Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 47
Текст из файла (страница 47)
При с( = 100 А = 10 — ' см и Я = = 2 см характерная длина 1 = 3,5 10 — см и кК = К/1о —— = 0,6 10о. Поэтому в дальнейшем будем считать, что кР » 1. Функции Бесселя, входящие в уравнения (8.79) — (8.82), имеют следующую асимптотику: 1, х -+ О, /о(х) = е"/~/2лх, х- оо, х/2, х- О, /,(х) = е"/1/2лх, х — оо. (8.84) Профили оо и о вдоль радиуса, согласно решениям (8.79) и (8.80), носят ярко выраженный погранслойный характер (рис. 8.9). Во всем объеме жидкости, за исключением тонкого пограничного слоя около стенки, оо постоянно; в пограничном слое толщиной порядка диаметра частицы оо падает до нуля. Профиль скорости вдоль радиуса линеен до самого пограничного слоя, т.
е. основной объем жидкости вращается с постоянной угловой скоростью. Эта скорость вращения определяется выражением Угловая скорость = — = оо 1е/1ч р 2(я+и о 1г МН з1п а. (8.86) Если коэффициент т1'=0 и, следовательно, нет диффузии спина, то, как видно из выражений (8.79) и (8.80) (при х- со и использовании асимптотических выражений (8.84) ], поле Следовательно, при к)7 » 1 т1 (Й) = т1+ Ь, оо = „+ роМН зйп а.
(8.85) 8Д! Двиясение магнитной лсидкости нод действием момента сил 271 спина пространственно однородно, а жидкость неподвижна. В случае когда поле спина пространственно однородно, то даже если т)' ) 0 и т) ) О, можно показать, проинтегрировав уравнение (8.72) при помощи условия (8.74) и ограничения о конечности величины о на оси симметрии системы, что и = О, т.
е. жидкость неподвижна. В этом случае микровихри компенсируют друг друга; диссипация энергии происходит, но течения жидкости на макроуровне не возникает; это обстоятельство привело некоторых авторов к заключению, что в таких системах возникновение вращательного движения жидкости невозможно. Тем 1п г Я (Ь) (а) Рис. 8.9. Решение задачи о течении магнитной жидкости во вращающемся поле показывает, что имеется очень тонкий пограничный слой с толщиной, равной по порядку величины расстоянию между частицами Пж (а) Профиль спина, (Ь) профиль скорости. См. (Зайцев и Шлиомис, 1969).
не менее мы видели, что, когда устанавливается неоднородное распределение спина из-за его диффузии от границы, движение на самом деле возможно. Однако имеется серьезное расхождение между теорией и экспериментом; в этом можно убедиться, если заметить, что максимальная величина ып а в выражении (8.86) равна 1. В эксперименте (Моз)соти)12, Козепэьие(д, 1967) роН = 0,0060 Тл, )( = 0,3, т) = 0,0012 кг м — ' с — ' и Я = 0,02 м. При величине )7/(о, вычисленной по формуле (8.83), и коэффициенте ь, полагаемом равным ть максимальное значение угловой скорости вращения составляет 0,0063 рад/с (0,06 об/мин). Это меньше экспериментально полученного значения в 1(Р— 10' раз.
Такое расхождение убийственно. Возможно, оно связано с предположениями, которые делаются при описании рассматриваемого эксперимента. О. А. Глазов (1976) предположил, что за наблюдаемое в эксперименте течение ответственны азимутально направленные градиенты приложенного поля; его анализ основан на том, что жидкость приводится в движение распределенными антисимметричными напряжениями в бегущем магнитном поле. 272 В. Мпгнитнме жидкости и несимиетричнме нанряжения 8.!2. ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ НАМАГНИЧИВАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ Однородное магнитное поле стремится ориентировать коллоидные магнитные частицы магнитной жидкости в направлении поля. Если жидкую смесь подвергнуть сдвигу, то из-за сопротивления ориентированных частиц их свободному вращению возникает дополнительное трение. В то же время броуновское движение и гидродинамические силы оказывают на частицы дезориентирующее действие.
Относительное движение между частицами и окружающей жидкостью приводит к появлению принципиально новых эффектов. Уравнения и соотношения, выведенные в этой главе, можно использовать для вычисления увеличения коэффициента эффективной вязкости.
За основу изложения -э- и Магншпнпя жнднппгнь гнпдзшннпя спгеяаа Рнс. здэ. Обозначения н задаче о сдангоаом течении намагниченной магнитной жидкости. здесь будет взята работа М. И. Шлиомиса (1972). В более ранних работах, например в работе (На!1, ВпзепЪегц, !969), броуновским вращательным движением пренебрегалось; это приводило к насыщению величины вязкости с увеличением поля при слишком низких значениях, меньших необходимых на один или два порядка. Проанализируем поставленную задачу на примере плоского течения Куэтта, схематично изображенного на рис. 8.10. Нам нужно получить величину касательного напряжения 7', действующего на неподвижную стенку: ) =(с [Т] 1. (8.87) Квадратные скобки здесь означают скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность раздела жидкость— твердое тело на граничной стенке; Т вЂ” сумма тензоров вязких симметричных, вязких антисимметричных и магнитных напряжений (см.
прим. ред. на стр. 279. — Ред.): Т=Т,+Т,+Т . (8.88) Для этой системы можно задать следующие условия: ч = ьга), (8.89а) 12 = й)), (8.89Ъ) Н =Н(с, (8.89с) 8.12. Эффективная вязкость намаенинивающейся жидкости 273 а также что давление р, величина поля Н, вихрь й, намагниченность М и угловая скорость «т постоянны. Намагниченность можно представить в виде следуюшей суммы: М =Ми+ пт, гп = тп~ ! + птт! + птз(с, (8.90а) (8.90Ь) где Мв = Мв(с — невозмущенное значение, а гп (не обязательно малое) — возмушение намагниченности вследствие движения жидкости в магнитном поле при наличии тепловых флуктуаций. Угловая скорость ит постоянна, поэтому, согласно уравнению (8.56), Ч С = О, а уравнение для изменения внутреннего момента импульса (8.54) принимает вид рС+ А=О.
(8.91) Подставив выражение для рС из (8.58) и использовав соотношение (8.57), получим А = 2~(12 — 2аз) = роМ Х Н (8.92) Произведение 12т! — обычная величина вязкого касательного напряжения, а Лт! — дополнительная вращательная вязкость, которая, очевидно, зависит только от компоненты т, возмушения намагниченности. Найдем величину компоненты т, для подстановки ее в уравнение (8.93). Сначала при помощи уравнения (8.92) исключим Очевидно, что на поверхности раздела жидкость — твердая стенка не может возникнуть скачок магнитных напряжений, поэтому для вычисления скачка тензора напряжений (8.88) нужно знать, как ведут себя величины Т, и Т,.
Эти тензоры, согласно уравнению для изменения импульса (8.5!), постоянны во всем слое жидкости. В материале стенки оба тензора равны нулю, поэтому при вычислении касательного напряжения из (8.87) нужно брать их значения только в жидкости. Из выражения для тензора симметричных вязких напряжений (8.55) и из соотношения (8.89а) легко найти, что транспонированный диадик (тст) не дает вклада в искомое напряжение, а !г . Т, . 1 = т = т(С. Подставляя выражение для Н из (8.89с) и для М из (8.90) в уравнение (8.92), находим, что вектор А записывается в виде А=рот,П1.
Так как Т,=(е А)/2, то полученное выражение для вектора А приводит к выражению для тензора вязких антисимметричных напряжений Т, = Утрет,Н (к! — !(г). Вычислив произведение к Т, ° 1, получим член роль,Н/2. Сложив полученные результаты, найдем касательное напряжение, действуюшее на стенку: )= т(0+ '7тр т,Н = Я(т!+ Лт!), где Лт1= '),рьт,Н(ье.
(8 93) 274 8. Магнитные жидкости и несимметричные напряясения ог из релаксационного уравнения (8.63). В стационарном случае получим 48 Х М = (2/г) (М Мо) + ((ьо/29) М Х (М Р', Н) (8 94) Подставив в уравнение (8.94) выражения для й и Н из (8.89) н выражения для М и гп из (8.90), найдем три алгебраических уравнения в проекции на оси декартовой системы координат. 1,0 0,8 0,6 ча 0,4 О!2 5 1О 15 20 Р =ГгоМоиг/4С Рис. 8.!1. Зависимость вязкости от приложенного поля и скорости сдвига согласно уравнению (8.96) (имеются антнсимметричные напряжения). Из уравнения в проекции на ось 2 следует, что тз = О; таким образом, вектор намагниченности М лежит в плоскости течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
