Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это безразмерное число называется числом Рэлея; для обычных жидкостей, на которые действует только сила тяжести, оно записывается в виде Сила плавучести Теплоперенос конвекнией Вязкая сила Теплоперенос теплопроводностью Рорв й ЬТ иосооТ Р с 1 ~оо кь (7. 164) чи (й йдт/й где ро = — — г(1п р/г(Т вЂ” коэффициент теплового расширения, со— теплоемкость при постоянном давлении, рассчитанная на единицу объема, ив — характерная скорость и й — коэффициент теплопроводности. Критическое значение числа Рэлея Л/но, о, 238 У, Задачи об устойчивости в феррогидродинамике прн котором решение с состоянием покоя становится неустойчивым, равно 1708 для горизонтального слоя жидкости н 1558 для вертикального слоя.
Ясно, что возможно н другое аналогичное явление неустойчивости, если сила плавучести заменяется другой объемной силой, в том числе в выражении для гти.. Такая ситуация возникает, когда на подогреваемую жидкость действует объемная сила реМ'тН. Эта объемная сила зависит от теплового состояния жидкости, так как М = М (Т, Н); прн этом выполняется условие (дМудТ) и ( О.
Физику все будет гонятно прн одном взгляде на Тсо1й в ййй1дй тьпу йй'гош Рис. 7.30. Конвективная неустойчивость магнитной жидкости в присутствии внешнего градиентного магнитного поля и при отсутствии силы тяжести. рнс. 7.30, где изображена конвектнвная неустойчивость магнитной жидкости. Пусть градиент магнитного поля направлен поперек зазора, как на рнс. 7.30, а температура увелнчнвается в направлении ТгН. Более холодная жидкость сильнее намагничивается, поэтому она стремится в область большего поля, вытесняя более теплую жидкость.
Получающееся течение является егце одним примером магнетокалорнческого преобразования энергия, обсуждавшегося в гл. 6. Устойчивость магнитных жидкостей к тепловой конвекцнн можно выяснить путем анализа малых возмущений на основе лннеарнзованного уравнения движения, уравнения неразрывности, уравнения теплопроводностн н соответствующих уравнений Максвелла. В этой области, начиная с 1970 г., имеется много исследований по разным направлениям; в каждом можно получить аналитическое решение н найти обобщенное число Рэлея, определяюшее момент перехода нз неподвижного равновесного состояния в стационарное конвектнвное движение.
Обобщенное число Рэлея в разных случаях записывается следующими способами: 1 й~рй (1) (2) (7,165) ~ р,мей;А,7(1 + 11,). (3) 7.З. Устойчивость к тепловой коквекции 239 Здесь ОО = — йН(йг — постоянный в слое жидкости градиент поля, Мйо= — (дМ)дТ)„— пиромагнитный коэффициент К, введенный в гл. 6, и те=(дМ!дН)т. Приведем сводку результатов, рассматривая каждый случай в уравнении (7.165) отдельно. (1) Действует только лтеханизм с силой плавучести, возникаюи1ей из-за разности плотностей, в поле сил тяжести. Этот случай уже рассматривался в начале этого раздела.
Широкие исследования устойчивости жидкости к конвекции в течение 80 лет имеют своим источником классические эксперименты Бенара в 1900 г., который наблюдал ячеистые циркулирующие структуры в тонких (0,5 — 1 мм) открытых слоях жидкости, подогреваемых снизу. Рэлей ()сау!е!8!т, !916), ознакомившись с наблюдениями Бенара, проанализировал методом малых возмущений устойчивость слоя жидкости к возмущениям плотности И НаШЕЛ, Чта КрвтИЧЕСКОЕ ЧИСЛО РЭЛЕя тУПа,о бЛИЗКО К 1700. Однако сейчас известно, что ячеистая конвективная структура, наблюдавшаяся Бенаром, появилась скорее из-за неоднородности поверхностного натяжения, чем из-за сил плавучести, так как верхней границей слоя в его экспериментах была свободная поверхность, на которой из-за локальных изменений температуры могут возникать силы поверхностного натяжения (см., например, работы (Реагзоп, 1958; 5!егп!!пй, Бег!неп, !959; Ьсг1неп, 5!егп!!пд, !964).
(2) Слой жидкости находится в магнитном поле с постоянным градиентом бо, а изменение плотности отсутствует. Предполагается, что адиабатическое расширение и магнетокалорическое охлаждение пренебрежимо мало. Модифицированное число Рэлея для этого случая представлено в таком виде Лаласом и Карми (1.а!аз, Сагпп', 1971) и Кертисом (Сцг!!з, 1971). М. И. Шлиомис (!974а) проанализировал устойчивость слоя с учетом адиабатического расширения и магнетокалорического охлаждения.
Неустойчивость наступает при выполнении следующего неравенства: т'7яа ) А!яа.о, АГяа,о= !708 (горизонтальный слой), (7.166) 1558 (вертикальный слой). (3) Слой находится в однородном поле, но учитывается связь изменения температурьс с изменением намагниченности. Эта задача изучалась Финлейсоном (Г!п!аузоп, !970), который показал, что для значений М ) 3 !0О А.м-' критическое число Рэлея становится равным 1708 для любого значения )(т. 240 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииамике Увеличение конвективного теплопереноса в магнитных жидкостях, по-видимому„может найти приложения для охлаждения проводников с током в электродвигателях, линиях передачи н других электрических устройствах, где из-за токов имеется магнитное поле. 7.10.
РЕЗЮМЕ Магнитное поле, направленное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости, оказывает на нее дестабилизирующее действие. Наиболее ясно это видно на примере неожиданного появления регулярной системы ячеек на бесконечной плоской поверхности. С другой стороны, тангенциальное к бесконечной поверхности раздела магнитное поле оказывает стабилизирующий эффект. Стабилизация полем имеет место в примерах затухания стоячих волн в колеблющемся сосуде, защиты от появления отростков в течении, где преобладают эффекты вязкости, и устойчивого поведения струи жидкости в параллельном магнитном поле.
Необычно, однако, то, что тангенциальное поле оказывает дестабилизирующее влияние на тонкие слои и приводит к образованию лабиринтных и других структур. Образование таких структур является следствием возникновения градиентов поля у краев слоев жидкости. Важной чертой задач о конфигурации жидкости является наличие критической точки, в которой возникает неустойчивость. Критическая точка имеется в задачах об устойчивости в ортогональном поле, стабилизации осесимметрического столба жидкости азимутальным полем и возникновении лабиринтной структуры.
В других случаях диапазон длин волн возмущения разделяется на две области: устойчивую и неустойчивую; положение границы между ними определяется напряженностью магнитного поля. Это имеет место в задачах об устойчивости Рэлея — Тейлора, течении в пористой среде и осесимметричной струе. В любом случае, если характерный размер установки меньше наименьшей длины волны, ведущей к неустойчивости, то система является устойчивой. Еще один тип задач об устойчивости будет рассмотрен в гл. 9 — об объемной устойчивости в среде с переменной плотностью при изучении поведения псевдоожиженных частиц.
7.11. ДОБАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛН ВОЗМУЩЕНИЯ В этой книге часто рассматриваются волны возмущения. Хотя это понятие само по себе очень простое, поколения студен- 7.П. Добавление. Математическое описание волн возмущения 241 тов путаются из-за невнимания к точным формулировкам. Если предположить, что в жидкости неожиданно возникает пакет волн бесконечно малой амплитуды, то интересно описать их дальнейшую эволюцию. Набор таких малых возмущений всегда имеется из-за шума, происходящего от статистических флуктуаций, нерегулярности течения и других источников.
Эволюцию каждой компоненты Фурье шума или волны возмущения можно рассматривать отдельно благодаря линейности уравнений. Поэтому можно аналитически рассчитать движение одной волны возмущения в жидкости и изменение со временем ее амплитуды. Если амплитуда растет со временем экспоненциально, то говорят, что течение неустойчиво по отношению к данной волне возмущения или моде. Величину возмущения в плоской волне, иногда называемой нормальной модой, можно представить в следующем виде: 5(х, у, г) =овсов (евà — й,х — йву). (7Л67) Например, $(х, у, г) может означать величину отклонения поверхности жидкости от ее невозмущенной (плоской) формы.
Точка на поверхности задается декартовыми координатами х, у в исходной плоскости, т — время. Величина $ — возмущение в данной точке; $в — амплитуда или максимальная величина возмущения; ео — угловая частота волны, й„и йе — волновые числа вдоль соответствующих осей. Величина 5(х, у, г) может также означать изменение скорости, давления, компоненты магнитного поля и другие величины. Упомянутые величины, кроме отклонения поверхности, могут также непрерывно меняться вдоль оси г, перпендикулярной осям х и у.
Поэтому йв может быть функцией з, так что $в =еьо(з). Поверхностные волны распространяются в определенном направлении. Представляя радиус-вектор точки на плоскости распространения волны в виде г= 1х + )у и вводя волновой вектор соотношением й= й„) + йе), видим, что скалярное произведение й и г равно й г = й„х + иву = йз. Здесь з — расстояние вдоль направления распространения волны й, и й =| й~= = (й'„- + й'„)'" — волновое число, равное числу оборотов угла в волне, приходящееся на единицу длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
