Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 35
Текст из файла (страница 35)
7.8. Сравнение экспериментального значения критической намагниченности с теоретическим при появлении неустойчивости в ортогональном поле; 1 — максимальная намагниченность насыщения (Сотч1еу, козепзчге)6, 1967). 2,0 1,8 1,6 и 1,0 Р 0,8 0,6 1О 12 1,4 1,6 1,8 Ргг Ро Рис. 7.9. Сравнение экспериментального значения критического расстояния между пиками с теоретическим прн появлении неустойчивости в ортогональном поле 1Соа)еу, козепзтче)8, 1967).
воды приблизительно 1000 кг. м — з, точка пересечения на рис. 7.8 соответствует относительной плотности 1,26. На рис. 7.9 изображено сравнение экспериментальных значений расстояний между пиками жидкости с теоретическими ре- 7.П Задача об устойчивости в ортогопальпом поле 203 Нелинейный анализ Линейный анализ не позволяет сделать заключения о структуре картины неустойчивости, возникающей из суперпозиции возмущений с разными направлениями; невозможно также определить амплитуду искривления поверхности. Кроме того, вопросы о характере перехода при появлении неустойчивости и о расчете послекритических структур остались незатронутыми.
Эти задачи теоретически рассмотрели В, М. Зайцев и М. И. Шлиомис (!969Ь) и А. Я. Гайлитис (1969, 1977). А. Я. Гайлитис применил вариационный энергетический метод, в котором полная энергия и(г) возмущенной поверхности произвольной формы г = го(х, у) представлялась в виде суммы гравитационной энергии и, поверхностной энергии и, и энергии магнитного поля и : (7,87) и(г)=и,+и,+и где ив —— — рй ~ ~ «' (х, у) дх г(у, (7.88) и, = о ~ ~ [1 + (дг/дх)' + (дг/ду)'] и' дх г(у, (7.89) и.= ~~~~НдВдхдуд . (7.90) Если магнитная восприимчивость постоянна, то выражение для магнитостатической энергии, как было показано в гл. 3, можно зультатами по уравнению (7.82) (сплошные линии); снова видно хорошее согласие теории с экспериментом. Критическая намагниченность для поверхности раздела магнитной жидкости с воздухом почти постоянна, так как увеличение эффективной восприимчивости компенсируется изменением плотности.
Критические кривые на рис. 7.8 и 7.9 рассчитаны без подбора каких- либо констант; ясно, что эти эксперименты дают критическую проверку теории. Знание и учет явления неустойчивости в ортогональном поле и других неустойчивостей ФГД на практике может быть очень важным. Однажды предлагалось слоем магнитной жидкости покрыть поверхность намагниченного шара, который затем приводился бы во вращение, чтобы моделировать вращение Земли. Поле, действующее внутрь шара по радиусу, моделировало бы силу тяжести, а вся установка, как полагалось, давала бы возможность создания трехмерной лабораторной модели земных океанов. При реализации установки модель не получилась из-за появления неустойчивости поверхности в ортогональном поле; области океанов над полюсами «ощетинились> жидкими пиками и это испортило масштабные свойства модели.
204 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииа.каке преобразовать к более удобному виду (7 = — — ~)') ПМН,с(хс(ус(з+ — ~~~1»оН'с(нс(ус(з. (7,9!) Поверхность гв(х, у) представлялась в виде суперпозиции Н одномерных волн с разными направлениями гв (х, у) = ~ а, соз (14; г+ б;), (7.92) ! ! где й; и б, — волновой вектор и фазовый угол моды 1 соответственно. Энергия (7(г) представлялась в виде степеннбго ряда и искался экстремум ряда, соответствующий равновесной форме поверхности.
Максимумы и седловые точки соответствовали неустойчивым состояниям равновесия, тогда как минимумы— устойчивым состояниям равновесия. При нахождении устойчивых состояний равновесия рассматривались поверхности, состоящие из одной, двух и трех волновых мод. Анализ показал, что имеются три возможные устойчивые конфигурации поверхности: плоская поверхность, гексагональная волновая структура и квадратичная волновая структура. На рис. 7.10 показано, что при критическом поле Н, происходит «жесткое» возбуждение стационарной гексагональной волновой картины, зо(Н,)~ О.
Гексагональная структура может быть разных типов: на верхней полуплоскости график изображен для структуры с одним максимумом, двумя минимумами и тремя седловыми точками на каждую элементарную гексагональную ячейку (каждый из шести минимумов ячейки приходится на три ячейки, а каждая из шести седловых точек ячейки приходится на две ячейки). На нижней полуплоскости (на рисунке не показана) изображен график структуры другого типа: с двумя максимумами, одним минимумом и тремя седловыми точками на каждую элементарную ячейку.
Устойчивым равновесием в теории оказывается только первый тип структуры, что находится в соответствии с наблюдениями Каули и Розенцвейга (Соцг)еу, Розепзъе1п, 1967). На рис. 7.10, кроме того„ показано, что гексагональная структура устойчива при Н ( Н,. Если Н ) Н,, то гексагональная структура замещается на квадратичную, которая остается устойчивой и при уменьшении поля до Н ( Н, В закритической области (Н ( Н,) и на отрезке от Н, до Н, имеет место гистерезис. Последовательная смена структур при увеличении или уменьшении поля на рис. 7.10 показана стрелками.
Точка, как, например, та, которая соответствует наименьшему полю на кривой устойчивой гексагональной структуры, называется точкой перехода. В этой системе, когда магнитное поле, уменьшаясь, 7.1. Задача об устойчивости в ортогональном поле 315 переходит через эту точку, амплитуда пиков на поверхности резко падает до нуля. В экспериментах с типичными манитными жидкостями с относительной магнитной проницаемостью порядка 5 жесткое возбуждение не наблюдалось. Однако Бакри и Салин (Васп, БаИп, 1984) подтвердили существование жесткого возбуждения и наблюдали элементы закритичного гистерезиса, включая точку перехода, для магнитной жидкости с относительной магнитной проницаемостью порядка 40 — удивительно большой величиной.
пь с м и мс с Ис и нь и Рис. 7.10. Нелинейный анализ неустойчивости в ортогональном поле пред сказывает явления бифуркации и гнстерезиса (Гайлитис, 1977). Такая магнитная жидкость получалась сепарацией фаз коллоидной дисперсии, стабилизированной зарядом. С явлением гистерезнса связан и сообщаемый Бакри и Салином (Васг!, ЬаИп, !983) эффект скачка в величине удлинения капель при увеличении и уменьшении поля. В линейном пределе в анализе А.
Я. Гайлитиса (1969, !977) получаются исходные соотношения Каули и Розенцвейга (Сош!еу, Козепзнте!д, 1967) — уравнения (7.82) и (7.87). В анализе А. Я. Гайлитиса получается как частный случай и одномерный нелинейный результат В. М. Зайцева и М. И. Шлиомиса (!970); но этот результат соответствует седловой точке в зависимости энергии в более широком классе двумерных возмущений и, следовательно, неустойчивому состоянию. В анализе Бранчера (Вгапс(тег, 1978) невязких колебаний определен фазовый портрет динамического периодического процесса, но наименее устойчивая мода и здесь не определена. Другие анализы — анализ с учетом вязких эффектов (Вгапсйег, 1980), ма.
тематический анализ бифуркаций (ТтуогпЫу, ТИотаз, !980) и рассмотрение (МаИк, 8!пд)т, !983), основанное на методе нескольких масштабов, — указывают, что тип перехода существенно определяется критической величиной проницаемости. Б. М. Берковский и В. Г. Баштовой (1980) описали явление топологической неустойчивости, которое происходит в очень зоб 7.
Задачи об устойчивости в фгррогидродинаиинв 7.2. ОБЩЕЕ ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД В НАКЛОННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ Приведем более общее дисперсионное уравнение, которое будет далее использоваться для других более сложных задач. Предположим, что сила тяжести направлена перпендикулярно исходной плоской поверхности раздела, слои жидкости движутся 'l~ ,Ф 1ть Рис. 7.11. Обозначения в общем дисперсионном уравнении. Первоначально два однородных слоя толщиной а и Ь имели бесконечную поверхность раз- дела.
со скоростями (7. и (уь соответственно выше и ниже поверхности раздела, приложенное магнитное поле Н лежит в плоскости у, з (рис. 7.11). Искривление поверхности представляется в виде распространяющегося вдоль оси у возмущения следующей формы: з = йе Ке ехр [1 (ы! — (гуу)], где, как и в выражении (7.27Ь) для Е, допускаются комплексные значения го с тем же определением то =у — Ы, в котором у н и — вещественные числа. Общее дисперсионное уравнение для тонком горизонтальном слое магнитной жидкости. В этом случае сначала появляется гексагональная структура, а затем, при дальнейшем увеличении поля, происходит разрушение сплошности жидкости с образованием отдельных капель; при этом сохраняется гексагональная геометрия системы.
Эффект хорошо демонстрируется при нанесении пленки магнитной жидкости на органической основе на поверхность воды в открытом стакане и включении поля, перпендикулярного поверхности (Кепбга, 1982). Процесс разрушения здесь облегчался и вследствие этого наблюдалось интенсивное отталкивание отдельных капель и разбрызгивание их из стакана. Скьелторп (СЦе11огр, 1983Ь) нашел замечательную аналогию, в которой поверхность магнитной жидкости с пиками моделирует двумерный кристалл с дислокациями, дисклинациями и точкой плавления. Роль температуры здесь выполняет напряженность магнитного поля. 207 7.8. Задача Рэлея — Тейлора случая линейно намагничивающихся сред (Р= сопз() имеет вид (ьь — й,(7,)' р, с(п lга + (ьь — Ь„Бь)ь р, сй lг Ь = 1. РЬ 1Н йа + РЬ ьь ЬЬ йехие(Р« — Рь)' Рь Шйа+Р.
ШЬ 1 Для толстых слоев (а-» со, Ь-ь-оо) уравнение (7.93) упрощается, так как гиперболические тангенс и котангенс стремятся к единице, когда их аргумент неограниченно возрастает. Дисперсионное уравнение в этом случае принимает вид (ьь Яе(э ) Р + (ьэ не(эь) Рь = йеи На Н йеН (Р— Рь 1 Полагая значения Уч, Уь, Р„Н„равными нулю, рь = Рь, Рь = р, Рь — — н и учитывая, что Н, '— Н, = Мь — М,' = Мь = М,, получаем дисперсионное уравнение (7.76) задачи об устойчивости в ортогональном поле. 7.3. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ вЂ” ТЕЛЛОРА Если легкая жидкость находится в контакте с тяжелой жидкостью под действием некоторой силы в направлении первой, то плоская поверхность раздела между ними может стать неустойчивой. Иллюстрацией такой неустойчивости является выливание жидкости из перевернутой бутылки, несмотря на то что атмосферное давление эквивалентно водяному столбу высотой 10 и.
На фотографиях видно, как пузырьки воздуха проникают в жидкость, а в воздух из жидкости вытягиваются острые выступы. Неустойчивость исчезает в известном демонстрационном эксперименте, когда горлышко бутылки плотно закрывается листом плотной бумаги. Когда бутылка перевернута, лист бумаги механически исключает рост любых возмущений на поверхности. Магнитное поле может оказать аналогичное стабилизирующее «немеханическое» влияние (см. также равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
