А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(4.23) Формулы (4.21) и (4.22) могут быть использованы при назначении величины пределов интегрирования. 90 Б= . -, ! 2-+агс(~-'/2~- +агсЦ и/2 И/2 — уз И/2+ уа В1 — х В~ — х агс(И и/2 у, аг~(К и/2 4 у, + + Уа [(И/2 — уа)з+ (А| — х)з[ [(И/2+ уз)з+ (В1 — х)~) (4 2()) 2 [(И/ + уз)з + (А| — х)з) [(И/2 — уз)з + (В| — х)з) где А1» х » Вь Функцию /1 (х) следует подставлять в левую часть первого уравнения (4.17), а ~з(х) — второго уравнения. Прн производстве расчетов целесообразно отрезки А~В и СВ1 брать достаточно большими И И И [А1 — В [ « ' [В1 — С[ < ' [А1 — Р[ И ~В В[ « В этом случае для /1(х) будет иметь место оценка О И г 1 + бесконечно малая 2х )/ 1+ у1 величина второго порядка).
(4.21) Функция )д(х) для В =х ( С имеет такую же оценку ч И ./з(х) †- " , ( — + бесконечно малая 2х 1+ уз Если абсолютные значения А1 и Вт брать такими, чтобьг можно было пренебречь правыми частями условий (4.21) и (4.22), то в левую часть первого уравнения системы (4.17), записанной с конечными пределами интегрирования, добавлять ничего не нужно„ а во второе уравнение следует добавить правую часть условия (4.23). При этом вблизи точек А1 и В| функция у (х) будет изменяться очень медленно, а на остальной части трубы, где сечение остается постоянным, — весьма плавно. Вследствие этого при численном интегрировании отрезки аппроксимации функции у в интервалах А1 ( х < В и С ( х ( В1 могут быть взяты большой величины, что приведет к сокращению числа алгебраических уравнений, аппроксимирующих систему (4.17) .
Для расчета кавитационного обтекания тела в трубе в общем случае следует использовать обобщенную схему Рябушинского. Схемы же Жуковского — Рошко и схему Рябушинского с «зеркалом» по вполне очевидным соображениям можно применять только тогда, когда продольное сечение канала представляет собою две параллельные линии. Выбор системы (4.17) для решения прямой задачи не следует рассматривать в качестве настоятельной рекомендации. Вполне может оказаться, что не менее удобной для численных расчетов будет другая система, основанная, например, на размещении на стенках трубы слоя источников и т. и.
$23. Мавитационное обтекание профилей крыльев (схема с центральной симметрией и схема Жуковского — Решке] Расчетная схема при определении. кавитационного обтекания профилей крыльев в своей основе остается такой же, что и схема расчета в случае симметричного кавитационного течения. Некоторое отличие наблюдается только в связи с необходимостью обеспечения равенства скоростей на верхней и нижней частях границы каверны (в случае симметричного течения равенство обеспечивается автоматически). Для удовлетворения этому требованию в задачу вводят, в общем случае, дополнительный параметр, величина которого определяется из условия равенства скорости на обеих частях границы каверны.
На рис. 65 изображена одна из разновидностей обобщенной схемы Рябушинского (схема с центральной симметрией) 154), в которой форму и размеры замыкающего контура можно задать заранее. В этом случае замыкающий контур соответствует контуру сечения тела, повернутому на 180' вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости рисунка. На рис. 55 пробная граница каверны изображена тонкой пунктирной линией, а истинная — тонкой сплошной.
Расчет производят так же, как в случае симметричного течения путем последовательных приближений, на каждом шаге 91 которых решают последовательно прямую и обратную задачи. Прямую задачу решают каждый раз с соблюдением условия отсутствия циркуляции вокруг составного контура. Из условия центральной симметрии очевидно„что обратную задачу следует решать только для одной из границ каверны — верхней или нижней. В общем случае при решении обратной задачи в качестве расчетных могут быть использованы формулы (4.7), (4.8) и (4.10). Условие замкнутости (4.9) должно удовлетворяться автоматически.
В случае гладкого отрыва каверны с верхней и нижней частей контура сечения тела (например, профиля в форме эллиптического цилиндра), для определения точки от- Рнс. 65. Схема с центральной снмметрней рыва каверны от нижней стороны контура следует к формуле (4.10) присовокупить аналогичную, полученную из уравнения (4.10) путем перемены местами координат а и Ь. Расчеты кавитационного обтекания с использованием схемы Жуковского — Рошко производят также аналогично расчетам в случае симметричного течения.
При этом обратную задачу реша1от отдельно для верхней и нижней частей границы каверны. Сначала задают форму пробной границы каверны и положение замыкающих пластин в соответствии с рекомендациями, содержащимися в 5 20, 21 (на рис. 66 пробные границы каверны изображены тонкой пунктирной линией, а истинные — сплошной). Далее решают прямую задачу, после чего задают абсциссу конца верхней или нижней части границы каверны, и для этой части границы решают обратную задачу. При решении обратной задачи для противоположной части границы каверны абсциссу ее конца произвольно назначать нельзя. Ее выбирают с таким расчетом, чтобы скорости на обеих границах каверны были одинаковыми. Этого легко добиться, используя формулу (4.8), путем изменения в ней верхнего предела, подбирая его величину таким образом, чтобы значение ое совпало с величиной скорости на противоположной границе каверны.
Следующие шаги вычислений производят аналогично. Таким образом, процедура вычислений для каждой части границы каверны ничем не отличается от процедуры, описанной в 9 20, поэтому здесь она приводиться не будет. 92 Единственно, на что следует обратить внимание, так это на решение прямой задачи. Здесь, так же, как и в случае замкнутых контуров конечных размеров, имеет место неединственность решения, связанная с возможностью изменения циркуляции. В данном случае ее легко изменять, например, путем изменения положения критической точки на профиле. Однако с практической точки зрения целесообразно вместо этого задавать положение точек на верхней и нижней замыкающих пластинах, в которых считать вихревую интенсивность одинаковой. Если эти точки задавать на достаточно большом расстоянии от а1 и ав (рис.
66) на одной вертикали, то будет обеспечена однозначность решения прямой задачи, аналогично тому, как это происходит при при- д, да Рис. бб. Схема Жуковского — Рошко менении постулата Чаплыгина — Жуковского для профилей с острой задней кромкой. Расчеты, связанные с решением прямой задачи в схеме Жуковского — Рошко, не осложняются существенным образом вследствие того, что контур, на котором определяется функция т(з), уходит в бесконечность. В точках замыкающих пластин, находящихся на достаточном расстоянии от концов границы каверны, вихревая интенсивность может быть принята постоянной, равной о .
В этом случае скорости, индуцированные бесконечными частями пластин, на которых скорость принята равной о , могут быть вычислены в виде аналитических выражений. При этом остаются справедливыми оценки, приведенные при рассмотрении симметричного кавитационного течения в трубе (см, э 22), а также вид функции ~з(х), которую следует добавить в уравнение прямой задачи, решаемой теперь уже для контура конечной протяженности.
Как было сказано выше, при использовании схемы Жуковского — Рошко равенства скоростей на обеих границах каверны можно добиться путем соответствующего подбора координат концов каверны д1 и Ьь Однако это можно сделать и при заданных заранее значениях указанных координат за счет подбора 93 соответствующего значения циркуляции. Поскольку различным значениям циркуляции соответствуют различные положения критической точки на профиле, становится ясным практический путь подбора циркуляции. Для заданного составного контура решают прямую задачу. Для ее определенности можно воспользоваться приведенной выше рекомендацией по выбору на замыкающих пластинах точек, в которых интенсивность вихревых слоев принимается одинаковой, или же задать, исходя из каких-либо соображений, положение критической точки на профиле.
В результате решения прямой задачи определяется функция п~ (з), а также положение критической точки, если она заранее не задана. Далее задают координаты Ь1 и Ьз и по формуле (4.8) находят скорость по для обеих границ каверны. В случае отличия в значениях скоростей на них вновь решают прямую задачу, но уже для другого положения критической точки на профиле. Смещение критической точки производят в сторону той границы каверны, на которой скорость окажется больше.
Подставляя в формулу (4.8) новую функцию п1 (з1), можно вновь вычислить и,. Практически оказывается достаточным трех расчетов, чтобы затем с помощью интерполяции определить нужное положение критической точки. Естественно, что при подборе положения критической точки координаты точек замыкания верхней и нижней границ каверны следует сохранять неизменными. Процедура подбора положения критической точки должна производиться на каждом шаге процесса последовательных приближений при решении кавитационной задачи.
Но практически оказывается достаточным это проделать один раз для заданного пробного составного контура. Возможность при решении кавитационной задачй варьировать параметрами Ь1 и Ьн что равносильно варьированию значением циркуляции, свидетельствует о неединственности решения. Такая неединственность характерна для всех кавитационных схем при рассмотрении несимметричного течения, за исключением схемы с центральной симметрией. Однако и здесь. решение, вообще говоря, неединственно.
Неединственность связана с возможностью перемещения замыкающего контура по вертикали параллельно самому себе. $24. Кавитацнонное обтекание профнпей крыпьев ~обобщенная скема рябушннского) Переходя к рассмотрению обобщенной схемы Рябушинского применительно к решению несимметричной кавитационной задачи, следует отметить, что принципиальная схема расчета и расчетные формулы остаются теми же, что и при решении задачи симметричной (см. 5 20 — 21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
