А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Здесь также возможны различные варианты задания замыкающего контура и его уточне- ния в процессе решения задачи. Ниже рассмотрены только три пз них, аналогичные тем, которые описаны в ф 21. Первый вариант. Процедура решения кавитационной задачи начинается с выбора замыкающего контура и пробной границы каверны (пунктир на рис. 67). Далее выбирают положение критической точки на профиле или же замыкающем контуре, тем самым фиксируя значение циркуляции вокруг составного контура. Как показывает практика расчетов, критическую точку задавать удобнее на замыкающем контуре. После фиксации положения критической точки решают прямую задачу, в результате чего определяют функцию и, (з1). аа Рис. 67, Первый вариант задания замыкающего контура Обратную задачу для обеих частей границы каверны решают раздельно.
Сначала на одной из границ задают значение координаты конца каверны Ьз или Ья (для определенности принимается, что задается значение Ь1), и с помощью формул (4.7), .(4.8) и (4.10) строят границу каверны первого приближения. При построении нижней границы координату Ье подбирают таким образом, чтобы скорости на обеих границах были равны. Построенные таким образом каверны оказываются, как правило, незамкнутыми (сплошные тонкие линии на рис. 67). Замыкания достигают путем деформации замыкающего контура. В отличие от симметричного случая величина деформации нижней и верхней частей замыкающего контура в общем случае будет разной. Закон деформации для удобства желательно брать наиболее простым.
Например, точки Ь! и Ь, замыкающего контура можно совместить с концами границы каверны, а другие точки сдвинуть таким образом, чтобы между начальным и новым контуром образовался зазор, уменьшающийся до нуля в критической точке (новый замыкающий контур на рис. 67 изображен сплошной утолщенной линией). Одним из наиболее простых законов изменения зазора является линейный. В дальнейших приближениях приведенная выше расчетная схема повторяется. При вычислениях уравнение (4.9) не использовалось.
Оно удовлетворялось за счет деформации замыкающего контура точно так же, как зто делалось в расчетах с использованием 95 схемы Жуковского — Рошко и обобщенной схемы Рябушинского в случае симметричного кавитационного течения. Расчеты можно несколько упростить, если размеры замыкающего контура выбрать такими, чтобы можно было за счет соответствующего выбора координаты конца одной части границы каверны замкнуть ее непосредственно на замыкающий контур.
Указанная координата может быть найдена с помощью уравнения (4.9). В этом случае деформации следует подвергать только одну сторону замыкающего контура, расположенную вблизи конца другой части границы каверны. Второй вариант. Размеры замыкающего контура нужно брать такими„чтобы обеспечить за счет подбора значений Ьз и Ьз замыкание обеих частей каверны непосредственно на замыкающем контуре.
При этом скорости на этих частях, как правило, будут разными. Их равенства можно добиться за счет изменения величины циркуляции вокруг составного конРис 68, Второй вариант задания замыкающого конттра тура, для чего нужно сме- щать в сторону границы каверны, на которой скорость окажется больше, критическую точку на замыкающем контуре. Процедура расчетов будет следующей. Для заданного составного контура и заданного положения критической точки на замыкающем контуре решают прямую задачу и определяют функцию о~ (зз).
Далее с помощью уравнений (4.8) и (4.9), а в случае гладкого отрыва каверны, также уравнения (4.10), раздельно находят скорости на обеих частях границы каверны и координаты точек их замыкания. В случае разницы в скоростях производят указанным выше образом смещение критической точки и все расчеты повторяют вновь, в том числе вновь определяют значение функции щ (аз). После нескольких расчетов в результате интерполяции определяют искомое положение критической 'точки и производят построение обеих границ каверны путем расчетов по формуле (4.7). Описанная процедура расчетов повторяется на каждом шаге приближений. На рис. 68 схематически изображена пробная граница каверны (пунктирная линия) и граница каверны некоторого приближения (тонкая сплошная линия) для случая замыкающего контура, представляющего собою отрезок прямой линии, перпендикулярной вектору ' скорости невозмущенного потока. Замыкающий контур характерен тем, что на нем не возникает подьемной силы, поэтому подъемная сила, приложенная к кавитационному профилю, может быть вычислена как по формуле Жуковского через значение циркуляции по замкнутому контуру, охватывающему профиль и каверну, так и путем интегрирования давлений непосредственно по контуру профиля.
Третий вариант. Процедура расчетов по этому варианту одной из частей границы каверны полностью совпадает с процедурой расчетов при симметричном течении (см. $ 21) по третьему варианту, поэтому повторно здесь излагаться не будет. Другую часть каверны рассчитывают точно так же, но для нескольких значений координаты точки замыкания каверны Ь. После перебора ряда значений Ь путем интерполяции определяют то ее значение, при котором обеспечивается равенство скоростей на обеих частях границ каверны. При проведении указанных расчетов нет надобности каждый раз использовать уравнение (4.7), поскольку значение координаты Ь и скорости о, определяют из других уравнений (см.
й 21). Расчеты частичной кавитации на профиле ничем не отличаются от описанных выше расчетов по трем вариантам, если часть профиля вне каверны отнести к части замыкающего контура, имеющей фиксированные координаты. Расчеты особенно упрощаются, если частичная кавитация имеет место только на одной из сторон профиля. Тогда отпадает необходимость в сравнении скоростей на различных частях границы каверны, и процедура расчетов обратной задачи полностью совпадает с процедурой, соответствующей симметричной задаче. Что касается прямой задачи, то как при наличии одной каверны, так и двух, расчеты следует выполнять с учетом постулата Чаплыгина — Жуковского о конечности скорости на задней кромке профиля.
Подход к решению задачи о несимметричном кавитационном течении в канале со стенками произвольной формы точно такой же, как и для случая течения симметричного, поэтому все подробности расчетной схемы можно найти в Э 22. Основным звеном этой схемы является последовательное решение прямой и обратной задач на каждом шаге приближений, которые решаются точно так же, как решались в случае безграничного потока.
При этом расчетные уравнения для решения обратной задачи остаются прежними, а для решения прямой задачи можно легко получить систему уравнений, аналогичную системе (4.17), или же другие уравнения, вывести которые можно, исходя из соображений, принятых при выводе уравнений (2.13) и (2.16). В отличие от системы (4.17), состоящей из двух уравнений, в случае несимметричного течения новая система будет содержать четыре уравнения для определения вихревой интенсивности на верхней и нижней стенках трубы и на верхней и нижней сторонах контура продольного сечения тела, границы каверны и замыкающего контура.
В заключение настоящего параграфа нелишне вернуться к некоторым качественным соображениям о сходимости 7 заказ № мэ последовательных приближений при решении кавитационных задач изложенным выше способом. Основная особенность метода — последовательное решение прямой и обратной задач на каждом шаге приближений. При этом роль прямой задачи заключается в определении невязок, характеризующихся величиной отклонения скорости в точках границы каверны от некоторого среднего значения. Поскольку для решения прямой задачи привлекаются точные уравнения, то величину невязок можно, в принципе, определять с любой степенью точности.
Последнее обстоятельство позволяет ослабить требования к точности решения обратной задачи, заключающейся в определении по величине невязок деформации контура границы каверны. Последние служат для корректировки указанного контура на каждом шаге приближений и представляют величину зазора между границами каверны двух последующих приближсний, который, как это следует из формулы (3.49), по мере уменьшения величины невязки стремится к нулю. В пределе при о,* — = 1 все уравнения обратной задачи удовлетворяются тождественно.
Таким образом, точность решения кавитационной задачи будет определяться точностью решения задачи прямой. Другая особенность задачи состоит в том, что искомая величина у' (з), являющаяся разностью углов между касательными к границам каверны двух последующих приближений, будет всегда величиной малой. Это в некоторой степени оправдывает применение для решения обратной задачи уравнений линеаризованной теории даже в том случае, когда граничные условия сносятся на контур, сам по себе оценке (3.2) не удовлетворяющий. При этом удовлетворение условию (3.2) для функции у' (з) не составляет никаких трудностей и при выборе пробной границы каверны, поскольку на ее концах всегда будет выполняться равенство у' = 0 в силу того, что пробная граница имеет общую касательную с основным и замыкающим контурами.
Ниже, в 5 25, 26 приведены результаты численных расчетов плоских кавитационных течений для случаев безграничного потока, канала с параллельными стенками и решетки профилей. Приведены также результаты специальных исследований, которые позволяют судить о сходимости решения кавитационной задачи в зависимости от некоторых характеристик пробной границы каверны и замыкающего контура. а 25. Расчет каантащнонного обтекаиня профнпей крыпьеа Результаты приведенных в настоящем параграфе расчетов„ анализ которых подволяет выяснить некоторые аспекты сходи- мости метода последовательных приближений при решении кавитационных задач, а также результаты численных расчетов кавитационного обтекания различного типа профилей крыльев 9В в режимах частичной кавитации и суперкавитации, получены путем последовательного решения на каждом шаге приближений прямой и обратной задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
