А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В расчетной практике показала себя с хорошей стороны аппроксимация дугами эллипса В общем случае для лежащих с обеих сторон от миделя пробной границы каверны дуг эллипса берутся различные наборы коэффициентов аь аз, аз и а4, величину которых определяют из условия непрерывности пробной границы каверны и касательных в середине пробной границы и в точках сопряжения с контуром продольного сечения тела и замыкающим контуром.
Вообще же выбор способа задания пробной границы каверны и замыкающего контура строго не ограничен. Основным аргументом в пользу того или иного способа должно быть удобство производства расчетов. Задав форму границы каверны, производят вычисления путем последовательных решений прямой и обратной задач. Как уже говорилось, при решении прямой задачи может быть использовано любое нз интегральных уравнений (2.13), (2.14) или (2.!6). Предпочтение, по-видимому, следует отдать интегральному уравнению Фредгольма второго рода (2.14), так как оно удобно для решения итеративными методами. Численное решение этого уравнения принципиальных трудностей не представ-' ляет, и соответствующие методы решения хорошо разработаны.
В связи с этим вопрос определения скоростей на границе каверны и на основном и замыкающем контурах в дальнейшем не рассматривается. Вместе с тем хотелось бы обратить внимание на то, что, по-видимому, наиболее универсальный и практичный способ численного решения уравнения (2.14) — аппроксимация его системой линейных алгебраических уравнений. Эту систему получают путем разбиения интервала интегрирования на конечное число отрезков, на которых принимается какой-либо простой вид аппроксимации функции у (з).
Удовлетворение условию .(2.14) в одной точке каждого из отрезков приводит к конечной системе алгебраических уравнений, решение которых выполняют на ЭЦВМ по стандартным программам. В ходе решения симметричных кавитационных задач еще необходимо определить два параметра, к числу которых можно отнести значение скорости на границе каверны и какую-либо геометрическую характеристику замыкающего контура.
В рассматриваемой схеме Жуковского — Рошко такой величиной является расстояние между пластинками. 73 Ркс. 52. Схема с «зеркалом» числениях исходным служит составной контур первого приближения и т. д. На рис. 51 пунктирными линиями показаны границы каверны и замыкающие пластинки первого приближения для двух возможных случаев. Верхние пунктиры отражают тот случай, когда расстояние между пластинками начального приближения оказывается меньше действительного. При этом и граница пробной каверны, по крайней мере вблизи точек замыкания, будет лежать ниже действительной.
Нижние пунктиры соответствуют .завышенному расстоянию между пластинками начального приближения. Границы каверны могут не всегда лежать строго выше или ниже пробной границы. Возможны случаи пересечения этих границ. Для удобства в вычислениях формулы (3.11), (3.12) и(3.13) могут быть несколько упрощены и представлены в виде а у (з)-- 4.7) (. е"О а) (...) ), (а, а) (Ь а,) а 1 ( ш(а~)~(а~ (4.8) 1 ° П-еа=Г ' (2а~ — а — а) ш (а~) с(а~ () ~/(а~ — а) (Ь вЂ” а~) 1 (4.9) 74 Для решения обратной задачи следует использовать только соотношения (3,11) и (3.12).
Сначала из второго соотношения определяют параметр пе, поскольку функция о,* (з~) задана с точностью до множителя 1/па. Далее с помощью формулы (3.11) определяют функцию у' (э), путем интегрирования которой можно получить функцию у (з), характеризующую расстояние по нормали к пробной границе каверны от точек границы каверны первого приближения.
Значение этой функции в точке 6 будет соответствовать расстоянию по нормали, на которое следует сдвинуть замыкающие пластинки относительно исходного их положения, За счет сдвига пластинок автоматически удовлетворяется соотношение (3.13). Для дальнейшего шага в вы- Параметр о, в выражении (4.8) связан с числом кавитации зависимостью о= о' — 1.
Так же просто решается задача о кави- о тационном обтекании тела (рис, 52) по схеме Рябушинского (схема с «зеркалом» (231). Здесь вследствие зеркальной симметрии течения относительно оси у при решении задачи определяют только один параметр, а именно, значение скорости на границе каверны оо, используя соотношение (4,8). При этом условие (4.9) удовлетворяется автоматически. Принципы выбора формы пробной границы каверны, изображенной на рис. 52 тонкой сплошной линией, остаются теми же, что и при рассмотрении течения с использованием схемы А Жуковского — Рошко. Если точки отрыва ка- о верны от тела, в случае гладкого отрыва, фикси- и ровать заранее, то возможно пересечение поверхности тела границей Рос. 53. Обтекание дужки каверны (рис, 53).
Такой случай автор монографии [23) предлагает считать обтеканием дужки, заключенной между точками Л и В. Для контуров с непрерывно изменяющейся кривизной, как уже отмечалось в $ 16, положение точки отрыва может быть определено в соответствии с условием Бриллюэна — Вилля о равенстве кривизны контура и каверны в точке отрыва. При реализации этого принципа давление в каверне оказывается меньшим, чем в любой точке тела, что во многих практически важных случаях позволяет достаточно правдоподобно описать реальные явления кавитации.
Из уравнений (4.1), (4.2) и (4.7) нетрудно установить, что выполнение условия Бриллюэна — Вилля равносильно обращению в нуль интеграла в формуле (4.7) в точке з = а, что, в свою очередь, равносильно обращению в нуль коэффициента Ьо ряда (4.2). При практических вычислениях может оказаться удобным в окрестности з = а аппроксимировать о, (з1) линейной функцией, и тогда соотношение для определения положения точки отрыва может быть после несложных преобразований представлено в виде о ко1 (а) + (о, (к,) — о, (а) — о, (а) (а, — а)~ ак, О, (4.10) а+ а (к1 -- а) У(к1 — а) (б — а1) где о',(а) — значение производной функции о,(г) в точке а; е — малая по сравнению с (Ь вЂ” а) величина.
При вычислениях с использованием схемы Жуковского— Рошко точка Ь фиксируется (задается длина границы каверны), и тогда левая часть уравнения (4.10) будет функцией а. Вблизи нуля знак этой функции изменяется, поэтому определение величины а, соответствующей точке отрыва каверны, не представляет больших трудностей. При некотором опыте можно ограничиться перебором двух-трех значений а и далее путем линейной интерполяции определить то значение и, при котором левая часть выражения (4,10) обращается в нуль. Сама процедура вычислений интеграла в формуле (4.10) не представляет затруднений, поскольку подынтегральная функция достаточно гладкая, а в точке,сов.(а) ответствующей нижнему пределу интегрирования, мала, и имеет порядок )~а.
Вблизи верхнего предела интегрирования подынтегральная функция имеет интегрируемую особенность. Рис. 54. Распределение скоростей Из изложенного выше ясно, на пробной границе каверны что при задании пробной грани- цы каверны ее левый конец не должен быть расположен выше по потоку, чем точка отрыва каверны, определяемая в соответствии с условием Бриллюэна— Вилля. При этом впереди пробной границы каверны илн в точке ее схода всегда будет существовать местный максимум функции от(з). Указанное обстоятельство позволяет достаточно уверенно выбирать первое и последующие значения координаты а при вычислениях по формуле (4.10), поскольку они будут лежать несколько левее максимума функции пт(з). При рассмотрении течения с гладким отрывом каверны по схеме Рябушинского оба предела интегриройания в уравнениях (4.7) — (4.10) неизвестны, однако известна их разность, равная длине границы каверны.
Отсюда вытекает для этого случая очевидное видоизменение пределов интегрирования в указанных формулах, а именно, в качестве верхнего предела необходимо взять величину а+0 где 1 — длина границы каверны соответствующего приближения. С помощью формулы (4.7) легко установить асимптотическую форму границы каверны для больших значений з. Для этой цели в качестве пробной границы каверны удобно взять две параллельные прямые, как в схеме Жуковского — Рошко, уходящие в бесконечность, соединенные с контуром сечения тела плавной линией. Не уменьшая общности результатов, для упрощения вычислений форму этой линии можно подобрать таким образом, чтобы распределение скоростей [функция п1(з)] на пробной границе имело вид, приведенного на рис. 54.
Совмещая начало координат с точкой отрыва каверны, функцию о1(з) на отрезке 76 0 ( з ( Ьь можно, например, аппроксимировать полиномом второй степени вида ае+щз+азза, а для з ) Ь,, положить ее постоянной, равной единице. После несложных вычислений интеграла в уравнении (4.7) и перехода к пределу для з/Ь|»1 и Ь вЂ” з-ео результат можно представить в следующем виде А, В У вЂ” '' р.— -т- + згз (4.1 1) у=2А и'з — =+ 2В р'з где постоянные коэффициенты А и В зависят от параметров ае, аь ат и Ьь Первый член последней из формул (4.11) дает известный аснмптотический закон расширения свободных поверхностей, уходящих в бесконечность, полученный при рассмотрении задачи о струйном обтекании тела. В заключение следует подчеркнуть, что при выводе формул (4.11) форма аппроксимации функции о, (з) и точность ее воспроизведения принципиального значения не.имели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
