А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В отличие от второго варианта вычислений здесь специальных ограничений на размеры исходного замыкающего контура накладывать не требуется, так как деформация может иметь любой знак. Последнее обстоятельство автоматически учитывается в расчетных формулах, что позволяет в процессе расчетов прийти к такой форме замыкающего контура, которая не будет противоречить парадоксу Д'Аламбера.
Сказанное иллюстрирует рис. 58, где пунктирными линиями обозначены окончательные («точныез) границы каверны и замыкающий контур, а сплош- Рис, 58. Третий аариант задания замыкающего контура ными — исходные. При этом исходные замыкающие контуры могут лежать как выше, так н ниже окончательных, полученных в результате последовательных приближений. Далее задают координаты концов дуги, на которой размещается система особенностей и функция д(з, а), характеризующая закон изменения их интенсивности вдоль дуги.
После этого решают прямую задачу, в результате чего определяют функцию оы (з), а с помощью формулы (4.12) — функцию о1о(з, а). Сумма этих функций будет равна о~ (з, а). Если точка отрыва каверны фиксирована, то величина а является заданной. В этом случае по формуле (4.13) или (4.16) может быть вычислен параметр а, после чего по формуле (4.8) легко определить последний параметр по. В случае обтекания тел с непрерывно изменяющейся кривизной прежде, чем вычислять параметр а, следует определить координату точки отрыва каверны а. Для этой цели может быть использовано уравнение (4.10), однако в нем следует функцию о1 и ее производную заменить на оы (и) и ее производные, поскольку о1 является функцией неизвестного параметра а.
Такая замена не приводит к существенным неточностям в определении а, так как вклад в величину левой части уравнения (4.10) отброшенной функции ом незначителен по сравнению с вкладом, даваемым функцией оц. Форма границы каверны определится суммой (4.7) и (4.14). При этом изменение значения з в формуле (4.7) следует взять в пределах а ( з ( Ь, а в равенстве (4.14) — с(( з -' е. Интегрирование суммы (4.7) и (4.14) позволит определить величину деформации пробной границы каверны и замыкающего контура по нормали к последним.
Новые формы границы каверны и замыкающего контура служат исходными для следующего шага вычислений. Критерием для прекращения приближений может служить величина отклонения скорости на границе каверны от постоянного значения. Можно, конечно, использовать и другие критерии, связанные, например, с оценкой величины у'(з) в двух последовательных приближениях ит. п. Для расчетов удобно также использовать систему источников-стоков постоян ной интенсивности (сплошная l ! утолщенная линия на рис.
69), левый — м конец которой совпадает с концом ка- а ь е верны, а правый задается. Эта систе- Рис, 5ц Система источников ма соответствует деформации замыка- иостоинноя интенсивности ющего контура, величина которой убывает по линейному закону от максимальной величины в точке Ь до нуля в точке е, Неизвестным же параметром является величина, характеризующая быстроту убывания деформации. Для удобства расчетов, чтобы не иметь дело с бесконечно большими значениями скоростей, вызванных системой источников, целесообразно ее дополнить таким образом, как показано на рис. 69 утолщенной пунктирной линией. При этом параметр может быть выражен в явной форме точно так же, как и параметр а в формуле (4.16).
Для иллюстрации сходимости последовательных приближений на рис. 60, а и 61, б приведены результаты расчетов кавитационного обтекания окружности и клина при некотором значении длины границы каверны. При этом использовалась одна из разновидностей обобщенной схемы Рябушинского. На рис. 60, а индексом 0 обозначена пробная граница каверны, соответствующая аппроксимации (4.6, а), а индексом 3— граница каверны, полученная в результате трех приближений.
На рис. 60, б пунктирной линией изображена, функция у, соответствующая обтеканию окружностей, соединенных пробной границей каверны. Сплошной линией показано распределение скорости по окружности и каверне третьего приближения. Как показывают расчеты, результаты последующих приближений практически совпадают с результатами третьего приближения. Из данных, приведенных на рис. 60, следует, что при расчете кавитационного обтекания даже при существенном отклонении распределения скоростей на исходном составном контуре от 83 постоянного значения процесс последовательных приближений сходится достаточно быстро. При расчете кавитацнонного обтекания клина с углом при вершине 90' пробная граница каверны также представляла собою (рис. 61, а) кривую, соответствующую аппроксимации (4.ба).
Такая форма границы была выбрана специально с той целью, чтобы проверить сходимость приближений в том случае„ когда вблизи концов пробной границы каверны имеют место большие по величине и малые по протяженности пики функции у т'5 Ют Рис. оо. Результаты расчетов оотекаиии окружности о1 (з~) =у (сплошная линия на рис. 61, б). Оказывается, что и здесь достаточно лишь трех приближений, чтобы граница каверны приобрела такую форму, при которой величина скорости отличается от постоянного значения на 2 % и то в очень узкой области вблизи точек отрыва каверны (штрихпунктир на рис. 61, б).
Указанные отклонения оказывают влияние только на форму каверны вблизи точек отрыва. Влияние этих отклонений на распределение давлений по основному контуру и величину гидродинамического сопротивления практически можно исключить весьма простым приемом. Для этого после последнего шага приближений нужно вновь решить прямую задачу, приняв скорость потока на всей границе каверны постоянной, равной значению, полученному по формуле (4.8) на последнем шаге. Обращаясь к практической стороне расчетов, можно дать рекомендацию по выбору формы пробной границы для тех случаев, когда угол между касательной к контуру в точке отрыва каверны и вектором скорости набегающего потока велик, что имеет место„например, при обтекании клиньев с углом при вершине более 180*.
На рис. 62 изображены окрестности контура (сплошная линия) и рекомендуемой пробной границы каверны вблизи точки отрыва (пунктир). В данном случае пробная граница каверны сопрягается с участком кривой малого радиуса, а) 'а' йгу Рнс. 6Н Результаты расчетов обтекания клина составляющего сотые или тысячные доли длины контура сечения тела. Кривая касается этого контура и пробной границы каверны в точках а и а' соответственно. В качестве кривой малого радиуса можно взять окружность (об общих принципах выбора пробной границы каверны говорилось выше). При выполнении расчетов точку отрыва границы каверны можно фиксировать в точке а'. Таким образом, обтекание контура с заострением заменяется обтеканием контура с закруглениями малого радиуса на концах. Зона влияния такого закругления имеет порядок радиуса закругления, и оно внесет только «местные» искажения в форму границы каверны и распределение скоростей на контуре сечения тела.
При достаточно малом радиусе закругления его влиянием на форму границы каверны в целом и суммарные гидродинамическне реакции, приложенные к телу, можно пренебречь. В заключение следует отметить, что порядок и объем расчетов с использованием обобщенной схемы Рябушинского принципиально одинаков как для режима суперкавитации (замыкание каверны за задней кромкой тела), так и для так называемого режима частичной кавитации.
Последний характеризуется а а и / — ( 1 l Рис. 62. Форма пробной Рис 63. Схема частичной кавитации границы каварны вблизи точки отрыва тем, что каверна замыкается непосредственно на поверхности тела (рис. 63). В этом случае часть контура сечения тела между точками с и д можно отнести к замыкающему контуру, а ее форму считать фиксированной. С участками для замыкающего контура между точками Ь и с следует поступать так, как это делалось выше при рассмотрении различных вариантов процедуры подбора замыкающего контура.
В обобщенной схеме Рябушинского как способы задания замыкающего контура, так и способы его уточнения можно разнообразить в очень широких пределах. Выбор того или иного способа должен диктоваться характером решаемой задачи. $22. Снмметрнчное кавнтакнонкое обтеканне тел в канале со стенкамн пронзвольной формы Схема расчета кавитационного обтекания тела в канале остается точно такой же, что и для рассмотренного в $ 20 и 21 случая безграничного потока. Она сводится к применению метода последовательных приближений, на каждом шаге которого решают последовательно прямую и обратную задачи. Для той части шага последовательных приближений, в которой решают обратную задачу, остаются прежними как формулы, так и рекомендации по выбору пробной границы каверны и замыкающего контура, поэтому повторно это здесь излагаться не будет.
86 Для получения уравнений прямой задачи могут быть использованы те же соображения, которые приводились при выводе формул (2.13), (2.14) и (2.16). При этом для получения формул типа (2.13) и (2.16) на стенках трубы и контуре продольного сечения тела можно размещать как вихревые слои, так и слои источников. Ниже для иллюстрации приведен вывод уравнения типа (2.14). л л, в с л и Рис, 64. Обтекание тела в трубе При выводе уравнения (2.14) было существенным использование замкнутости контура интегрирования. Это можно применить и при рассмотрении течения в трубе.
Вместо рассмотрения обтекания тела, помещенного в канал, можно рассмотреть обтекание безграничным потоком плоской трубы и помещенного внутрь нее тела (рис. 64, а). Для того, чтобы во входном и выходном сечениях трубы было однородное распределение скоростей, такое же, как распределение скоростей в невозмущенном набегающем потоке, необходимо, чтобы участки трубы АВ и С.0 были параллельны вектору скорости набегающего потока, а концы трубы А и В были бы удалены на большую по сравнению с ее шириной )т длину от сечений ВВ и СС, между которыми стенки трубы криволинейны, а также от оконечностей тела.
При этом необходимо, чтобы указанные участки лежали на одной прямой. Для того, чтобы воспользоваться характерным для замкнутых контуров равенством интенсивности вихревого слоя, размещенного на контуре, и скорости потока, стенки трубы можно дополнить таким образом, как это показано на рис. 64, б. 8? где д), у2, т)1, 2)2 — фиксированные и текущие значения ординат точек верхней половины тела и верхней части канала, соответственно; у» у, — значения вихревой интенсивности в точках верхней половины тела н верхней части канала соответственно в1п (г,» г)=)1 — у,+у)(х — $); Г!1=(2)! — у!)'1-(Х вЂ” $)', з)п (г)„1) =-2)!+У! — у) (х — 1); Г12=(4!+У!) +(Х вЂ” $) ! Б)П (Г23, !)=2)2- У! Т У!(х — $); Г23= — (2)2 У!) +(Х вЂ” 4) 1 з!и (Гм, г) =П)+У!' — У! (х — 4); Г24=И2+ У!) +(Х вЂ” 4); з!и (Гм, 1)=')2-- У2+У2 (х — 1)' Г21=(2)2 У2) + (Х вЂ” 4); (4 18У а)п (гм 1) =2)2+ У2 — У2 (х — $)) Г22 (2)2+ У2) + (Х вЂ” 1); З)П (Г12, Г) = 2)1 — У2+ У2 (Х вЂ” 4) ' г'12=() ! — У,)'+(Х вЂ” 1)'! З)П (Г14 ~) %+У2 У2 (Х ) Г14=(2]1+У2) +(Х 4) ) Численное решение системы (4.17) затруднительно ввиду бесконечных пределов интегрирования в двух интегралах.
Однако, если участки канала А)В и СВ1, как говорилось выше, взять достаточно большими, то на частях канала — ао ( х ~ А) и В) ( х ( оо можно принять у= о . На этих частях величина 212 также постоянна и равна й/2, 41',=О. С учетом сказанного части интегралов по бесконечным участкам могут быть вычислены в виде аналитических выражений, которые следует добавить в левые части уравнений системы (4.17). Прн этом оставшиеся части интегралов будут иметь конечные пределы, а именно, нижние пределы будут равны А» а верхние В). После несложных вычислений указанные аналитические выражения можно представить в следующем виде Л = — —, 2п+ агс(д ' (- агс1а 2 у 1+у~ И/2 — у1 И/2 + у1 В1 — -х В1- — х — агс1д и - — агс1д + + 1п У~ [(И/2 — у1)2.(- (А1 — х)з[ [(И/2 Ч- у1)2 + (В1 — х)з[ 2 [(И/2 ч- у1)з .(- (А1 — х)2[ [(И/2 — у1)2 -(- (В| — х)2) Л (х)— величина второго порядка), (4.22) адляА1(х»ВиС =х»(В1 Л(х)= — " (я+ агс1й ' -- агс1К ' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
