Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 34
Текст из файла (страница 34)
т)з — (рзйг,е)о— Г два Х ИьАМьгь )о'ч дг /о 1+Рь/И ' (7.63) Уравнение (7.63) выражает тот факт, что магнитный поток концентрируется на гребнях возмущенной поверхности, так что Ь, Рнс. 7.3. Линии возмущенного магнитного поля сгущаются на гребнях волн. имеет максимум там, где отклонение аз максимально, как по- казано на рис. 7.3. Теоретические результаты Теперь у нас есть все ноооходимые выражения для подстановки в граничное условие для напряжений, которое и определяет критерий появления неустойчивости в ортогональном поле. Перепишем здесь для удобства уравнение (7.5); ра+ р + р + 'lа)азМ вЂ” 23Во=О; (7.64) с учетом определений для П и р имеем П вЂ” разо+ роМН + '/з1хоМн — 2моо = О, 2 Упростим слагаемые роМН и 1хоМь/2.
2 Сначала рассмотрим слагаемое Р,МН. Так как в рассматриваемой задаче Н = НД+ Ь„1+ Ьв).ф- Ь,(с, то Н=(Н Н) т=(Но+ 2НьЬ,) ~ + члены более высокого порядка = = Но (! + 2Ьз(Но)яа = Но+ Ье' (7.66) 199 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииамиие здесь последнее преобразование выполнялось по формуле би- нома. Тогда Ио+Ле ивч-лг 1тоМН = 1го ~ М'с(Н' = 1ло ~ М'с(Н'+ 1ло ~ М'с(Н', (7.67) и, где М' и Н' — переменные интегрирования. Взяв интегралы, получим роМН = ро(МН)о+ поМйг; (7.68) намагниченность также представляется в виде суммы М = = Мо+ т„.если пренебречь величиной второго порядка малости ротй„то выражение (7.68) принимает вид 1гоМН = 12 (МН) + 1лоМой,.
(7.69) Теперь рассмотрим слагаемое 1лоМ„/2. Так как М и Н параллельны, то М = Мо1с + т„! + ти) + т,К (7.70) а М„с учетом выражения (7.14) записывается в виде М„=М и=Ма+ т,+ члены более высокого порядка. (7.71) Следовательно, '!2ИОМа= Ч2ИОМО+ ИОМОтг+ ЧЛЕНЫ бОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОрядКа. 2 1 2 (7.72) Подставив выражения (7.69) и (7.72) в уравнение (7.65), получим [По+ 1то(МН)о+ Ч21гоМо1 + + (П1 Рйзо+ 1лоМойг+ роМотг 2Мо) = О. (7.73) Выражение в квадратных скобках представляет собой величину, которая должна равняться нулю по граничному условию в ФГД для исходной плоской поверхности.
С учетом этого результата, а также соотношения Ь,= но(йг+ т,) граничное условие для напряжений на поверхности раздела приводится к виду П~ — рязо+ МоЬ вЂ” 2Мо = О. (7.74) Для слагаемых этого уравнения имеем: из уравнения (7.36) (П1) -о=(рго'/й) йоЕ, из уравнения (7.35) го =йоЕ, из уравнений (7.63) и (7.35) 7.1.
Задача об устойчивости в ортогональном поле 197 а из соотношений (7.15) и (7.35) 2Ж='яойоЕ. В результате подстановки найдем рсоа аной4о — — рд+ — й'о = О. й ! +но/Н Небольшим преобразованием уравнения (7.75) получим выражение для зависимости частоты от волнового числа: й рамо о,/ 1,/а ! + Рь/!г (7.76) (7.77) Согласно классификации табл. 7.1 (см. добавление к этой главе), ч = О, 7 Ф О, и поверхностные волны в такой системе распространяются без изменения амплитуды. Слагаемое гравитационной волны в уравнении (7.76) главное, когда й мало или соответственно когда длина волны велика (так как длина волны Л = 2я/'й) . Если, с другой стороны, наиболее существенны капиллярные эффекты, то соо = ойа/р; (7.78) такие волны называются калиллярными (Ламб, !947, стр.
571) '>. Капиллярное слагаемое в правой части уравнения (7.76) главное, когда рассматривается распространение коротких волн. В этом случае поверхностные волны распространяются без изменения амплитуды. Так как в уравнение (7.76) слева входит лишь квадрат величины ш, а правая часть уравнения всегда вещественна, то ш и В русском переводе аналогичная формула дана с опечаткой; см. книгу Ландау и Лифшица (!954, стр. 292).— Приве перев. Уравнение, выражающее такую зависимость, называется дисяерсионным уравнением.
Уравнения задачи (7.28) и (7.43) однородные и, кроме тривиальных решений П~ = 0 и гр = О, допускают нетривиальные решения со значениями й и го, связанными уравнением (7.76). Дисперсионное уравнение (7.76) может, следовательно, рассматриваться как уравнение для собственных значений, а задача об устойчивости — как задача на собственные значения. В отсутствие поверхностного натяжения (в = 0) и магнитного поля (М = 0) уравнение (7.76) сводится к хорошо известному дисперсионному уравнению для волнового числа и частоты в гравитационной волне, когда длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости !см., например, (Ландау, Лифшиц, 1954, стр. 56; Ламб, !947, стр.
458)]: шо !98 1. Задачи об устойчивости в феррогидродииамике может быть только вещественной или чисто мнимой величиной. Эти два важных корня записываются в виде у (у вещественно); — (ч (и вещественно). Напомним, что, согласно уравнению (7.35), за = 8,(сеехр(1(отав — й,х — аиу)]. Если величина от мнимая, то произвольное возмущение поверхности растет со временем как е". Поведение (7.79) Рнс. 7.4.
Днсперснонная кривая на плоскости ыг, й. В верхнем квадранте ч = О н ~у вещественны; в нижнем квадранте т = О н ~ч вещественны. возмущения определяется расположением кривой дисперснонного уравнения на плоскости переменных атт, й (рис. 7.4). Для малых значений и график линеен, даже если есть магнитное поле. При больших значениях й капиллярное слагаемое главное и все кривые переходят в кубические кривые. Если магнитное поле отсутствует, то система, конечно, устойчива ко всем малым возмущениям. Однако при медленном увеличении магнитного поля квадратичное слагаемое начинает определять поведение кривых при средних значениях й.
Как видно из рис. 7.4, переход от устойчивого состояния к неустойчивому происходит, когда одновременно выполняются следующие условия: отт = О, (7. 80) дсот/дй = О. (7.81) В точке перехода при увеличении намагниченности ы переходит от вещественного (т = 0) к чисто мнимому значению (у = 0). Уравнения (7.80) и (7.81) являются условиями смены устойчи- !99 7.й Задача об устойчивости в ортогональном ноле восги, выражения, введенного Пуанкаре при исследовании фор- мы и устойчивости вращающихся капель. Применяя эти усло- вия, получим /г, = (рд/о) Мт= — (1+ «') (рд~)н~.
(7.82) (7.83) Критическое волновое число й, для задачи об устойчивости в ортогональном к поверхности поле аналогично критическому волновому числу в задаче Рэлея — Тейлора, которая будет рассматриваться в равд. 7.3. Уравнение (7.83) определяет критическое значение намагничен- .ч« ности, т. е. наименьшее значе- 1 ние намагниченности, при котором явление неустойчивости м до может наблюдаться. И действительно, эксперименты по- Д«,~ г с~ казали, что, когда намагниченность увеличивается от нуля с увеличением приложенного и Н,д/лв магнитного поля, поверхность жидкости, совершенно плоская рнс. Тлн Определение хордовой н во всем интервале напряжен- дифференциальной магнитных прониностей магнитного поля до не- цаемостей магнитной жадности.
которого значения, при достижении этого значения неожиданно меняет форму; это — прекрасный тест для теории. Наоборот, никакое увеличение приложенного поля О, как бы оно ни было велико, не приведет поверхность в неустойчивое состояние, если намагниченность насыщения жидкости меньше значения М„даваемого формулой (7.83). Если вместо вакуума на рис. 7.1 вышележащей фазой является немагнитная жидкость (обозначаемая индексом 2), то дисперсиоиное уравнение имеет вид 22 М2 ,2(р 1 р) йьЛр+ она (7.
84) где Лр — = р~ — рт. Соответствующие выражения для критического волнового числа и критической намагниченности получаются простой заменой р в формулах (7.82) и (7.83) на Лр. Хотя выражения для критического волнового числа одинаковы как для линейно, так и для нелинейно намагничивающихся сред, выражения для критической намагниченности различны. 200 7. Задачи об устойчивости в феррогидродкнолнке Соответствующее (7.83) выражение для нелинейно намагничивающейся среды имеет вид Мт=- — '(!+ ! )(длра)ие, (7. 85) где (7.86) а !ь,=— Во(Но — «хордовая» проницаемость; !ь, — = (дВ)дН)о — «дифференциальная» проницаемость; графическое определение этих проницаемостей дано на рис. 7.5.
Таким образом, относительная проницаемость !ь/)ьс в выражении для линейно намагничиваю- щейся среды заменяется на гт геометрическое среднее хордовой и дифференциальной проницаемостей. Рис. 7.6. Эксперннентальная установ- ка лля фотографирования бликов на рис. 7 7 !Ноаепатче!д, 19826!. Эксперименты по устойчивости в ортогональном поле Каули и Розенцвейг (Соту!еу, Козепзтке!д, 1967) также провели аккуратные экспериментальные исследования условий возникновения явления неустойчивости в ортогональном поле и кри- тически сравнили полученные Фетоллелче данные с теоретическими реКольцевой зультатами. В экспериментальдбъектнв осточнцк свето ной установке, схематично изображенной на рис. 7.6, чаша с магнитной жидкостью помещалась в однородное верти+ кально направленное магнитное поле пары электромагнитов; в установку также входил прибор для наблюдения отрав женного от свободной поверхности света.
Кольцевой источник света, окружающий объектив, за объективом воспринимался как точечный. Любая Магчлтлал тидчвсть локальная плоская площадка на возмущенной поверхности жидкости — максимум, минимум или седловидная точка— отражала свет источника; в результате наблюдалась картина из бликов, изображенная на рис. 7.7. Гексагональная структура на этой фотографии напоминает картину тепловых конвективных ячеек (см. рис. 1 в работе (СЬгапг)газе)сЛгаг, 1961); однако магнитная жидкость неподвижна и в ней нет конвенции. При увеличении напряженности приложенного поля выше критического значения на поверхности жидкости 7.Д Задача ой устойчивости в ортогональном лоле вз! Рис.
7.7. Гексагональнме кчейкн, возникающие вследствие неустойчивости магнитной жидкости в ортогональном поле 1Со»1еу, Коаепатче1й, 1967). вырастали высокие острые пики. Величина возмущающих сил, устанавливаюшихся в этой системе в воздухе, такова, что высота пиков может превысить расстояние между ними, поверхность жидкости приобретает необыкновенный «щетинистый» вид. На рис. 7.8 проведено сравнение теоретической критической намагниченности с экспериментально полученной для магнитной жидкости, контактирующей с водой или воздухом.
Индекс 0 обозначает магнитную жидкость на основе керосина, плотность р магнитной жидкости изменялась варьированием концентрации частиц в керосиновом носителе. Экспериментальные точки показаны с отрезками возможной ошибки, представляюшими предполагаемую неопределенность в измерении значения критической намагниченности. Теоретические результаты по уравнению (7.85) очень хорошо согласуются с экспериментальными значениями М,. Для поверхности раздела жидкость — жидкость между магнитной жидкостью на углеводороде и водой критическая намагниченность 202 7, Задачи об устойчивости е феррогидродииамике падает до нуля при нулевой разности плотностей; это происходит, когда плотности верхнего и нижнего слоев одинаковы. В эксперименте значение ро равно 792 кг м-з; так как плотность 3,0 2,5 — 2,0 Ь 1,5 щ" 1,0 0,5 0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Р)Р0 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
