Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 36
Текст из файла (страница 36)
7,5, где рассматривается случай градиентного магнитного поля). Соответствующая форма дисперсионного уравнения является частным случаем уравнения (7.94) при отсутствии средней скорости течения ((l, = Уь = О) и наличии только тангенциального приложенного поля (Н', = Нь = 0): (Ре + Рь) = йГе (Рь Ра) + ой + йд + 2, (7.95) лоз 7. Задачи об устойчивости в феррогидродичамике М)0 йб=о Рнс. тдз.
Дисперсионная кривая в плоскости гот, Ь в задаче Рэлея — Тейлора о неустойчивости раздела намагниченной и немагнитной жидкостей. где Ио='гьь " Х= ьгаг'ььз 1 При отсутствии намагниченности уй (рь — ра) + ойг (7.96) ра + рь тейлоровской длиной волны, С учетом соотношения (7,97) в виде Величина 7ь = 2прео называется а )го — капиллярной постоянном. уравнение (7.96) можно записать оь 2 ра+ рь (ге — яо). (7.96) Как видно из рис. 7.!2, моды с волновым числом, большим )ео, или соответственно с длиной волны, меньшей Хо, стабилизируются поверхностным натяжением. Если рь > р, (т. е.
когда нижний слой более тяжелый)„оэ вещественно и поэтому аз =носов(отг — (г„х — ггву). Это решение описывает нейтрально устойчивые бегущие волны. Если тяжелая жидкость лежит над легкой жидкостью, р, ( рь, то правая часть уравнения (7.96) может быть как отрицательной, так и положительной. Когда правая часть уравнения (7.96) отрицательна, то от — мнимая величина и решение ае = = йое" сов(й,х+ йеу) соответствует неустойчивым нераспространяющимся волнам. Это и есть явление неустойчивости Рэлея — Тейлора. Наступление неустойчивости соответствует значению (г =)гь полученному из уравнения (7.96) при от = 0: "о= ч'й(ра Рь)/о.
(7.97) Тлй Задача Рэлвя — Тейлора иеханаческай преобразователь (п) 1,0 0,8 — О,б О:,4 з 0,2 Рт (Ь) Рис. 7.13. (а) Экспериментальная установка для изучения влияния тангеициального поля на резонанс поверхностных волн магнитной жидкости; (Ь) экспериментальные данные показывают, что при увеличении намагниченности жидкости резонанс сдвигается к большим частотам, См. (Хе!аго, Ме1сйег, 1969).
Как видно из знака последнего слагаемого уравнения (7.95), намагниченность оказывает стабилизирующее (сглаживающее) влияние на возмущения, распространяющиеся вдоль линий поля; на возмущения, распространяющиеся перпендикулярно линиям внешнего поля, поле не влияет. Сглаживающее влияние поля приводит к сдвигу области неустойчивости к меньшим волновым числам; зто также показано на рис. 7.12. Ситуации с рассмотренной здесь неустойчивостью встречаются чаше, чем можно было бы подумать, так как роль ускорения сил тяжести могут играть кинематическое ускорение или замедление.
Например„неустойчивость Рзлея — Тейлора стремится проявиться при быстром закипания жидкости (фазовый переход), при взрывах и при всплеске падающих капель (быстрое замедление). 210 7. Задачи об устойчивости в 4геррогидродииамике Экспериментальное подтверждение Зелазо и Мелчер (Хе1ахо, Ме!сйег, 1969) экспериментально проверили дисперсионное уравнение (7.95) при помощи прямоугольных коробок-сосудов, частично заполненных магнитной жидкостью и подсоединенных к низкочастотному преобразователю, колеблющему сосуд в горизонтальной плоскости (рис. 7.13).
Подбором частот, близких к собственным частотам системы, оказалось возможным возбудить резонансы. Резонанс происходит, когда на длине коробки укладывается целое число полуволн п„так что й„= п,п/1а, й, = О, где 1е — длина коробки. Из уравнения (7.95) следует, что изменение в магнитном поле относительной частоты, необходимой для создания в сосуде стоячих волн с заданной длиной, определяется выражением — мо (игп71о) Ром l(Х+ Э) тат Ы (Ре Ра) + (иопдо) о (7.99) о Экспериментальные данные, показанные на рис. 7.13, в общем хорошо согласуются с этим теоретическим выражением. 7.4. ЗАДАЧА ОБ УСТОР(ЧИВОСТИ КЕЛЬВИНА †ГЕЛЬМГОЛЬ Классическая задача о неустойчивости Кельвина — Гельмгольца связана с поведением плоской поверхности раздела между двумя слоями движущихся жидкостей. В ФГД рассматривается как основной случай распространение волн на поверхности раздела двух слоев невязких жидкостей с магнитной проницаемостью пе и 1см Рассмотрим случай, когда приложенное магнитное поле величины Ни направлено параллельно невозмущенной поверхности.
Сила тяжести здесь также перпендикулярна поверхности раздела, а слои жидкости движутся со скоростями (7, и (7и относительно некоторой фиксированной системы отсчета, как показано на рис. 7.11. Дисперсионное уравнение можно получить как частный случай уравнения (7.93): (тв — йв(7,)гр, с(Л йа+ (са — )ге(7„)ар сЫгЬ = Два хорошо известных явления тесно связаны с задачей об этой неустойчивости: вызываемые ветром волны в океане и трепетание флагов. Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца проявляется также при истечении газа в виде струи через насадок в неподвижный воздух, как показано на рис. 7.14(а), и в меха- 7.4.
Задачи об устойчивости Кельвила — Гельмгольца 211 низме появления волн на рис. 7.14(Ь), где жидкости несмешивающиеся. Чтобы понять природу этой неустойчивости, рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 7.15(а). Первоначально два слоя Легкая Сердя Гяжелоя нидкосщь (о) (Ь) Рис. ?.14. Два примера, иллюстрирующие неустойчивость Кельвина — Гельмгольца, (а) Неустойчивость вследствие перепада скоростей струи и воздуха; (Ь) результат перепада скоростей жидкостей у плоской поверхности раздела. жидкости двигались со скоростями О, = — Юь = (7, т. е. скорости равны по величине и противоположно направлены.
Теперь предположим, что на поверхности раздела двух жидкостей появилось слабое волновое движение, как показано на рис. 7.15(Ь). (дамеиеийе давлеийя / А- Аа(Ь) (а) Рис. 7.15. Профиль скорости и перераспределение давления в задаче об устойчивости Кельвнна — Гельмгольца. (а) Невозмущенная поверхность; (Ь) возмущенная поверхность. Из-за деформации поверхности жидкость в точках А, А' и А" движется чуть быстрее, чем раньше, а в точках В, В' и В"— чуть медленнее. Согласно уравнению Бернулли, давление жидкости больше там, где скорость меньше, и меньше там, где скорость больше. Возникающие таким образом градиенты давления 2!2 7. Задачи об устойчивости в феррогидродинамике имеют такое направление, что возмущение усиливается; в результате первоначальное движение неустойчиво по отношению к бесконечно слабым возмущениям поверхности раздела.
Правильность этого рассуждения легко установить, положив в уравнении (7.100) Ну — — О, Р,= — рь, о=О, а=Ь и Уа= = — Бь —— У; в результате получим со= ~ гйуУ. (7.101) Поэтому высота точки поверхности зь определяется выражением ао = йь соз (й„у) ехр (Ь„Ш), (7. 102) которое показывает экспоненциальный рост величины возмуще- ния со временем. Критерий для появления неустойчивости Кельвина — Гельмгольца в магнитной жидкости Для простоты рассмотрим предельный вид уравнения (7.!00) для толстых слоев жидкостей при й = й„; т.
е. положим а, Ь вЂ” оо. В результате для со получим ~ьр' З- ', й,'д, (7.1ОЗ) Ра+ Рь (Ра+ Рь! где 2 Н2 2 л(рь — Р,) + (Р— Рь) у Рьр ( ь а) -. (7.104) » Ра+ Рь Рь+ Ра Течение устойчиво до тех пор, пока р» ) О. Поэтому неустойчивость наступает, когда одновременно выполняются следующие два условия: й =о, (7.! 05) Р~ я Рь — Р.)+и 0 (7.! 06) Критическое волновое число определяется из уравнения (7.106): й =~.=(~(рь-Р.Ии; (7.107) это критическое волновое число совпадает с критическим волновым числом (7.97) для задачи Рэлея — Тейлора. Исключая й из уравнения (7.105) при помощи соотношений (7.107) и (7.104), получим критерий для появления неустойчивости в задаче Кель- вина — Гельмгольца с магнитными жидкостями крь Р и па+ Рь Чем больше приложенное поле и чем больше разность проницаемостей жидкостей с разных сторон раздела, тем большую 213 Хб.
Стабилизация градиентом ноля разность скоростей слоев можно поддерживать до наступления неустойчивости. Малая плотность слоев также способствует стабилизации течения. Если тангенциальное к поверхности магнитное поле направлено перпендикулярно направлению распространения волны, как показано на рис. 7.!6(а), то на поверхности жидкости не возникает полюсов и поле Н„ нигде не пересекает поверхности. Следовательно, при деформировании поверхности не происходит Н гь Н я У А (а) и — м- —:~. й у г (Ь] Рис.
7.1й. Магнитная стабилизация поверхности по отношению к неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Поле перпендикулярно направлению распространения волны: взаимодействия нет; (Ь) поле параллельно направлению распространения волны: взаимодействие есть. изменения энергии поля и поэтому здесь нет взаимного влияния. Таким образом, однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению распространения волны, не способствует стабилизации поверхности.
В случае же когда поле параллельно направлению распространения волны, как на рис. 7.16(Ь), то линии поля стремятся сконцентрироваться в области максимумов возмущения, так как они следуют за линиями наименьшего сопротивления магнитному потоку. Максвелловские напряжения возмущенного магнитного поля действуют на поверхность раздела сглаживающим образом. 7.5. СТАБИЛИЗАЦИЯ ГРАДИЕНТОМ ПОЛЯ Тогда как однородное тангенциальное магнитное поле затрудняет распространение волн на поверхности жидкости вдоль направления поля, на волны, распространяющиеся перпендикулярно полю, оно не влияет, и их амплитуда может расти.
Од- 2!4 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииамике пако градиентное магнитное поле может стабилизировать поверхность жидкости относительно роста амплитуды волн с любым направлением. Теория стабилизации градиентом поля более сложная, чем теория стабилизации однородным полем с учетом обратного влияния жидкости на поле, и включает ее как частный случай (Ее!аго, Ме!серег, !969). Для стабилизации поверхности раздела двух жидкостей напряженность поля должна увеличиваться в направлении намагничиваюшейся жидкости независимо от того, является ли намагничиваюшийся слой более тяжелым и расположенным выше слоя немагнитной жидкости или менее тяжелым и расположенным ниже немагнитной жидкости; в обоих случаях перемешиванне из-за выталкивающей силы должно быть предотвращено.
Неоднородное перпендикулярное к поверхности поле меньше подходит для этой цели, чем неоднородное тангенциальное градиентное поле, так как однородное поле, перпендикулярное поверхности, оказывает на нее дестабилизируюшее действие. Следующее выражение представляет критерий, когда тангенциальное неоднородное поле подавляет неустойчивость Рэлея— Тейлора: !соМ (сгН„(с(п) > д (р, — р ). (7.!09) Поверхностное натяжение, которым здесь пренебрегают, лишь усиливает стабилизацию. Зелазо и Мелчер (Уе!азо, Ме!серег, 1969) экспериментально проверили уравнение (7.109) при неблагоприятном направлении ускорения силы тяжести при помощи стальных полюсных наконечников в форме клина, создающих градиентное поле; они сообшили о количественном согласии теории и эксперимента. Однако градиентное поле занимает весь объем магнитной жидкости, поэтому в эксперименте нельзя отделить эффект удержания жидкости градиентом поля от эффекта стабилизации поверхности градиентом поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
