А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В случае несимметричного течения расчеты для верхней и нижней частей границы каверны производят независимо. Вследствие этого скорости о, в общем случае окажутся на этих частях различными. Их равенство можно обеспечить за счет введения еще одного параметра, который следует определять в процессе решения задачи, В качестве такого параметра можно взять, например, величину циркуляции вокруг составного контура или же какую-либо геометрическую характеристику замыкающего контура, Варьируя их величинами, можно добиться равенства оа на обеих границах каверны.
В случае наличия симметрии течения относительно некоторой оси, параллельной вектору скорости набегающего потока, равенство оа обеспечивается автоматически. Если кривизна контура продольного сечения тела изменяется непрерывно, для определения положения точек отрыва каверны необходимо использовать еще соотношения, полученные на основе условия Бриллюэна — Вилля о конечности кривизны границы каверны в точках ее отрыва (см.
5 16). Составной контур первого приближения служит исходным для второго шага описанного выше цикла вычислений, состоящего в последовательном решении прямой и обратной задачи. Приближения следует оборвать, когда функция о,*(з) будет отличаться от единицы на величину, не большую наперед заданной, Для суждения о достаточности приближений может оказаться более удобным другой какой-либо критерий, например критерий, связанный с оценкой максимальной величины деформации границы каверны в двух последовательныхприближениях.
Несмотря на то, что используемое при решении обратной задачи уравнение (3.11) является приближенным, метод расчета в целом может рассматриваться как строгий, поскольку он на каждом шаге контролируется решением прямой задачи с использованием точного интегрального уравнения, Последнее обстоятельство, по-видимому, является также важным стабилизирующим фактором, обеспечивающим сходимость последовательных приближений даже в тех случаях, когда распределение скоростей на пробной границе каверны будет существенно отклоняться от требований, накладываемых линеаризованной теорией, на основании которой получено уравнение (3.11).
Немаловажное значение для сходимости последовательных приближений имеет и то обстоятельство, что формула (3.11) дает тот же самый закон изменения формы границы каверны, что и «точная» теория, включая окрестность точки отрыва каверны. Это легко показать, подобрав пробную границу таким образом, чтобы вблизи точки отрыва было можно функцию, стоящую в числителе выражения (3.11), аппроксимировать яолиномом, а на остальном участке интервала интегрирования — непрерывной дифференцируемой функцией. Для этого нужно только обеспечить соответствующую гладкость пробной границы каверны и гладкость ее сопряжения с основным и замыкающим контуром. Тогда, принимая для простоты а = 0 и разбивая интервал интегрирования на два отрезка, уравнение (3.11) можно представить в виде (4.1) где 0(с(Ь, а 1(з~) — непрерывная дифференцируемая функция.
Путем прямых вычислений первого интеграла и оценки второго для малых значений з, легко показать, что функция у' может быть представлена в виде ряда, имеющего ту же структуру, что и ряд, стоящий в числителе формулы (2.30), а именно, у'=Ь,)'х+ЬгхКх +... (4.2) Его дифференцирование дает такой же по структуре ряд, что и дифференцирование ряда (2.31), Приведенная оценка является косвенным подтверждением корректности формул (3.11), (3.12) и (3.13) при решении кавитационной задачи, Тем более, что вычисленные погрешности при решении могут быть эффективно уменьшены вследствие применения для решения прямой задачи точных интегральных уравнений, дающих на каждом шаге приближений точную величину невязки между фактическим распределением скоростей на границе каверны соответствующего приближения и постоянной ом обусловленную приближенностью решения обратной задачи.
При о*,(з)- 1 стремится к нулю отклонение координат границы каверны от их точных значений, что непосредственно следует из формулы (3.11). При о*,=1, что соответствует совпадению искомого контура с точной границей каверны, уравнения (3.11), (3.12) и (3.13) удовлетворяются тождественно. Пользуясь уравнениями (3.4) и (3,3) и аппроксимацией границы каверны вблизи точки отрыва от тела (4.2), можно определить закон изменения скоростей на контуре продольного сечения тела вблизи этой точки.
При этом функция о~ (з) в формуле (3.4) будет означать исходное распределение скорости при наличии пробной границы каверны. Если обеспечить достаточно гладкое сопряжение пробной границы каверны с контуром продольного сечения тела; то в местной системе координат, связанной с точкой отрыва каверны от тела, в окрестности этой точки будут справедливы все допущения, принятые при выводе формул (3.4) и (3.3). К тому же здесь пробная граница каверны будет близка к истинной, а функцию и, (з) можно будет аппроксимировать степенным рядом, конечным или бесконечным. Принимая во внимание сказанное, формулу (3.4) можно представить в виде В ь () () ( 1 ~ 2у'(е)из~ +~ у(з~)лг1 (43) 2н Я вЂ” Я! Ю вЂ” Я! о е где п~ (з)- — функция, аппроксимируемая степенным рядом; е— малая, но конечная величина; у' (з,) — функция, соответствующая аппроксимации (4.2); з ( О, ) (з,) — конечная дифференцируемая функция.
Соотношение (4.3) записано в системе координат, начало которой совмещено с точкой отрыва каверны. Второй интеграл уравнения (4.3) может быть для ~з~ ~е представлен в виде степенного ряда. После подстановки в первый интеграл ряда (4.2) и вычислений, соотношение (4.3) можно представить в виде и (з) =Ф вЂ” з (Ьо+Ь!з+Ьзз~+...)+ряд по целым степеням а. (4.4) В случае фиксированных точек отрыва каверны (Ьа Ф 0) производная функции и (з) при з — 0 обращается в бесконечность, что соответствует обращению в бесконечность ускорения потока при приближении к точке отрыва каверны. Знак ускорения определяется знаком коэффициента Ьв 5 20. Симметричное кавитационное обтекание теп безграничным потоком (схемы Жуковского — Рошко и Рябушинского) Первый вопрос, который встает при решении кавитационной задачи указанным выше методом, заключается в выборе начального приближения координат границы каверны и замыкающего контура.
Наиболее просто он решается в схемах Жуковского— Рошко и Рябушинского, которые и будут ниже рассмотрены. Основное требование к начальному приближению состоит в обеспечении достаточно плавного распределения скоростей по пробной границе каверны, чтобы добиться наиболее быстрой сходимости процесса последовательных приближений. Однако, как показывают расчеты, даже при наличии существенных по величине отклонений скоростей на пробной границе каверны от некоторого среднего значения, применение формул (3.!1), (3.12) и (3.13) уже после первого шага расчетов приводит к сильному уменьшению указанных отклонений (невязок). На рис, 51 сплошной тонкой линией изображена пробная граница каверны, а утолщенными сплошными линиями — контур обтекаемого тела и пробный замыкающий контур в виде параллельных пластинок.
При построении течений с выпуклыми 71 в сторону жидкости границами каверны расстояние между пластинками желательно (но не обязательно) брать несколько большим, чем максимальная толщина тела. Расстояние их передних кромок от тела выбирается, исходя из желаемой длины каверны. Длина же границы каверны считается величиной заданной, а искомыми параметрами — — число кавитации и расстояние между замыкающими пластинками. Если рассматривается обтекание с фиксированными точками отрыва каверны от тела, то этн точки и пластинки должны быть соединены линией, соответст- У; вующей пробной границе каверны. Основным требованием к форме этой линии является о -- непрерывность касательной, х которая на концах должна совпадать с касательными к основному и замыкающему конРис.
51. Схема Жукоаского — Росоко требование заключается в конечности кривизны, за исключением быть может, окрестности точек сопряжения с основным и замыкающим контурами. Желательно, но не обязательно выполнение требования непрерывности кривизны пробной границы каверны. Поскольку для случая фиксированного отрыва каверны от тела кривизна в точках отрыва обращается в бесконечность [см. формулу (2.31)), в этих точках кривизну нужно взять большой, но необязательно бесконечной. Это же относится и к точкам замыкания каверны. Кривизну границы каверны можно брать также равной кривизне основного и замыкающего контуров в точках отрыва и замыкания границы каверны соответственно. При этом, как было показано выше, уже на первом же шаге вычислений по формуле (3.11) кривизна в этих точках станет бесконечно большой нужного порядка.
Форму пробной границы каверны в схеме Жуковского— Рошко можно задавать например, представив вторую производную в виде полинома третьей степени у" = — а+ Ьх+ сх'+с(ха. (4.5) После двух интегрирований получают выражения для у' и у в виде у' = ах+ Ь 1 2 ха+ с(3ха-~- с((4 х4+ с, у =с,х+а)2х'+ Ь/бха+ с/12х'+а/20хх+с,. (4.6) Выражения (4.5) и (4.6) записаны в системе координат, представленной на рис. 51, где начало координат совмещено с точкой отрыва каверны от тела. Для определения шести параметров в системе (4.6) могут быть использованы шесть уравнений, полученных из условий задания на концах пробной границы каверны ее ординат, первых и вторых производных. Метод аппроксимации пробной границы каверны полиномами высокой степени не всегда хорош, так как аппроксимирующая функция может осциллировать внутри промежутка аппроксимации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
