Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если волновое число измерять в радианах на метр, то величина Х вЂ” = 2п/и определяет длину волны в метрах. Если аргумент функции косинуса свг †постоянен, то величина я(х, у, Г) также постоянна при фиксированном з. Полагая эту постоянную равной нулю, т. е. гаг — йз = О или з/Г=свй, получим точку, соответствующую вершине или пучногти волны. Таким образом, из выражения для волны следует, что возмущение распространяется со скоростью о = вз/и. 242 7. Задачи ой устойчивости в феррогидродинаиике С учетом проведенного обсуждения выражение для волны возмущения можно также записать в виде 5(х, у, <) =$п(а) соз(ю< — й ° г) =$о(а) сов (ю< — йз).
(7.168) Можно достигнуть сильного упрощения в алгебраических преобразованиях, если вместо тригонометрических функций по формуле Эйлера ехр (<О) = е<е = соз О + < з!п О ввести экспоненциальные функции; при этом достаточно рассматривать лишь вещественную часть экспонент. Символ < обозначает ~<7 — 1, или мнимую единицу. С учетом формулы Эйлера выражения для волны возмущения можно представить в виде $ = $о(г) )хеехр [1(оз< — й. г)[, (7.169) где Ке обозначает вещественную часть комплексного числа.
Если оу и й — вещественные числа, то бегущая волна имеет постоянную амплитуду колебаний. Если допускаются комплексные значения ау =у — <ч, где Т и т вещественны, то выражение для волны принимает более сложный вид. В этом случае э =$о(<еехр [1(<о< — й г)] = 5о(а) ези сов(у< — йз). (7.170) Из-за множителя еуг амплитуда волны меняется со временем. Основная задача теоретического анализа устойчивости и состоит в определении эволюции со временем пробного возмущения. Таблица 7.!.
Классификации поверхностных волн Стоячие волны <суперпозиция волн, бегущих влево и вправо) Волны, бегущие влево, т~о Волны, бегущие вправо, т>о Небегущне волны, т=о ч ( О, натухающие (устойчивые) О, постоянные (нейтрально устойчивые) ч > О, растущие (неустойчивые) 243 Замечания и доаолнителеная литература В связи с этим интересно посмотреть, какие ситуации здесь могут возникнуть. Так как и и у могут быть отрицательными, равными нулю или положительными, то всего возможно Зе = 9 комбинаций.
Все эти случаи приведены в табл. 7.1. При т ( О амплитуда волны со временем затухает, и устойчивость системы не нарушается. При и ) О, наоборот, амплитуда волны возмущения со временем растет, и система, как говорят, является неустойчивой. При ч = О система находится в нейтрально устойчивом состоянии. Величина у указывает на характер распространения колебаний волны возмущения. Значения у ( О соответствуют волнам, распространяющимся к меньшим значениям з (бегущим влево), значения у ) Π— противоположным или распространяющимся вправо волнам и у = О указывает на отсутствие колебаний. Из анализа Фурье известно, что возмущение физической величины любой формы может быть представлено как суперпозиция волн в виде синусов и косинусов с разной длиной волны или волновым числом.
Обычно достаточно проследить эволюцию одной (общей) гармоники; при этом можно найти волновое число волны с наиболее быстрым ростом и получить другую информацию. Особый интерес в физике представляет суперпозиция бегущих в противоположные стороны волн с одинаковой длиной волны. Такая суперпозиция поступательно движущихся волн описывается выражением $,ечн [соз (ут — йз) + соз (ут + аз)) = 2$ее" соз у! соз йз, (7.171) которое дает картину стоячих волн.
В табл. 7.1 также приведены примеры возможных типов стоячих волн. Имеются три типа стоячих волн в зависимости от того, растет, уменьшается или остается постоянной во времени их амплитуда. ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Авторитетным руководством по гидродинамической устойчивости является книга (СЬапбгазе(4(таг, 196!); новые результаты содержатся в замечательной монографии (Огаг(п, Ке16, 198!). Аналогом задачи о неустойчивости в ортогональном поле является задача о свободной поверхности жидкого диэлектрика в постоянном вертикальном электрическом поле, экспериментально исследовавшаяся в работе (Тау!ог, МсЕчап, 1965), а теоретически — в работе (Ме1сйег, 1963). Геометрические картины, появляющиеся вследствие неустойчивости магнитной жидкости, дают возможность провести прямые визуальные наблюдения явлений при двумерном плавлении 244 7.
Задачи об уетоачивоети в феррогидродинамике кристаллов, включая движение дефектов решетки; см. по этому поводу работу (8Ь!е11огр, 1983). Фундаментальной работой по вопросу о неустойчивости Рэлея — Тейлора является работа самого Рэлея (Кау!е!8Ь, 1883), в которой рассматривается устойчивость стратифицированной жидкости под действием сил, направленных перпендикулярно плоскости раздела. Тейлор (Тау!ог, ! 950) и Льюис ((.ечг(з, !950) изучали соответственно теоретически и экспериментально поведение первоначально плоской поверхности раздела между двумя жидкостями с разными плотностями, когда вся система находится под действием сил ускорения в направлении, перпендикулярном их поверхности раздела.
Сводка результатов исследований задачи Рэлея — Тейлора до 1961 г. и обширная библиография имеется в книге (СЬапбгазеЬЬаг, !961, гл. 10). В качестве примера из более новой литературы приведем работу (РппЫеу, 1976), в которой используется мощный аппарат теории бифуркаций. Источниками по вопросу о неустойчивости Кельвина — Гельмгольца являются работы Гельмгольца (Не1шЬо11х, 1868) и Кель- вина (Ке!т(п, 19!О). Рассмотрение Гельмгольца в основном качественное, тогда как анализ Кельвина исключительно полный.
Задача Кельвина — Гельмгольца с намагниченностью первоначально абстрактно рассматривалась в монографии (Ме!сЬег, 1963). Результаты о влиянии намагниченности на неустойчивости, возникающие в фазовом переходе при кипении, содержатся в работе (Раре!1, РаЬег, 1966). В литературе имеются много других задач, касающихся вопроса устойчивости магнитной жидкости; их можно отыскать в обширных библиографиях Цана и Шентона (ХаЬп„ 8Ьеп1оп„ !980) и Чарлза и Розенцвейга (СЬаг!ез, !!озепзтуе!н, 1983)— источниках информации по всем аспектам феррогидродинамики.
8. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения До сих пор при рассмотрении движений жидкостей предполагалось, что намагниченность М параллельна магнитному полю Н, как это имеет место в состоянии покоя. Условие параллельности этих векторов выполняется с очень хорошей точностью для жидкости с однодоменными частицами столь малого размера, что ее можно считать суперпарамагнитной.
В этом случае вектор М свободно вращается внутри твердой частицы. В частицах большего размера направление магнитного момента жестко связано с ориентацией частицы. Если здесь поле Н меняет свое направление, то поведение намагниченности М определяется более медленным процессом вращения частицы, которое тормозится моментом сил вязкого трения со стороны жидкости. В результате произведение роМХ Н, которое составляет объемный момент сил, имеет некоторое конечное значение. Здесь будет показано, что при наличии объемного момента сил тензор вязких напряжений несимметричен; наличие несимметричных напряжений приводит к новым типам течений.
8.1. ЯВЛЕНИЯ На рис. 8.1 иллюстрируется разнообразие явлений, к которым приводит вращение магнитных частиц относительно жидкой матрицы в коллоидных магнитных жидкостях. Например, если стакан с магнитной жидкостью поместить во вращающееся магнитное поле, то можно увидеть движение жидкости, показанное на рис. 8.1(с).
Постоянное изменение направления поля вызывает вращение жидкости в стакане; этот эффект обнаружили Московитц и Розенцвейг (Моз(сов !!г, Яозепзлпе!д, 1967). Дополнительные подробности и экспериментальные данные, полученные в этих экспериментах, приведены на рис. 8.2 и 8.3. Кроме того, во всяком вихревом течении в стацианарнолл магнитном поле в той или иной степени возникают антисимметричные напряжения; Розенцвейг, Кайзер и Мишкольци (Яозепзпе)а, Ка!зег, М!зко!сху, 1969) обнаружили, что в вискозиметрическом течении с однородным сдвигом (рис.
8.1(е)) кажущаяся вязкость в магнитном поле увеличивается до 4 раз в сильных полях. 246 В. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения Мазннтний момент йб (а) Напряжение сдвига (Ь) Низкое нопряж ми ом м% и о. нм юм в и о Нппряж ение сдвига Пивное напряжение Вращающееся магнитное попе (с) Авижение жидкого ядра Спин частицы Свободно вращающаяся плапярорма Неподвижный станин Набегпющий потоп (е) Вра Погр нис Могнотноя жидкость Пластина Рис. 8.!. В магнитной жидкости возникают несимметричные напряжения, когда приложенное магнитное поле и намагниченность ориентированы в разных направлениях; см. рис, (а) и (Ц Напряжения возникают в магнитной жидкости вследствие врашения магнитных частнп относительно несущей жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
