Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вывод этого соотношения требует некоторого отступления от темы раздела, но это стоит сделать, так как результат будет широко использоваться. !88 7. Задачи об устойчивости в феррогидродинаиике Рис. 7.а К выводу выражения для капиллярного давления (7.!О). поверхности 5 (рис. 7.2). Плотность нормальной силы на по- верхности раздела р, можно представить в виде р,=( —;$1(1),, (7.6) где ! — единичный вектор, перпендикулярный границе ! и тангенциальный к поверхности 5, т. е. 1= с(1 Х и!с(1; (7.7) поэтому плотность нормальной силы (?.6) можно переписать в виде р, — — ( З $ с(1 Х п) (7.6) В обобщенной формулировке теоремы Стокса (см.
ЫЬЬз, 1906) утверждается, что $с(! Р' ,А = ~ (и Х Ч) )с', А с(5 = — ~ пЧ А г(5+ ~ (ЧА) па5. (7.9) Здесь А — любой вектор. Пусть А=и, тогда, стянув поверхность 5 в точку, с учетом равенства (Чп) и = Ч (п . и) = 0 получим р,= — опЧ. и; (7.10) это выражение показывает, что напряжение р, направлено по нормали к поверхности.
Сравнение полученной формулы с выражением для р, (6.9) показывает, что среднюю кривизну поверхности М можно записать в виде 2дй=Ч ° и. (7.11) Рассмотрим полную силу поверхностного натяжения, действующего вдоль замкнутого контура, ограничивающего часть 7./. Задача од устойчивости в ортогональном поле !89 Это выражение пригодно для вычисления плотности поверхностной силы в различных системах координат как для мало искривленных, так и для сильно искривленных поверхностей. Один удобный способ описания формы и положения свободной поверхности состоит в использовании соотношения, выражающего одну координату поверхности через две другие, например, в декартовой системе координат «=го(х, у).
Такой способ описания известен как представление Монжа. Соответственно уравнение г — го(х, у) = сопз1 описывает поверхности с той же самой формой, но смещенные, если константа отлична от нуля. Поэтому вектор т [« — го(х, у)] перпендикулярен поверхности раздела, а распределение вектора единичной нормали к поверхности описывается выражением и— '(7(д — го (х, у)1 (с — (дго/дх) ! — (дго/ду) ! (7.! 2) ! Ч (г го (х у)! ! (! + (дго/дх)о+ (дго/ду)о)И Соответственно уравнение, описывающее удвоенную среднюю кривизну поверхности, согласно выражению (7.11) имеет вид +[1+( о) ] о~~[1+( о) +( о)1 . (713) К счастью, нам здесь понадобится лишь линеаризованная фор- ма этих соотношений: дго . дго и=1! — — 1 — — 1, дх ду (7.!4) (7.15) Кинематика В качестве другой заготовки выведем кинематическое уравнение, связывающее величину отклонения поверхности со скоростью прилегающей к ней жидкости.
Если форма и положение поверхности со временем меняется, то соответствующее уравнение поверхности записывается в виде (7.!7) «=го(х, у; /). Вернемся теперь в основное русло анализа; с учетом выражения (7.!5) уравнение баланса сил на поверхности раздела преобразуется к виду Ро+Р +Р + /о)оом +о(д о'-1- д )=О. (7.16) 190 7. Задачи об уетоачивоети в феррогидродинамике Если ввести функцию в1онжа уравнением г" (х, у, г; 1) —= — = г — го(х, у; 1), то РР/Р1= 0 для любой точки поверхности; следовательно, кинематическое условие на поверхности имеет вид 0Р дР дР— =- — + ч, Чг" = 0= — + ч, Чг, 01 д1 ' дт (7.18) где ч, и чо — скорости жидкостей обеих фаз. Так как вектор Чг/!Чг"! перпендикулярен поверхности раздела, то уравнение (7.18) допускает возможность проскальзывания на поверхности раздела; если рассматривается течение вязкой жидкости, то необходимо привлечь дополнительное условие непрерывности тангенциальной компоненты скорости на свободной поверхности.
С учетом определения функции г" из уравнения (7.18) имеем — — + и,( — — )+ и ( — — ) + пх(1) — О. (7.!9) Это уравнение можно преобразовать к виду дго дго дго и = — +п — +п дт " дх У ду (7.20) Решение для поля скоростей Уравнение (7.2), описывающее движение магнитной жидкости, можно записать в виде р (дч/д! + ч . Чч) = — ЧП, (7.22) где П = ро+ р, + рог. Удобно представить любую величину в виде суммы ее значения в невозмущенном состоянии и малого возмущения — с этого обычно начинают линейный анализ устойчивости к возмущениям.
Таким образом, скорость ч и полное давление П можно записать в виде (7.23) ч— = чо+ ч, и П= По+ Пь где индекс 0 указывает на значение в невозмущенном состоянии, а индекс 1 — на возмущение. Таким образом, уравнение движения с учетом отсутствия движения в начальном состоянии (чо = О) преобразуется к виду р(дч,/д1+ ч, Чч) = — ЧПо — ЧПь (7.24) Из уравнения (7.22) следует, что в равновесии ЧПо = О, поэтому По постоянно. Условие постоянства По и тот факт, что ч,. Чч, где ч = пх! + ив1 + п,(о. Здесь будет использоваться лннеаризованная форма уравнения (7.20): пх = дго/д!. (7.2!) 7Л. Задача об устойчивости в ортогональном поле 191 Теперь предположим, что возмущение полного давления представить в виде суммы нормальных мод: П, = П, (г) Е, хде можно (7.27а) Е = Ке ехр 1с (от1 — й„х — (гуу)]; (7.27Ь) здесь Ке обозначает вещественную часть комплексной функции; допускаются комплексные значения величины со = — у — (ч, где у и ч — вещественные числа; П~(г) — амплитудная функция, зависящая от г.
(В добавлении к главе подробно рассматриваются волны возмущения; читателю, не владеющему этим материалом, рекомендуется остановиться и ознакомиться с ним для ясного понимания предмета.) Выражение (7.27) должно удовлетворять уравнению (7.26); следовательно, амплитудная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ~РП,/с(г' — йтП, = О, где (гт=н„'+ (гт. Уравнение (7.28) имеет решение П, (г) = А,е~' + Аае ~', (7.29) где А~ и Аа — константы, а й положительно.
Чтобы исключить бесконечно большое значение П, при г, стремящемся к большим отрицательным значениям, константа Ат полагается равной нулю. Возмущение давления Пь принимает вид П ~ = Аьел'Е. (7.30) Теперь рассмотрим проекцию уравнения движения на дое дп~ ае р — = — — = — А~(ге Е. д1 дг ось г: (7.31) Интегрируя уравнение (7.3! ), получим о,= — ' ~ Ес((= — '. Е+~(х, у, г).
(7.32) Функцию 1(х, у, г) положим равной нулю, чтобы ограничиться случаем анализа простых гармонических возмущений. является величиной второго порядка малости по сравнению с дтс,/д1„позволяет записать уравнение (7.24) в виде р дч,/д1 = — т По (7.25) Взяв дивергенцию от уравнения (7.25) и учитывая уравнение неразрывности 1т ть~ = О, найдем, что П~ удовлетворяет уравнению Лапласа т'П, =О. (7.26) 192 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииамиие Положение свободной поверхности можно теперь связать с з-компонентой возмущенной скорости при помощи кинематического уравнения (7.21); в первом порядке малости имеем дзс/д1 = (ог)г-о = — (А,й/рссо) Е; (7.33) проинтегрировав это уравнение, получим з~ = (А,/г/рата) Е. (7.34) Это уравнение описывает форму возмущенной поверхности; его можно также записать через амплитуду отклонения ао в виде зо=йвЕ, (7.35) где зо — = А,/г/рсоа.
Подставляя выражение для А, через зо в уравнение (7.30), получим решение для полного давления П, в виде П ~ —— (рсв'//г) йве"Е. (7.36) Решение для возмущенного магнитного поля Чтобы линеаризовать уравнения для магнитного поля, представим векторы поля в виде в=в +ь, (7.37) Н=Н +Ь, (7.38) где величины Ь и Ь предполагаются малыми по сравнению с Во и Но. Исходное магнитное поле однородно и направлено вдоль оси чн (7.39) Но = Нок. Из закона Ампера для магнитостатики следует ЧХН=ЧХНо=чХЬ=О, (7.40) следовательно, Ь можно выразить через потенциал возмущения магнитного поля: ь = — чф.
(7.41) Уравнение (7АО) справедливо как для намагничивающейся среды, так и для расположенной выше области вакуума. Ограничимся рассмотрением среды с линейным соотношением В = 1сН, где 1г=сопз1. Это соотношение совместно с уравнением Максвелла Ч В = 0 приводит к уравнению Ч ° Н =Ч ° Н =Ч Ь=о. (7. 42) Объединяя последний результат с уравнением (7.41), получим, что магнитный потенциал возмущения магнитного поля также удовлетворяет уравнению Лапласа Чтф = О. (7.43) 7.1. Задача об устойчивости в ортогональном лоле 193 Так как в вакууме над поверхностью раздела и = ро„то уравнение (7.43) применимо в обеих областях пространства; так, если ~р, — потенциал в магнитной фазе и <ра — в области вакуума, то можно получить следующие решения, аналогичные решению (7.36): % =Ф~гее -ье %т = Фагое где ф, и фа не зависят от координат; здесь учитывалось ограни- чение, что ~р, и ~ра остаются конечными величинами вдали от по- верхности раздела.
(7.46) Теперь рассмотрим граничное условие (3.8) для вектора магнитной индукции В: [Ва] =-и. [В]=0. Так как [В] = Вт — В, = (Ва в — В, в) + (Ьа — Ь!), Граничные условия для векторов поля Сначала рассмотрим граничное условие (3.9), которое утверждает, что тангенциальная компонента магнитного поля Н удовлетворяет условию [Нь] = 0 или пХ [Н] = пХ(Нт — Н1) = О. Из уравнения (7.14) следует, что и =(п„, пв, пе) =( — дгв/дх, — дгв/ду, !); кроме того, [И]= На — Н, =([Н„], [Нв], [Н,]); поэтому — д" [Н,1 — [Н„]=0, (7.45) [н„]+ — '," [н ]=о, (с: — — [Н„] + — [Н„] — О.
(7.47) Только два из этих трех соотношений независимы. Так как исходное поле направлено вдоль оси г, то с точностью до членов более высокого порядка имеем [н,] = [н,], (7.48) 1н,1= [6,], (7.49) [Н„] = [а„]. (7.50) Следовательно, уравнения (7.45) и (7.46) заменяются уравнениями [й„+н, Я=о, (7. 45') [й„+ и, Я=о. (7.46') Г94 7.
Задачи об устойчивости в фвррогидродинаиикв то и [В]=п [Ь]=0. С учетом выражения (7.14) уравнение (7.51) принимает вид — — [Ь,] — — [Ь ]+ [Ь ] — О. (7.52) Первые два слагаемых в уравнении (7.52) имеют второй порядок малости; поэтому в первом порядке малости имеем [Ь,] = О. (7.53) Применение граничных условий для магнитного поля Подставляя выражение для поля (7.41) в уравнение (7.45'), найдем (7.54) дч! дго дч!о дга — +Но! = +Вог ду ду ду ду Это уравнение прн г = 0 при помощи соотношений (7.44) и (7.35) можно записать в виде (% фг)/го= Но о т/о !.
(7.55 следовательно Ч!! !рг = гоМо при г = О, Уравнение (7.53) с учетом выражения (7.41) дч! дя!о р — = 1го — при г= О. дг дг Используя решения (7.44) для потенциалов !р! уравнения (7.56) и (7.57) к виду !т! Фг = Мо Н/НоФ! = Фг Разрешая эти уравнения для ф!, найдем Ф!=М/(1+ и/ро), (7.56) принимает вид (7.57) и !рь приведем (7. 58) (7.59) (7.60) а также Мого ог ! + и/и (И/Ио) Мого иг ! + и/и (?.61) (7.62) Физическое представление о том, как влияет искривление поверхности на распределение поля, можно получить, рассматри- ) Однако Во,о=Во,в!1!о Мо,ь Но,!=Во,!/1го Мо,!' Во,о=Во,!' Мо,о=О, Мо,!— = Мо,' 7.Д Задача об устойчивости в ортогональном лоле 195 вая уравнение (7.61) или (7.62) совместно с соотношением (7.53). Из этих уравнений следует, что компонента вдоль осн а возмущения индукции магнитного поля непрерывна на поверхности раздела и имеет величину (Ь* ~)о — (Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
