А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При этом скорости на контуре с той же степенью точности могут быть определены по формуле а ( )=(++ ~ "."",", и (3.4) где о — значение суммарной скорости потока в произвольной точке стенки; х, $ — фиксированные и текущие значения коор- Рис. 48.
Криволинейная стенка бз динат точек, лежащих на оси, совпадающей с недеформированными границами стенки; а, Ь вЂ” координаты концов границы деформированного участка стенки; все величины, имеющие размерность скорости, отнесены к и . Таким образом, допущения линеаризованной теории позволяют свести задачу обтекания деформированной стенки к задаче обтекания слоя источников, расположенных на недеформированной стенке в пределах участка деформации. Интенсивность источников при этом связана с величиной деформации зависимостью (З,З) .
Из выражения (З.З) и интеграла в правой части уравнения (3.4) ясно, что в тех точках, где касательная к контуру терпит разрыв, линеаризованная теория становится некорректной, поскольку скорость возмущения в их окрестности растет до бесконечности по логарифмическому закону. Применительно к задачам кавитации будут рассмотрены только такие деформации, при которых касательная во всех точках деформированной границы непрерывна, а в точках а и Ь совпадает с касательной к недеформированной стенке. В линеаризованной постановке можно рассмотреть также обтекание стенки, которая до деформации была криволинейной, например такой, какая изображена на рис. 48.
При этом протяженность участков деформации следует выбирать с учетом сразу обоих ограничений (3.1) и (3.2). Возьмем, например, в качестве исходного недеформнрованного контура окружность, находящуюся в плоскопараллельном потоке (рис.
49). Если условно считать малыми величины у'( ~0,2, то в «местных» системах координат хи у1 этому требованию будет удовлетворять любая дуга окружности с центральным углом а ( 23'. При линеаризации в качестве скорости невозмущенного набегающего потока, обтекающего местную деформацию дуги окружности, может быть У взята скорость потока на этой дуге й п=2п„з1п ~. (3.5) Поскольку (см. рис.
49) она оо переменна, то можно взять некоторое среднее ее знах чение на дуге. Тогда величину дуги, на которой возможна линеаризация, следует определять, исходя из оценок ограничения (3.1). Если зафиксировать неРис. 49. Обтекание окружности которую точку, определяемую углом рь в окрестности которой осуществляется линеаризация, то исходя из уравнения (3.5), оценку допустимой величины отклонения в скорости на дуге можно произвести, используя неравенство (3.6) где допустимым отклонением так же как и при оценке отклонения в значении у' принята величина 02. Наиболее жесткие условия оказываются вблизи критической точки, где р=0.
Здесь равна нулю дуга окружности, удовлетворяющая зависимости (3.5). Для дуги, симметричной относительно точки Р1 = и/2, а ( 23'. В принципе, разделяя окружность на дуги, отвечающие условиям применения линеаризованной теории, можно произвести расчет ее обтекания жидкостью при малых деформациях значительных ее частей. Как видно из приведенной выше оценки, допустимая величина дуг определяется требованием к величине отклонения скорости на дуге от некоторого среднего значения, поскольку это требование в данном случае оказывается более жестким. я 4(). Обратная задача Рассмотрим специальный вид обратной задачи, заключающейся в нахождении такой деформации заданного (исходного) контура (стенки), при которой на деформированном участке 64 скорость будет постоянной. При этом на форму исходного контура особых ограничений не накладывается, однако участок его, подвергающийся деформации, а также характер деформации должны удовлетворять требованиям, сформулированным в 5 17.
В качестве исходных данных при решении поставленной задачи служат распределение скоростей на участке исходного контура, который предполагают деформировать, и координаты его концов. В результате решения задачи определяется величина деформаций и величина постоянной скорости на деформированном участке. Заранее задавать значение этой скорости нельзя, так как при этом задача окажется, в общем случае, неразрешимой.
При решении задачи могут быть использованы формулы типа (3.3) и (3.4), дающие связь между величиной деформации и вызванной скоростью, обусловленной деформацией. В точках деформированного контура с принятой в линеаризованной теории точностью справедливо соотношение Ч г 2во '()+ 2к 1 з — з а (3.8) где о(з), в~(з) — скорости в точках деформированного и исходного контуров, отнесенные к о; а, Ь вЂ” координаты концов участка контура, подлежащего деформации. В формуле (3,8) вновь введены дуговые координаты, так как это удобно при вычислениях.
Подставляя в выражение (3,8) значение функции д, полученное из уравнения (3.7), а также учитывая, что на деформированном контуре суммарная скорость о(з) должна быть равной ом можно получить уравнение для решения обратной задачи 1 — п~ (з) = — ) 1 ~ у' (з~) Нз~ а (3.9) 5 заказ м нв 65 где оо — значение постоянной по величине скорости в точках деформированного контура, отнесенное к о; у' — тангенс угла между касательными к исходному и деформированному контурам. Уравнение (3.4) применительно к обтеканию участка контура произвольной формы может быть записано в следующем виде В соотношении (3.9) кроме неизвестной функции у' содержится еще неизвестный параметр оо, для определения которого необходимо дополнительное условие.
Это условие в данном случае получают, рассматривая поведение функции у' вблизи одного из концов интервала интегрирования. Так как функция о!(з) задана по условию задачи, а параметр по можно пока считать известным, выражение (3.9) представляет собою хорошо изученное сингулярное интегральное уравнение первого рода. Различные формы его решений (обращений) содержатся, например в монографиях [18, 45]. рис.
ЗО. деформированный контур незамкнутой форм'ы В связи с требованиями, накладываемыми на характер деформаций, в точках, соответствующих концам промежутка интегрирования, функция у'(з) должна равняться нулю, т. е. должны равняться нулю углы между касательными к исходному и деформированному контурам. Этому условию удовлетворяет следующая форма решения (3.9) 1181 у (з)-= У (з — а) (Ь вЂ” з) Г [1 — о!(з!)~ "з! , (3.1 1) (3! — 5) 1' (Я! — а) (Ь вЂ” 3!) где а(з(Ь. Решение в форме (3.11) возможно только при выполнении равенства з 1 — о, (я!) ей! — --О, д Ь (з! — а) (Ь вЂ” и!) (3.12) из которого может быть найдена величина параметра оо. Решениям (3.11), (3.12) соответствуют, вообще говоря, деформированные контуры незамкнутой формы типа, изображенного на рис, 50 пунктиром (исходный контур изображен утолщенной сплошной линией).
Исходный и деформированный контуры касаются друг друга в точке а, а в точке Ь они не совпадают. При этом в указанных точках касательные к исходному и деформированному контурам имеют одинаковый наклон к оси х. Пунктирная линия между точками а и Ь с принятой в линеаризованной теории точностью соответствует линии тока. Она может быть продолжена справа от точки Ь в бесконечность таким образом, что расстояние по нормали между исходным контуром (стенкой) и деформированным сохраняется вниз по потоку неизменным, равным расстоянию в точке Ь.
Если требуется получить решение, соответствующее деформированным контурам замкнутой формы, то к условиям (3.11) и (3.12) следует присовокупить условие замкнутости, которое может быть записано в виде ~ у' (з) пз=-О. а Равенство (3.13) автоматически выполняется только в одном очевидном случае, когда исходный контур, распределение скоростей на нем, а также точки а и Ь симметричны относительно оси у.
Если симметрия не соблюдается, то одну из указанных точек заранее фиксировать нельзя, а следует определять в процессе решения задачи с учетом равенства (3,13). Решение (3.11) — (3.13) обратной задачи является приближенным. Однако в процедуре вычислений, может быть заложена принципиальная возможность уточнения результата путем последовательных приближений. Для ее реализации необходимо применить метод точного решения прямой задачи, т. е. расчет распределения скоростей по контуру произвольной формы.
При наличии современной вычислительной техники такие расчеты нетрудно сделать, например, на основе использования точных уравнений (2.13), (2.14) или (2.16). На первом шаге численного решения обратной задачи используют функцию о~ (з~), соответствующую исходному контуру. Далее определяют п~(з) на деформированном контуре первого приближения путем численного решения прямой задачи, после чего находят форму деформированного контура следующего приближения и т. д.
По мере приближения функции о~(з) к ом числитель в подынтегральном выражении (3.11) стремится к нулю, а вместе с ним стремятся к нулю и величины деформации соответствующих приближений, определяемые значением у'(з). Таким образом, точность решения обратной задачи определяется точностью решения прямой задачи. Очевидно, что сходимость описанного способа последовательных приближений будет существенным образом зависеть от формы исходного контура, Конкретные требования, которым должен удовлетворять исходный контур для обеспечения сходимости, а также надлежащей ей быстроты, в общем виде сформулировать затруднительно.
Однако, как показывает опыт расчетов, достаточно хорошая сходимость достигается даже на 67 контурах, форма которых и распределение скоростей на которых, существенно отличаются от формальных требований линеаризованной теории (3.1) и (3.2). ГЛАВА 1У РАСЧЕТ ПЛОСКИХ КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ ф 49. Общие замечания Как уже говорилось в Э 15, в методе интегральных уравнений плоскую задачу об определении кавитационного обтекания тела можно свести к решению одного из интегральных соотношений (2.13), (2.14), (2,16) нлн же их комбинаций, При этом указанные соотношения следует рассматривать как интегральные уравнения смешанного типа, поскольку на части интервала интегрирования, соответствующей контуру продольного сечения тела и замыкающему контуру, искомой величиной является вихревая интенсивность, а на остальной части — форма границы каверны. Кроме этого в общем случае из дополнительных условий следует определить еще несколько параметров.
Среди них может быть величина скорости на границе каверны и некоторые геометрические характеристики замыкающего контура. Условия для определения указанных параметров будут ничем иным, как условиями разрешимости кавитационной задачи, Непосредственное аналитическое решение интегральных нелинейных уравнений смешанного типа (2.13), (2.14) и (2.16) затруднительно. В дальнейшем для решения поставленной задачи используется метод последовательных приближений, на каждом шаге которого последовательно решаются прямая и обратная задачи.
Сначала задают так называемую пробную границу каверны и начальную форму замыкающего контура (необходимые требования к форме пробной границы каверны и замыкающего контурабудут сформулированы нижепри рассмотрении конкретных задач). Далее с помощью одного из упомянутых выше интегральных уравнений (прямая задача) находят функцию Т (з), равную скорости э1(з), во всех точках составного контура, включающего границу пробной каверны и участки основного и замыкающего контура, Интегральные уравнения относительно функции Т (з) являются линейными. После этого с помощью уравнений (3.11), (3.12) и (3.13) решают обратную. задачу для точек контура пробной границы каверны и строят границу каверны первого приближения. При этом уравнения (3.12) и (3.13) используют для определения указанных выше параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
