(4.44) в, После несложных вычислений выражениедля 41(6) можнопред- ставить в виде в2 2 з1п а — А+й1 (())+ в, аг ~ во ~ ~/ в2 — т ( — ит ио т — и1 т — в сч В| (4.45) где в, в, обращению в нуль выражения, заключенного в квадратные скобки и стоящего в правой части уравнения (4,47), для значения О' = — 1. Зазор между границей каверны и контуром профиля можно определить по формуле в' (вз — н~) о У вЂ” 2., ~ ~?~(9)~йг . (4.49) Пользуясь выражением (4.39) для циркуляции вокруг кавити- рующего профиля, легко определить отношение коэффициента подъемной силы кавитирующего профиля к соответствующему коэффициенту в отсутствие кавитации С А~ =!в С 2маа Уа (4,50) где А= 2 ~ь(~г)15(, т+ 4 )ат ° Распределение скоростей на контуре профиля может быть вы- числено с помощью формулы ' 1Ф' (4.51) 12З где о вычисляется по формулам (4.38) и (4.39), в уравнении (4.38) угол 9 принимает все значения на окружности в интервале Й ~ йм скорость же в точках границы каверны считается постоянной, равной пр.
Определение постоянных А и А~ в приведенных выше формулах, учитывающих обратное влияние каверны на подъемную силу, в принципе, требует последовательных приближений. Однако практически этого делать не нужно, так как подстановка в выражения для А и А~ функции д~(у'), вычисленной без учета указанного влияния, дает вполне удовлетворительные результаты.
На рис. 97 дана зависимость относительной длины каверны 1 от параметра зйпа/о, пропорционального обратному значению числа кавитации, для трех значений угла атаки. Кривая, соответствующая а-+.0', совпадает с кривой линейной теории [67]. Для углов атаки 5 и 10' кривые существенно отличаются от упомянутой кривой.
Нанесенные на рис. 97 крестиками результаты расчетов по точной теории [541 для а=10' свидетельствуют о том, что приведенные выше расчетные зависимости учитывают в существенной степени нелинейные эффекты в задаче о кавитационном обтекании профилей. Как уже говорилось выше, результаты расчетов по приведенным выше формулам н по точной теории для а = 2' практически совпадают, г /с„ ! д5 1 Рис.
ЯЗ. Зависимость Ст/Сга Ллн плоской пластинки от относительной длины каверны при а — ьо 0 дро «ьп а/и 1аис, 97. Зависимость или плоской пластинки относительное длины каверны Тот параметра а!и а/о На рис. 98 приведена зависимость Си/Си, от относительной длины каверны при а-ь0. ГЛАВА и' ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КАВИТАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ Применение метода интегральных уравнений при решении осесимметричных кавитационных задач позволяет, точно так же, как в плоских задачах, свести процедуру расчета к последовательным приближениям, на каждом шаге которых решаются прямая и обратная задачи.
Для численного решения прямой задачи можно использовать интегральные уравнения, аналогичные уравнениям (2.13), (2.14) и (2.16), или же другие, при выводе которых использованы не вихревые слои, а слои источников или диполей, Для решения обратной задачи сохраняются все уравнения, использованные в плоской задаче (4.7) †(4.10) при некотором изменении смысла входящей в них функции о1(з). Схемы чис- 124 ленного решения прямой и обратной задач остаются точно такими же, как для случая плоского симметричного кавитационного течения.
Ввиду почти полной аналогии между решением осесимметричной и плоской симметричной задач, изложение материала этой главы будет иметь конспективный характер, с необходимыми ссылками на результаты, полученные при решении плоской задачи, которые были рассмотрены ранее достаточно подробно. я 23. Некоторые сведения из кинематики осесимметричных течений идеакьной жидкости а с потенциалом скорости соотношениями дт дт дг (5.3) где и — составляющая параллельная оси х! о — радиальная составляющая.
Аналогом прямолинейной вихревой нити (плоского вихря) в осесимметричном течении является круговое вихревое кольцо, а аналогом плоского источника — кольцо источников. При использовании метода интегральных уравнений для решения осесимметричной кавитационной задачи играют существенную роль вихревые слои и слои источников, расположенные на поверхностях вращения. Они обладают теми же свойствами, что и плоские слои, рассмотренные в $ 13. Так, например, при переходе через слои вихрей имеет место скачок касательной к слою скорости, равный у, а при переходе через слой источников — нормальной, равный д. Выражение для функции тока вихревого слоя может быть записано в виде ф (х, г)= — 4 ~ ) т (е) ое+сопз1, (5.4) 125 Так же как в плоском симметричном кавитационном течении в осесимметричном безвихревом течении идеальной жидкости существует потенциал скорости, который удовлетворяет уравнению Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
