А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Интегральное уравнение (2,1?) будем рассматривать только для значений з, находящихся в пределах выделенного элемента. Тогда второй интеграл выражает ни что иное, как величину проекции иа нормаль к этому элементу скоростей, индуцированных частью вихревого слоя, находящегося вне элемента. Вычислять скорости точно нет надобности.
Достаточно лишь знать вид функциональной зависимости скоростей от координат выделенного элемента контура, В пределах выделенного элемента касательная к части контура, соответствующей твердому телу, считается непрерывной. Очевидно, что при рассмотрении кавитационной задачи необходимо считать непрерывной и касательную к границе каверны, которая как сказано выше, в точке отрыва совпадает с касательной к поверхности тела.
Вспомнив свойства скоростей, индуцированных вихревым слоем вблизи его концов (см. $ 13), а также принимая во внимание непрерывность касательной во всех точках контура, легко установить, что указанные скорости в пределах выделенного элемента будут выражаться непрерывной функцией, имеющей логарифмические особенности' на концах элемента. Учитывая сказанное, уравнение (2.17) можно представить в виде — Т(з,)дз,=Г(х, а) — и з1пс, (2.18) 1 Г сов(гь Г) с2о ~ г~ (з гч) где через Р(х, а) обозначена указанная выше функция, выраженная в декартовых координатах и взятая с обратным знаком, Переходя в формуле (2.18) к переменным в декартовой системе координат, после несложных вычислений на основе геометрических соображений, ясных из рис.
46, можно сделать следующие оценки, справедливые при х- х~ соя(гь () =1+у~у +О(у~ ); г,=(х — х~) ~1+у~ /2+0 (у~ )); т (зД сй, =т (х ) с(х, (1+ у1/2+ 0 ( у, )]; и з(пс=з(п(п, х1 — у'соз(п„, х,+О(у'),) (2.19) 57 где х, у, хь у1 — значения декартовых координат фиксированных и переменных точек контура соответственно; у' — значение производной по х-функции, дающей зависимость от х-ординат точек рассматриваемого злемента контура на отрезке — е (х(е; 0(у") выражает порядок малости величины; (о,х)— значение угла наклона вектора скорости невозмущенного потока к оси х.
После отбрасывания во втором и третьем выражениях системы (2,19) членов четвертого и выше порядка малости ) (з1) з51 т (х1) ФХ1 гз х — х1 (2.20) В правой части четвертого равенства (2.19) можно отбросить члены второго и выше порядка малости, а первого — только члены четвертого и выше порядка малости. Для части интеграла, зависящего от членов второго порядка малости, тре.- буется специальная оценка, поскольку в подынтегральном выражении знаменатель при х1- х обращается в бесконечность. Зта часть имеет вид е у у~) и'х1 х — х1 -е (2.21) Оценка интеграла (2.21) может быть выполнена следующим образом у у~) (х,) Фх1 — у ) (х) Их, +'у т (х) дх1 х — х1 Соотношение (2.23) можно рассматривать как линейное интегродифференцнальное уравнение смешанного типа. А именно, нри — е(х(0 задана функция у'(х), а определению подлежит .у(х).
При 0(х«е подлежит определению у'(х), а у=соне(, которая определяется, как будет показано ниже, из дополнительного соотношения. =у'Р1(х, з)+у' ( 1п (2,22) где у',= у'(хз), а Р1 — ограниченная непрерывная функция при — е(х(е, имеющая производную вблизи точки х=0, Учитывая выражение (2,20), а также приведенные оценки, уравнение (2,18) можно представить следующим образом е — "' =Ге(х, з)+у'(х) Гз (х, е), (2.23) где Гз= — Р(х, е) — э з!п(п„, х); гз-- п„соз(п, х) — Рь По условию кавитационной задачи функции у'(х) и 7(х) непрерывны во всех точках контура, а в точке отрыва каверны от тела в принятой системе координат у'(х) = О. Если правую часть равенства (2.23) считать пока известной функцией при — е(х(е, то можно применить формулу обращения сингулярного интегрального уравнения [18], отвечающую конечным значениям 7 в точках .-Ье ) 2 )/2 2 ~ Гз(х1, 4)+у'(х1)ЕЗ(х1, 4) у (2 24) 11/ 2 2 (х1 — х) г 4 — х1 При этом сумма функций, стоящих в числителе формулы (2.24), должна быть такой, чтобы выполнялось равенство а Рз+ у'(х1) ГЗ Х1= 1/ 2 2 (2.
25) у (х1) Гз (х1, 4) их1 1о — Р4 (х, 4) (2.26) О ( х,) 1/42 хз У'2 —" )/42 х2 в Рз (х1, 4) 4(х1 + 11/ 2 2 1 о + ~ Рз (х1, 4) у' (х1) 41х1 - 4 (х — х ) 1/ 42 — хз (2.27) Здесь для точек границы каверны ввиду постоянства скорости принято 7(х) =та=сопя(. Оценка интегралов в правой части выражения (2.27) с учетом характера функций Рз(х, е) и у'(х) показывает, что функция Р4(х, е) в интервале 0(х~е конечна и непрерывна. Соотношение (2.26) можно рассматривать как сингулярное интегральное уравнение для определения функции, стоящей множителем при ядре 1/(х — х,).
Вследствие того, что эта функция при х1-4-е обращается в бесконечность, а при х- 0 После определения формы границы каверны и подстановки полученного результата в выражение (2.26) указанное дополнительное соотношение может быть использовано для нахождения величины постоянной скорости на границе каверны, равной у, или же числа кавитации. Вводя для известной части интеграла в формуле (2.24) обозначение Р4(х, е), уравнение (2.24) можно преобразовать к виду конечна, для решения уравнения следует пользоваться той формой обращения, которая дает конечное значение этой функции в точке х=О и бесконечное значение в точке х=е.
После несложных преобразований решение уравнения (2.26) может быть записано в следующем виде 1 ох*) ~ в — ~о, ! з„ь азз) хз(х ') " (хг — х) ух! (з+ х1) С учетом формулы (2.29) выражение для производной у'(х) в окрестности точки отрыва каверны при стремлении к ней со стороны каверны можно представить в виде х — ао + а1 х + агхг + г (х з) (2,30) Ряд, стоящий в числителе уравнения (2.30) является произведением ряда (2.29) и ряда, полученного при разложении выражения тз+х в формуле (2.28) по степеням х для х(е. В принятой системе координат кривизна границы каверны вблизи точки отрыва равна второй производной от у(х). Дифференцирование уравнения (2,30) дает у" (ао + Загх + агхг +, .
) го (х, з) 2 ух Е~~(х, ) Гх (а +а1х+агх + ...)Гз(х, з) (2.31) з( ') Поскольку, как это следует из формул (2.22) и (2.23), производная г',(х, з) — величина, ограниченная при х- О, то соотношение (2.31) можно представить в виде ряда уа= о +Ь,)'х +Ь,х ~/х + где коэффициенты Ьо, Ьь Ьг... являются ограниченными функциями х. В новой системе координат, повернутой на некоторый угол относительно системы, принятой при выводе формулы (2.32), (2,32) во Предположив, что в окрестности точки х=О функцию г4 можно представить в виде степенного ряда, бесконечного или конечного, интеграл в правой части формулы (2.28) можно вычислить в явном виде.
Тогда для малых значений х, стремящихся к нулю со стороны каверны, результат интегрирования может быть представлен в виде следующего ряда с,+с,х+с,х'+... (2.29) ряд будет содержать кроме членов с дробными степенями х также члены с целыми степенями. Из уравнения (2.32) следует, что вблизи точки отрыва каверны кривизна ее границы в общем случае обращается в бесконечность. Она становится конечной только в том случае, когда коэффициент первого члена ряда (2,32) обращается в нуль, т. е.
при Ьз=О. При рассмотрении кавитационного обтекания тел, касательная к продольному сечению которых в некоторых точках изменяется скачком, обычно считают, что точки отрыва каверны совпадают с точками разрыва непрерывности касательной. В этом случае форма границы каверны в окрестности точек отрыва определяется полным рядом (2,32), При рассмотрении обтекания' тел с конечной, непрерывно меняющейся кривизной возникает некоторая неясность в определении точек отрыва каверны.
Если их назначать произвольно, то форма каверны будет определяться полным рядом (2.32). Если же в соответствии с условием Бриллюэна — Вилля кривизну каверны в точке отрыва считать конечной, то форма каверны определится рядом (2.32) без первого члена, т. е. полагается, что Ь0=0. Поскольку коэффициент Ь, является функцией х, условие Ь,=О может быть в принципе использовано для определения координаты точки отрыва каверны от тела. В реальных условиях картина течения вблизи точки отрыва каверны от тела существенно усложняется совокупным влиянием капиллярности жидкости и вязкости, что будет рассмотрено в гл.
И, Вместе с тем, во многих практически важных случаях этим влиянием можно пренебречь, поэтому методы расчета кавитационных течений, изложенные в дальнейшем, базируются на модели, не учитывающей вязкость и капилляр- ность жидкости. ГЛАВА 111 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ При решении нелинейной кавитационной задачи в дальнейшем использованы некоторые элементы линеаризованной теории обтекания тел идеальной жидкостью. Изложение общих принципов этой теории можно найти, например в книгах [15, 28].
Здесь же рассмотрены некоторые вопросы теории в связи 61 с использованием их непосредственно при решении плоской задачи обтекания тел идеальной жидкостью, Приведено решение обратной линеаризованной задачи, которое, собственно, и используется в дальнейшем как составной элемент решения кавитационной задачи. и 17. Обтекание стенки при наличии местной деформации Рассмотрим влияние местной деформации на обтекание плоской стенки бесконечной протяженности (рис. 47). Предполагается, что в отсутствии деформации над верхней половиной изображенной на рисунке стенки поток будет невозмущенным„ параллельным стенке. Рис. 47. Обтекание деформированной стенки Деформация считается настолько малой, что скорости возмущения, вносимого ею, малы по сравнению со скоростью не- возмущенного потока о «1 — „«1, О где и, о1 — проекции скорости возмущения на оси х и у соответственно.
Основное ограничение линеаризованной теории, накладываемое на форму контура поперечного сечения тела, непосредственно следует из условия (3.1). Так как вектор скорости в любой точке контура, соответствующего границе стенки, направлен по касательной к нему, то тангенс угла между касательной к контуру и осью х (рис. 47) у'(х)= „1 "О, следовательно, в соответствии с выражением (3.1) у'(х) « 1. (3.2) Если обтекание деформированной стенки заменить обтеканием слоя источников. то допущение линеаризованной теории дает возможность установить простую связь между интенсивностью источников и производной у'(х) д (х) =2п„у'(х)+0(у'), (З.З) где д — погонная интенсивность источников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
