Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(8. 18Ь) Уравнения (8.18) являются вариантами записи хорошо знакомого уравнения неразрывности. Подставляя выражение (8.18а) в уравнение (8.15), получим часто используемое уравнение т, ~рф-= ~р — '„<д' ни) чш (8.19) Так как <р здесь может быть любой скалярной величиной и, в частности, любой компонентой вектора и тензора, то уравнение (8.19) справедливо и для случаев, когда <р — любая скалярная, векторная или тензорная функция. (8.21) р (Рч/Р<) = ра = рГ + и ° Т, где а — = Рч/Р1 — ускорение жидкой частицы.
Общность уравне- ния движения Коши (8.21) ясна из того факта, что оно не за- висит от определяющих соотношений среды. 8.5. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОШИ Сейчас мы выведем одно очень общее уравнение, справедливое для любой среды,— уравнение движения Коши. Поверхностный интеграл в уравнении (8.1) можно переписать следующим образом !см. разд. 1.7 и замечание к уравнению (8.5)]: ~ 1„Ю = ~ и Т сИ = ~ Р .
Т д!т. (8.20) Из теоремы переноса Рейнольдса в варианте (8.19) следует, что первое слагаемое уравнения (8.1) равно ~ р(Рч/Р!) Л'. Учитывая в уравнении (8.1) этот результат, а также результат (8.20), найдем в силу произвольности объема интегрирования, что 254 8. Магнитные жидкости и несимметричные наяряжения 8.6. СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕПОЛЯРНЫХ СРЕД Левую часть уравнения (8.6) с учетом равенства (8.!9), в котором функция ф заменена на гХч, можно переписать в виде и ~р(гХч)д)т=)рв, (гХч)сй' (8.22) Так как — (г Х ч) = — Хч + г Х вЂ” = ч Х ч + г Х а = г Х а, 0 !зт 0т то уравнение (8.6) преобразуется к виду ~ р (г Х а) сЛ1 = ~ р (г Х Г) д)т + $ (г Х 1„) йЗ. (8.23) 3 Поверхностный интеграл можно записать в следуюшей более удобной форме; $(г Х1„)д5= ~ г Х(п ° Т) д5= $(п'Т)Хгдо'= — $п (ТХг)дЯ= — ~Ч ° (ТХг)д)т.
(8.24) Далее мы будем использовать так называемый альтернатор, или единичньсй антисимметричный тензор ес (8.25) е = ете!ееет!е, где +1, если !)й = 123, 23! или 312, вне —— — 1, если фг = 321, 132 или 2!3, О, если 1=1, (=те или )=й, (8.26) — !т (Т Х г) = г Х (т ° Т) + А, где А — нсевдовектор, определяемый соотношением А = ет!ее,Т!е, (8.27) (8.28г а е„еп е„— единичные вектоРы вдоль осей с, 1, й соответственно. Таким образом, в = (е~езез + стезе~ + езе,е, — е,езе, — езе~ез — езезе1). Альтернатор — пример полиадинсб отметим, что векторное произведение векторов базиса определяется формулой е; Х е; = = енеее. Покажем, что 8.б.
Симметрия тензора напряасениа для неполярных сред 255 Доказательство. В покомпонентной записи выражение ч (ТХг) можно преобразовать следующим образом: д — (е,езТ33 Х е,х,) = ддт33 дх (е! . Ч) (ез Х е!) (х! д. + Т,„д. 1 дт!3 б3!ЕмтЕ з! Х! ! + б33733) = дх дТ!3 ез, е х, +еи, е Тм —— дх дт — езя„,е,„х! — — е ззеы733 = / — гХ(Р . Т) — А, ч. т. д.
ч (ТХ г)= Выясним смысл этого необычного вектора А: А = ец,езТ3, —— = е!!зезТ33 + ез!зезТ;3+ езтяезТ!3 = = е! (723 — 732)+ е2(73! — 7,3) + ез(7!2 — Тм). (8.29) В матричной форме тензор Т, записывается в виде — 72! Т!3 — 73! 0 Ттз — Тзз = (8.31) — Т„О 0 ! Т, = — ҄— Т„ Т!2 7„7, Аз 0 — А з А, (8.32) — А, Так как Т=е,е,Ти+ е,е,Тьз+ ... + е,е,Т33 — — е,езТО, то чесТ =е, Х е,Ти+ е, Х е,Тм+ ... + е, Х сэТ33= = Е, Х е373! — — еыиТИез = езиезТ3! — — А. (8.33) Таким образом, вектор А имеет следующие компоненты: А! = 723 — Т.з.
Аз = Тм — Тни А, = Т!2 — Тзи Как УказываетсЯ в приложении 1, всякий тензор второго порядка Т можно представить в виде суммы симметричной Т, и антисимметричной Т, частей: Т =Т + Т Т = !332(Т+ Тт) Та = 3332(Т Тт) (8 30) 256 В. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения Таким образом, А есть вектор, соответствующий тензору Т'>. При помощи альтернатора е соотношения, определяющие вектор А через тензор Т и тензор Т, через вектор А, можно записать в следующем виде: А= — е; Т, Т,=-/р А. (8.34) (8.35) ! Т, = — е А = '/те,егезеои е,А = '/,е;егензА = '/,(е,ез — ете,) А.
Полученное выражение и является искомым представлением тензора Т,. Подставив это выражение в уравнение (8.34), найдем ! А = — е,е!еивни . '— (е,е, — езе,) А = = — (е,е,ез + е,езе, + е,е,ез— ! — е,езе, — езе,ез — езезе,): — (е,е, — е,е,) А = = [(езез — е,ез) е, + (езе, — е,ез) е!](А/2) = Ае,. Подставив выражение (8.2?) в выражение (8.24), а полученный результат в уравнение (8.23) и выделив интеграл, содержащий вектор А, получим уравнение ~ гХ(ра — рà — ч Т) Л'= ~ Ас()т. (8.36) Величина в скобках здесь равна нулю согласно уравнению движения Коши (8.2!), поэтому для неполярной среды вектор А н Определение вектора, соответствующего тензору тест, сн.
в приложения !.— Прим. перев. Правильность уравнений (8.34) и (8.35) можно установить, выписав их проекции на оси координат по правилам тензорной алгебры и сравнив полученные выражения с выражениями (8.28), (8.33) и (8.32). При вычислении произведений нескольких сомножителей используется правило «изнутри наружу» (см. приложение 1). Заметим, что если А =О, то Т, =О, и наоборот. Кроме того, А = О, если Т вЂ” симметричный тензор, и наоборот. Пример. Предположим, что вектор А направлен вдоль оси 3, так что А =Аез, найдите при помощи уравнения (8.35) выражение тензора Т, в виде комбинации базисных диад.
Проверьте, что вектор А обратно восстанавливается из полученного результата по уравнению (8.34). Решение. 257 8.7. Полярные среды равен нулю. Так как А = О, то антисимметричный тензор напряжений Т, также равен нулю; в результате из уравнения (8.30) следует, что в неполярной среде тензор напряжений симметричен; это подтверждает правильность результата, эвристически полученного в равд. 8.3. Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы рассмотреть полярные среды, которые являются предметом следующего раздела.
8.7. ПОЛЯРНЫЕ СРЕДЫ Всякая система может обмениваться с внешним окружением не только импульсом, но и моментом импульса. Приток импульса в систему от источников, действующих на расстоянии, учитывается введением силы Г, рассчитанной на единицу массы. Аналогично приток в систему от отдаленных источников момента импульса учитывается при помощи момента сил С, рассчитанного на единицу массы.
Действие смежной с границей системы среды учитывается поверхностным напряжением 1„= =и Т вЂ” силой, рассчитанной на единицу площади; соответствующий приток импульса может накапливаться внутри системы или передаваться в окружающую среду. Аналогично, смежная с границей системы среда может вырабатывать на ее границе момент сил с„рассчитанный на единицу площади.
Плотность полного момента импульса Е представляется в виде (8.37) $.=гХ ч+ э, где гХ ч — внешний, или орбитальный, момент импульса, а а— внутренний момент импульса, рассчитанный на единицу массы, или спин. При помощи поля спина а учитывается вращение или спин коллоидных магнитных частиц среды и увлекаемой ими вязкой жидкости. Существует взаимное преобразование внутреннего и внешнего моментов импульса друг в друга. Для выяснения природы такого преобразования введем интегральное уравнение, описывающее баланс полного момента импульса полярной средьи — ~ р(э+ г Х ч)й)т= = ~ (рб + г Х рГ) сЬ' + $ (с„+ г Х 1~) йЗ (8 38) Слагаемое, содержащее с„как отмечалось, учитывает возможное наличие плотности поверхностного момента сил, действующего на элемент поверхности й5. Выясним свойства величины с,. Рассмотрим неподвижный бесконечно малый контроль- 268 8.
Магнитные жидкости и несимметричные напряжения ный объем в виде тетраэдра, изображенный на рис. 8.6, так что все величины почти постоянны внутри него и на его поверхности. Записав уравнение (8.38) для контрольного объема в виде 1 х1 Рнс. 8.6. Контрольный объем в виде тетраэдра, на который действуют по- верхностные моментные напряжения. тетраэдра и оставив только слагаемые наибольшего порядка, получим равенство ~ с„Ю=О (8.39) где а,, аи, а,— площади граней тетраэдра.
Применяя аналогич- ным образом интегральное уравнение (8.39) для плоского эле- мента объема (пластинки), найдем (8А1) с< ю= — сень Уравнение (8.40) при помощи равенства (8.41) и соотношений а„=п.!а, пи=и. )а, п,=п ка можно пРеобРазовать к видУ (тск+1си+ )ссе). (8.42) Диадик в скобках называется тензором можентных напряжений С. Моменты сил, описываемые этим тензором, могут возникать (здесь интеграл взят по поверхности тетраэдра), которое при помощи обозначений, введенных на рис. 8.6, может быть записано в виде п„с~ ю+ аис~ ю+ вес~-г~+ оси=О, (8.40) 259 8.7. Полярные среды из-за физического процесса диффузионного переноса внутрен- него момента импульса (8.43) С = !с„+ )се+ (сс,. Таким образом, с„= и С, поэтому уравнение (8.38) при помощи уравнения (8.24) и теоремы о дивергенции можно записать в виде — ~ р (а + г Х ч) дУ = ~ [рб + г Х рР + Ч С вЂ” 7 (Т Х г)) е(У; (8.44) учитывая еще соотношение (8.27), получим — ~ р(а+ г Х ч) е(У = = ~ [Рб + г Х Рг + Ч ° С + г Х (7 ° Т) + А) дУ.
(8 45) Применяя уравнение (8.)9) к левой части (8.45) и учитывая произвольность объема интегрирования, находим дифференциальное уравнение для изменения полного момента импульса: р — (а + г Х ч) = рб + г Х рГ + Ч С + г Х (Ч Т) + А. (8.46) Уравнение (8.46) описывает как полярные, так и неполярные среды. Обратимся еще раз к рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
