А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 26
Текст из файла (страница 26)
д. Для решения прямой задачи на всех шагах приближений могут быть использованы уравнения (5.7) — (5.10), которые относительно искомых функций у (з) и д(з) являются линейными интегральными уравнениями. Численное решение их принципиальи ных трудностей не представляет и здесь рассматриваться не будет. При решении обратной осесимметричной задачи можно поступать так же, как это делалось при рас- Рис.
101. схема течениЯ вблизи слоя источников смотрении задачи плоской, а именно, размещать на пробной границе каверны и границах каверны соответствующих приближений слой источников. Из кинематических соображений, ясных из рис. 101, можно написать оде бр= оо (5.18) ди 2 (5.19) Если допустить также, что мал и угол между касательной к контуру меридионального сечения каверны любого приближения и вектором скорости невозмущенного потока, то легко показать, что для второго члена правой части уравнения (5.19) справедлива оценка где у', — тангенс угла между осью симметрии течения х и касательной к меридиональному сечению слоя источников.
Таким образом, принимая во внимание указанную оценку, а также формулы (15.18) и (15.19), связь между величиной 131 где Ьу' — тангенс угла между касательными к контурам меридиональных сечений каверн двух последовательных приближений; о „вЂ” нормальная к контуру сечения каверны последующего приближения компонента скорости, вызванная слоем, расположенным на границе каверны предыдущего приближения. Для Лу'С(1 эта компонента будет отличаться иа величину второго порядка малости 0(бу'в) по сравнению с единицей от компоненты, нормальной к слою, для которой справедливо выражение деформации и интенсивностью источников можно выразить следующим образом: (5.20) Формула (5,20) совпадает с формулой (3.7) плоской задачи.
Скорость, касательная к меридиональному сечению границы каверны и вызванная слоем источников, может быть определена из соотношения 2 Ж 4~у (~) а где а, Ь вЂ” дуговые координаты точек отрыва и замыкания ка- верны; к,— —," (и л!я!а! — кр!!.!-е"! !~! — е! — „!! — ~!!); /-- а„=-соя'(л, х), л„=сов'(л, у). (5.22) Ядро К! составлено из комбинации соотношений (5.12) и (5.13). С принятой при выводе формулы (5.20) точностью сумма скорости о,(з) и касательной к меридиональному сечению каверны скорости в отсутствии слоя источников о! (з) должна равняться скорости на границе каверны и! (3)+о! (3) =02 ° (5.23) Функция К! (з, з!) при з, -+.
з имеет особенность порядка (з — з,) — '. После ее выделения уравнение (5.23) может быть приведено к виду Ь ,) 2 '~0 ~! (з) с2 (з) 1 Г ч(2!)Дз! (5.24) Й где е2 (з)-=- ~, ~ ~ '~ ' ' — ~ !7 (з!) г(з! . (5.25) а Функция о2(з) является регулярной, поскольку ядро в формуле (5.25) имеет слабую особенность логарифмического типа. Интегральное уравнение (5.24) с ядром Коши может быть приведено к виду (3.9), соответствующему плоскому течению 2 ! ~ !!У~ (5!) !/2! (5.26) и Ю вЂ” 2! а 132 где под о",(з) следует понимать функцию о! (з) + оз (з) оо (5,27) Таким образом, для осесимметричного кавитационного течения будут иметь силу все качественные характеристики, свойственные плоскому течению. В частности, особенности формы границы каверны вблизи точки отрыва будут такие же, что и в плоском течении, что согласуется с результатами, приведенными в $ 30.
Остаются в силе также все соображения, связанные с выбором формы пробной границы каверны и контура меридионального сечения замыкающего тела, а также методы его уточнения в л уту процессе решения задачи (см, в 20, 21). На рис. 102 сплошной линией изображена одна из ветвей равнобочной гиперболы, соответствующая ядру Коши интегрального уравнения плоской обратной задачи, а пунктиром — качественная зависимость ядра Кг(г, зг)! 2у (з) задачи осесимметричной. При малых значениях [г — зз[, не привышаю- Рз йр щих радиуса поперечного сечения ка- 7 верны, эти ядра близки между собою рнс. 1о2.
зависимости ядер по величине, а при [з — зг[ — 2-0 асими- интегральных уравнений тотически растут до бесконечности по плоской и осесиыиетричной задач от величины (з — л1) одинаковому закону. При [и — зг[- оо оба ядра стремится к нулю — ядро Коши по закону [з — зз[ ', а ядро интегрального уравнения осесимметричной задачи, как [з — зг[ В связи с таким характером поведения ядра при малых и больших значениях [л — зз[ естественна мысль об использовании результатов решения плоской обратной задачи [формулы (4.7)— (4.10)[ для расчета осесимметричного кавитационного течения.
Как видно из рассмотрения подынтегральных функций в указанных формулах, основной вклад при вычислении интегралов определяется теми участками интегрирования, где [з — з~ [ является величиной малой, в особенности вблизи точек отрыва и замыкания каверны. Это дает основание рассчитывать на то, что плоская обратная задача даст достаточно хорошее приближение при расчете осесимметричного кавитационного течения. Пространственность же течения учитывается тем, что функция щ (зз), входящая в формулы (4.7) — (4.10), берется из решения прямой осесимметричной задачи. При совпадении расчетной границы каверны с истинной уравнения (4.7) — (410) удовлетворяются тождественно.
133 Погрешность при таком подходе к решению обратной осесимметричной задачи может быть оценена. Она обусловлена пренебрежением в правой части уравнения (5.24) слагаемым а,(з). Из формул (5.25) и (5.20) следует, что величина о,(з) имеет порядок Лу'. Величина о~ (з), также являющаяся слагаемым в правой части равенства (5.24), имеет порядок единицы. Следовательно, при вычислении величины скорости на границе каверны из уравнения (4.8) относительная погрешность имеет порядок Лу'. При Ьу'-+.0 стремится к нулю н погрешность. С такой же точностью вычисляются и левые части уравнений (4.9) и (4.10), из которых определяются координаты точек отрыва и замыкания каверны. Что касается оценки погрешности прн вычислении Лу'(з) по формуле, аналогичной (4.7), то здесь возникают затруднения, связанные с тем, что в числителе стоит разность двух величин оэ и о*, (з), имеющих один и тот же порядок.
Однако при необходимости функция оз(з) может быть определена методом последовательных приближений по формуле (5.25), что приведет к уточнению величины в*,э В первом приближении при вычислении оз(з) в правую часть уравнения (5.25) подставляется функция д(з~), найденная с помощью соотношений (4.7) — (4.10). После этого уравнения (4.7) — (4.10) решаются уже с учетом оз(з~) первого приближения и т. д.
Такой способ решения обратной задачи успешно применялся не только для расчета осесимметричного кавитационного течения, но и для расчета течения при наличии слабой асимметрии [26). Возможен и другой прием решения обратной задачи, использовавшийся в э 25 и 26 при решении плоских задач. В этом случае интервал интегрирования в формуле (5.21) разбивается на конечное число отрезков, на которых принимается какой-либо вид аппроксимации функции 7(з~).
При этом уравнение (5.23) удовлетворяется в конечном числе контрольных точек, тем самым оно аппроксимируется системой линейных уравнений относительно коэффициентов, определяющих функцию д (з,) на каждом отрезке аппроксимации. Параметр оэ и параметр, служащий для уточнения замыкающего контура, определяется из условия замкнутости границы каверны и непрерывности касательной при переходе с границы каверны на замыкающий контур (см. й 25). Для решения обратной задачи может быть использован также способ, примененный в работах (7, 8], где координаты точек контура меридионального сечения каверны определяются из нелинейного уравнения типа уравнения (5.8), которое ниже приведено в виде, удобном для вычислений: 1 ( 1 (' (к'(ь) 8! +Е (~) сз) т (~) л~ .
(" 28) 4пу (х) Р~ 134 где 51=у у+(х — ч) 52=-у 2 у '4 (х 1) 1+ 2 л' А. остальные обозначения те же, что и в формулах (5.!2) — (5.15), а х= ~! соответствует абсциссам точек пересечения составного контура с осью х. Если в уравнении (5.28) считать известными значения т($) в точках составного контура, включая границу сечения каверны, где у =то = ом то выражение (5.28) можно рассматривать как нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для определения координат границы каверны.
Его можно решать методом последовательных приближений, подставляя в правую часть известные значениЯ Т ($) и Тч и значениЯ кооРдинат меРиДионального сечения пробной границы каверны или каверн последующих приближений. Сами последовательные приближения при решении уравнения (5.28) сходятся довольно быстро, но со сходимостью решения кавитационной задачи в целом дело обстоит сложнее. Поскольку параметр Тз при решении уравнения (5.28) определить невозможно, его следует определять при решении задачи прямой. Так и сделано, по существу, при применении для решения плоской обратной задачи соотношений (4.7) — (4.10), поскольку при вычислении параметра пч = т, по формуле (4.8) исходной служит функция р(з~) = о~ (з~), определенная из решения задачи прямой.
Представляется естественным и при вычислениях координат точек границы каверны с использованием уравнения (5.28) параметры и,, а и Ь определять из соотношений (4.8), (4.9) и (4.10), тем более, что по приведенной выше оценке относительная погрешность, обусловленная неучетом функции пз (з~), известна и имеет порядок Лу'.
Таким образом, в отличие от описанных выше приемов решения обратной задачи, здесь для определения координат границы каверны используется точное уравнение, Основные ошибки расчета в этом случае будут обусловлены неточностью определения указанных выше параметров и функции т(З) на контурах меридионального сечения основного и замыкающего тела, которые при решении уравнения (5.28) следует считать известными. О погрешности в определении пм а и Ь уже было сказано. Для уменьшения погрешности в определении функции 7 ($) оказался эффективным следующий прием.
После задания формы составного контура решается прямая задача. Полученные данные принимаются в качестве исходных для решения обратной задачи с использованием соотношений (4.7) — (4.10) плоской задачи. Такой прием позволяет откорректировать форму пробной границы каверны вблизи точек отрыва и замыкания таким образом, что как у (х), так и функция т (х) в их окрестности будут иметь вид, соответствующий точному решению осесимметричной кавитационной задачи, Это, как было показано выше, объясняется совпадением в «малом» уравнений плоской и осесимметричной задач. Далее на всех этапах приближений на участках, непосредственно примыкающих к точкам отрыва и замыкания каверны, для у(х) и у (х) принимаются аппроксимации, соответствующие точному решению, а именно, формулам (4.2), (4.4).
Следующий этап в вычислениях заключается в решении прямой задачи для составного контура с откорректированной формой пробной границы каверны. При этом на всей части составного контура, соответствующей границе каверны, функция у (х) принимается постоянной, равной ее значению, вычисленному по формуле (4.8) с использованием значений у(к), соответствующих пробной границе каверны. Поскольку значение уа и координаты границы каверны вблизи точек отрыва и замыкания вычисляются достаточно точно, следует ожидать также удовлетворительной точности в определении функции т (х) на частях составного контура, соответствующих основному и замыкающему телу. Найденные значения т(х) и та используют далее для решения уравнения (5.28), В последующих шагах корректировок границ каверны различных приближений с помощью формулы (4.7) уже не требуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
