А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Р. Гарабедяном для расчета каверн за диском [[)6]. В последнее время для решения кавитационных задач применяют метод конечных элементов. Используемый в методе годографа математический аппарат теории функции комплексной переменной н конформных отображений оказался чрезвычайно полезным для исследования общих свойств кавитационных течений и при решении многих конкретных задач обтекания тел с простыми, преимущественно прямолинейными, или слабо искривленными границами. Сеточные методы решения уравнения Лапласа с нелинейными граничными условиями все еще достаточно трудоемки и их применение требует большого вычислительного мастерства при решении каждой конкретной задачи.
Сравнительно удобным и универсальным для численных расчетов как плоских, так и пространственных кавитационных течений, является метод интегральных уравнений, под которым [11] понимается сведение задачи отыскания потенциала скоростей к решению некоторых интегральных соотношений. Эти соотношения легко получаются, если прн рассмотрении задачи об обтекании тела использовать гидродинамические особенности.
Как известно [42], обтекание твердого тела эквивалентно обтеканию источников или диполей, или комбинации тех и других, размещаемых непрерывным образом на поверхности, соответствующей поверхности тела. На этой поверхности можно размещать также и вихревые особенности. Поскольку выражение для потенциала гидродинамической особенности является решением уравнения Лапласа, то и суммарная потенциальная функция, соответствующая особенностям, расположенным на упомянутой поверхности, и плоскопараллельному набегающему потоку, также будет удовлетворять этому уравнению вследствие его линейности. Суммарный потенциал скоростей должен при этом удовлетворять граничному условию (2.10), а условию на «бесконечности» он удовлетворяет автоматически.
В случае кавитационного течения, как уже говорилось выше, на границе каверны должно выполняться еще дополнительно условие (2.11). Выполнение условия (2.10) приводит к зависимости между интенсивностью (плотностью) особенностей и координатами точек поверхности тела и границы каверны, представляющей собою интегральное уравнение. В случае плоского течения удобно использовать вихри, особенно при рассмотрении течений с отличной от нуля циркуляцией по замкнутому контуру, охватывающему тело и каверну. В дальнейшем при выводе интегральных соотношений используется именно этот тип особенностей.
Пользуясь зависимостью (2.4), легко написать выражение для потенциала вихревого слоя, расположенного на контуре, соответствующем телу и каверне. Суммарный же потенциал скоростей вихревого слоя и плоскопараллельного набегающего потока будет иметь вид Ч = — ~ т (з!) В (зь г) !й!+п„х+сопз1, (2.12) 1 ! где интеграл вычисляется по контуру, общая длина которого 1, а у — погонная интенсивность вихрей слоя. За полоЖительное направление при интегрировании принято движение вдоль контура против часовой стрелки. Второй член в уравнении (2.12) соответствует потенциалу невозмущенного потока, вектор скорости которого параллелен оси х.
На рис. 43 изображена схема течения и координатные оси, где л - — нормаль, а 1 — касательная к контуру. Утолщенными линиями обозначены участки составного контура, соответствующего части контура тела свободной от кавитации С! и замыкающему контуру Сь а тонкими линиями — границе каверны С. В соответствии с граничным условием (2.10) производная по нормали к контуру от правой части равенства (2.12) во всех его точках должна равняться нулю.
Это равносильно обращению в нуль проекций на нормаль скоростей, вызванных вихревым слоем, и скорости невозмущенного потока — ( ) т (з!) сЬ!+о„з!и х (з) — О. (2.13) ! Основные обозначения, введенные в формулу (2.13), ясны из рис. 43, а гг, г — абсолютное значение наименьшего угла, заключенного между положительной частью оси г и отрезком гг, соединяющим две точки контура с координатами з и зг, Значение угла т считается положительным в том случае, если для совмещения отрицательной части оси г с направлением вектора о необходимо первую вращать против часовой стрелки. Соотношение (2.13) выражает связь между значением плотности вихревого слоя и координатами составного контура для Рис. 43.
Схема канитационного течения — — т (з,) тазг — и соз е (з) = —. 1 ( к!н(гг, () 1 (а) 2н ) г~ (а, аг) 1 2 (2.14) случая, когда удовлетворено граничное условие непроницаемости (2.10). Если контур замкнутый, то вихревая интенсивность в любой его точке будет равна скорости течения в этой точке, что показано, например в работе 144]. Следовательно, можно получить второе соотношение, дающее связь между плотностью вихревого слоя и координатами контура, для чего следует вычислить производную по касательной от правой части уравнения (2.12) и приравнять ее в точках, соответствующих контуру, значениям у(з).
Для наглядности вывода указанного соотношения можцо также воспользоваться простыми геометрическими соображениями, ясными из рис. 43, и вычислить непосредственно проекции на касательную к контуру вектора скорости невозмущенного потока и скорости, индуцированной вихревым слоем. При этом необходимо учесть скачок касательных скоростей на границе вихревого слоя (см. ф 13). В результате вычислений получим соотношение Уравнение (2.14) может быть справедливо и для случая, когда контур, на который замыкается граница каверны, уходит в бесконечность. Еще одно соотношение можно получить, используя выражение для функции тока вихревого слоя, Учитывая равенство (2.8), суммарную функцию тока вихревого слоя и плоскопараллельного потока можно записать в виде — — ~ ((з,)1пгс(з,+о.,у+сонэ(.
1 (2,15) Постоянным значениям функции тока соответствуют некоторые линии, характерные тем, что вектор скорости по направлению совпадает с касательной к ннм, т. е. эти линии являются Рис. 44. Картина линий тока ири обтекании тела линиями тока. На рис, 44 изображена картина линий тока. Частью одной из них является контур сечения тела, Значение функции тока, соответствующее ей, можно принять равным нулю. Таким 'образом, приравнивая правую часть выражения (2,15) нулю, можно получить третье соотношение, связывающее плотность вихревого слоя с координатами контура 1 — ~ т (з~) 1п г~ (з, з,) сй, + и „у, =О, 1 (2. 16) где г~ и у~ — соответствуют точкам контура. Соотношения (2.13), (2,14) и (2.16) обычно используют при решении так называемой прямой задачи, -заключающейся в определении скоростей на заданном контуре.
В этом случае указанные соотношения рассматривают как интегральные уравнения для определения плотности вихревого слоя у(з), которая, как говорилось выше, для замкнутого контура равна значению скоростей на контуре. Ядра этих уравнений являются функциями координат точек контура. Для решения задачи может быть использовано любое из уравнений. Если считать заданным распределение скоростей на контуре (функцию у), то любое из указанных соотношений можно использовать для определения формы соответствующего контура. При этом формулы (2.13), (2.14) и (2.16) следует рассматривать уже как нелинейные интегральные уравнения для определения координат точек контура (обратная задача).
В обратной задаче весьма важно получить решения, имеющие физиче- ский смысл, так как не для любого распределения скоростей можно построить замкнутый не самопересекающийся контур. Задача о кавитационном обтекании контура является смешанной, так как на его частях, соответствующих участку тела„ свободному от кавитации, и замыкающему контуру, определению подлежит функция у(з). На части контура, соответствующей границе каверны, эта функция считается величиной постоянной, а определению подлежат координаты точек границы каверны.
При этом из условия разрешимости кавитационной задачи должны быть определены еще параметры, характеризующие форму замыкающего контура, а также величину скорости на границе каверны. Поскольку в уравнениях (2.13), (2.14) и (2.16) граничное условие (2.10) непроницаемости контура уже удовлетворено, а также удовлетворено условие на «бесконечности», решение их при рассмотрении кавитационной задачи следует подчинить только условию (2.1'1) постоянства скорости на участке контура, соответствующем границе каверны. Решение указанных уравнений при рассмотрении прямой задачи производится, как правило, численным способом. Для этой цели интервал интегрирования разбивают на конечное число участков, на которых искомая функция у(з) аппроксимируется какой-либо простой функцией, чаще всего полиномом.
При удовлетворении любому из уравнений в конечном числе точек получается система алгебраических уравнений для определения коэффициентов аппроксимирующих функций, решение которой и соответствует приближенному численному решению исходного интегрального уравнения. Описанный подход может быть применен и при решении смешанной задачи кавитационного обтекания тела. В этом случае на участках разбивки заданной части контура аппроксимируется функция у(з), а на участках разбивки части контура, соответствующей границе каверны, вводится функция для аппроксимации формы границы каверны. При удовлетворении какому-либо из уравнений (2.13), (2.14) и (2.16) или же какой-то из их комбинаций в конечном числе заранее выбранных точек получается система нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений для определения коэффициентов аппроксимирующих функций. При численном решении этих систем появляются существенные трудности, связанные со сходимостью метода последовательных приближений, который приходится при этом применять.
Указанный выше подход к решению кавитационной задачи был реализован в работе [7Ц для плоского кавитационного течения и в работах [ДО, 2Ц при рассмотрении осесимметричного течения по схеме Рябушинского. Излагаемый в дальнейшем метод численного решения задачи плоского кавитационного обтекания тела основан на последовательном решении прямой и обратной задач. При этом используются некоторые элементы линеаризованной теории обтекания тел.
Необходимые для применения этой теории вспомогательные материалы изложены в гл. 1П. $46. Форма границы каверны вблизи точки ее отрыва от тела При численном решении интегральных уравнений, описывающих кавитационное обтекание тел, представляет существенный интерес знание формы границы каверны вблизи точки Рис. 45. Схема кавитанионного обтекания сечения тела Рис. 46. Схема течения вблизи точки отрыва каверны от тела отрыва.
Определить ее с помощью интегрального уравнения (2.13) нетрудно (исслсдование кривизны границы каверны вблизи точки отрыва с помощью метода годографа приведено, например, в работе 123)). При этом выбор схемы течения в хвостовой части каверны не играет. никакой роли. На рис. 45 изображена обобщенная схема Рябушинского, где показана также принятая при исследовании система декартовых координат, начало которой совмещено с точкой отрыва каверны, ось х совпадает с касательной к контуру тела и каверны (в точке отрыва контуры тела и каверны имеют общую касательную), а ось у совпадает с внешней нормалью. В окрестности точки отрыва выделяется малый, но конечный элемент контура, концы, которого имеют абсциссы, равные -~-е (рис.
46). Величина элемента выбирается такой, чтобы в его пределах углы между касательной к контуру и осью х были достаточно малыми. Это позволяет при вычислениях пренебречь их высшими степенями. Интеграл в уравнении (2,13) можно разбить на две части — „(, '„1 т(з)с(з + + — ~ ' ' т(з,) ~й,+о„в1п".= — О, (2.17) 1 соз(гь г) 2о, г~ (з, гч) Второй интеграл в соотношении (2.1?) распространяется на весь контур за исключением выделенного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
