А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При решении прямой задачи использовано интегральное уравнение Фредгольма второго рода, составленное, исходя из условия равенства скорости в произвольной точке замкнутого контура значению вихревой интенсивности в этой точке. При составлении уравнения было использовано выражение для потенциала вихревого слоя следующего вида 1 р= —,. ) Т(~) (з, ~) (т Рис. 69. Схема суперкавитациопного обтекания профиля и граничное условие — + — +сов~=Т, дт 2 дт где у(а) — Ч(а ) "=агс(а .
(,) 6(, ) ' т — угол между касательной к контуру профиля в точке з и вектором скорости невозмущенного потока. Таким образом, уравнение для определения функции у (з) можно привести к следующему виду Т(з) — — ) Т(з,) д ~й,=2~ — созе+ — „з1п а), (4.24) где х, у — декартовы координаты составного контура; а — угол атаки профиля. При частичной кавитации составным контуром является контур, состоящий из части контура профиля крыла, свободной от кавитации, замыкающего контура и границы каверны соответствующего приближения. При рассмотрении суперкавитации замыкающий контур задавался в виде прямощекого клина, в вершине которого помещается критическая точка.
На рис. 69 пробный замыкающий 99 (4.25) где !7(з!) — интенсивность слоя источников в Ртом приближении; х, у — координаты границы каверны в (! — 1)-м приближении; пз — постоянное значение скорости на границе каверны, отыскиваемое в !стом приближении из решения обратной задачи; о! — скорость на границе каверны, получаемая в (! — 1)-м приближении из решения прямой задачи. В случае отрыва каверны от гладкого контура для определения координат точки отрыва использовалось условие Бриллюэна — Вилля. Решение обратной задачи в указанной выше форме эквивалентно решению (4.7 — 4.10). При численном решении интегрального уравнения (4.24) оно было заменено конечной системой алгебраических уравнений относительно значений т (з) в контрольных точках У-1 л — 1 ~ а!П! — я О+ ~ аы7!=-Ь;; — ! ! = г -!- ! !'!+7!=О, (4.26) где У! — чт У! ч!" ! ! зя! вй =(агс1д ' — агс1д 1 —, 1т'= l' „=(, —,,)„, Ь! — — — — 2я( ' соз а-~- з!" ") ' 1! — 1у-!, ч! — чу-! зя/ а! Ьз,=)/(1,— ~, )з-)-(',— ', )з, р — 1, х;=-0,5 ~; !+$!); у! — — -0,5 (ч! ! -(-ч!).
контур и пробная граница каверны схематически изображены пунктиром, а окончательные — сплошными линиями. Расчеты обратной задачи производились раздельно для верхней и нижней частей границы каверны. В результате расчетов находилась форма границ каверны, углы установки каждой щеки клина, обеспечивающие замкнутость составного контура и значение скоростей на границах каверны. Для достижения равенства скоростей на обеих границах каверны производилось на каждом шаге приближений смещение клина вдоль линии аа, параллельной оси у, проходящей через его угловую точку. Обратная задача решалась путем численного решения интегрального уравнения (3.8) совместно с соотношениями, выражающими условие замыкания границы каверны непосредственно на замыкающем контуре и условие непрерывности касательной при переходе с границы каверны на замыкающий контур.
Указанное уравнение было приведено к следующему виду (4. 27) можно выполнить только при специальном подборе формы пробной границы каверны и для контуров, касательная к которым в точке отрыва каверны составляет малый угол с направлением вектора скорости невозмущенного потока. Как показывают приведенные ниже результаты расчетов, и при отступлении 101 Второе уравнение в системе (4.26) представляет собою запись условия Жуковского †Чаплыги, которое можно трактовать как равенство скоростей на верхней и нижней сторонах профиля в контрольных точках, непосредственно прилегающих к задней кромке профиля. Подобная запись ранее использовалась в работе [46).
В данном случае ее корректность проверена путем анализа результатов расчетов обтекания профилей типа профилей Кармана †Треффт с использованием формул метода конформных отображений, которые можно считать эталонными, и расчетов по формулам (4.26). Для симметричных профилей отстояние контрольных точек от задней кромки особого влияния на точность расчетов циркуляции (подъемной силы) не оказывает.
Если же средняя линия профиля искривлена, то контрольные точки необходимо брать возможно ближе к задней кромке. Ввиду особых требований, предъявляемых к точности решения прямой задачи при решении задачи кавитационной, путем указанного анализа были определены требования к количеству контрольных точек и нх рациональному расположению на профиле и границе каверны. Естественно, что эти требования оказываются наиболее жесткими в районах резкого изменения кривизны контура профиля, особенно вблизи острых кромок и угловых точек, Для профилей с относительной толщиной более 1О э)э достаточно-пятидесяти контрольных точек, а для более тонких профилей необходимо до 128 контрольных точек, чтобы получить необходимую точность решения. Уравнение (4.25) обратной задачи также аппроксимировалось системой линейных алгебраических уравнений, для чего пределы интегрирования разбивались на конечное число участков, в каждом из которых принималась линейная аппроксимация функции д(з).
Таким образом, граница каверны аппроксимировалась кусками параболы второй степени с гладким сопряжением их на границах участков. Здесь ввиду достаточно хорошей гладкости границы каверны вопрос о выборе числа контрольных точек и их положения на ней решается сравнительно просто. При рассмотрении сходимости в процессе последовательных приближений первостепенный интерес представляет выяснение фактических требований, которым должна удовлетворять форма пробной границы каверны, поскольку при решснии обратной задачи используются уравнения линсаризованной теории. Условие (3.2) и условие, аналогичное (3.1) этой теории «1, — „, «1, от этих обременительных ограничений можно получить достаточно точные данные.
Для иллюстрации были специально подобраны утрированные случаи кавитационных течений и формы пробной границы каверны, выходящие за пределы требований линеаризованной теории. На рис. 70 изображена окрестность носика профиля сегментного типа с относительной максимальной толщиной 6 = 0,1 ООУБ йаоз Ое05 Рис. 70. Окрестность иосика профиля и форма каверны (отношение максимальной толщины профиля к хорде). Передняя часть профиля на расстоянии 0,0026 хорды от носика срезана и заменена окружностью, диаметр которой равен приблизительно 0,001 длины хорды.
Расчеты произведены для угла атаки 3' при фиксированной длине каверны, составляющей 0,376 длины хорды. Замыкающий контур имитирован системой источников 1стоков) постоянной интенсивности, располагавшейся на отрезке протяженностью 0,064 хорды непосредственно за концом границы каверны. Расчеты произведены для трех заданных положений точки отрыва каверны от профиля, обозначенных на рис. 70 цифрами 1, 2, 8. Распределение скоростей вблизи носика показано на рис. 71, где точке 8 соответствует начало координат, Из рис. 70 и 71 ясно, что вблизи носика профили имеются существенные отклонения от оценок линеаризованной теории 13.1) и (3.2). Как показывают расчеты, границы каверн во всех вариантах задания точек отрыва практически совпадают сразу 102 же в непосредственной близости от носика профиля.
Приведенные на рис. 71 границы соответствуют четырем приближениям. В начальном приближении при расчете каверны с положением отрыва в точке 1 принято распределение скоростей по некавитирующему профилю, а пробная граница каверны и замыкающий контур взяты совпадающими с контуром профиля. При расчете границы каверны с отрывом в точке 2 за исходные приняты участок контура профиля между точками 2 и 1 и граница каверны, определенная в предыдущем расчете. Полученная при этом граница каверны и участок контура профиля между точками 2 и 3 о 2 >. -ОООГ О йаа> Оаа2 Оааа Оаае Оааа йааа ааатаааал Рис. 71. Распределение скоростей налили носика профиля являются исходными для расчета каверны с отрывом в точке 3. Границы каверны на рис.
70, помеченные крестиками, кружками и квадратами, соответствуют положению точек отрыва каверны 1,2 и 3, На рис 72 показаны границы каверны на всем ее протяжении. Обозначения точек сохранены такими же, что и на рис. 70. В масштабе рисунка все три границы каверны слились в одну. Для оценки влияния величины скругления в реальных конструкциях можно рассмотреть, например, крыло с хордой размером в 1 м и модель этого крыла, предназначенную для кавитационных испытаний, с хордой 0,1 м.
Если относительные размеры скругления принять такими же, что и в рассмотренном примере, то на натурном крыле его диаметр окажется равным 1 мм, а на модели — 0,1 мм. Таким образом, с учетом реальной технологии передние кромки крыла н модели можно рассматривать как острые. На рис. 73 показан клин с углом прн вершине 90' (ввиду выбора разных масштабов координат по осям х и у этот угол на рисунке оказался иным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
