Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Функция Ко(йг) становится бесконечно большой при кг= О, но скорость, а следовательно, потенциал Ф должны оставаться конечными; поэтому постоянная ст для этой задачи должна быть положена равной нулю; в результате )с (г) = с,1о(аг). Если радиус невозмущенной струи равен го, то уравнение деформированной поверхности струи можно записать в виде г = го + ь (з !) (7. 131) где ~ — а ~миг-ог) (7.132) Эти соотношения описывают цилиндрическую, с перетяжками форму возмущенной струи жидкости.
На поверхности струи нормальная компонента скорости жидкости должна равняться скорости перемещения поверхности в соответствии с линеаризованным кинематическим условием [ср. с условием (7.21)]. Поэтому в„= а, = дь/д1 при г = го. (7.133) Вычислив из уравнения (7.128) аг=- — дФ/дг, а из уравнения (7.132) дЬ/дг и заметив, что г(1о(нг)с(г = й1, (йг), где 1, (йг— модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка, из уравнения (7.133) найдем, что )Мае)О (ЙГ) ВГ бл Ее) (7.
134) а)1 (аго) Все, что до сих пор было найдено,— это всего лишь произведение Ф!т(г) в выражении (7.128). Найдем уравнение, связывающее й и го. Для этого надо использовать уравнение баланса сил на поверхности. Предварительно нужно получить решение для магнитного поля. Поле описывается уравнениями Максвелла в приближении магнитостатики: 7)(Н =О, Р . рН = О. (7.135) Из уравнений (7.135) следует, что поле Н в магнитной жидкости с постоянной проницаемостью р имеет потенциал ф такой, что Н = — '(гчр; при этом потенциал должен удовлетворять уравне- 227 7.7.
Устойчивость всидкик цилиндров нию Лапласа Рзчу = О. (Ср. этот вывод с аналогичным выводом для скалярного потенциала в вакууме в равд. 3.1.) Потенциал чр можно представить в виде $ = — во~+ $', (7. 136) где первое слагаемое в правой части описывает однородное невозмущениое поле внутри соленоида, а ф' — дополнительное поле, возникающее из-за возмущений формы жидкого столбика исходной формы струи. Так же как и в случае с потенциалом скорости, уравнение Лапласа для магнитного потенциала можно записать в цилиндрической системе координат и найти его решение для областей внутри и снаружи струи. В результате получим ~Ф = а~7в (йг) е фз=[аз/о(йг)+ Ь~Ко(йг)) еспм (7.137) (7.138) где индекс 1 относится к внутренней области струи, а индекс 2— к внешней.
Эти решения должны удовлетворять граничным условиям для магнитного поля на поверхности раздела двух областей. Этими граничными условиями являются условие непрерывности нормальной компоненты индукции поля и условие непрерывности тангенциальной компоненты напряженности поля при г= го.' (7.139а) (7.139Ь) (1ьО„), = (1ьН„)т, (Нс)1 = (Нс);, выражая граничные условия через потенциалы при г = гь с учетом соотношений 1ь, = !ь и 1ьв = 1ьь, получим пп р~,=п,п ~ф,, (7.140а) 'т'1 $2. (7.140Ь) с На поверхности соленоида г = )св потенциал возмущения фт равен нулю: чр', = 0 при г = Яо.
(7. 140с) Решения для потенциалов возмущений (7.137) и (7.138) содержат три неизвестные постоянные аь ам Ьт, граничные условия для поля в виде уравнений (7.140) дают такое же количество соотношений. Поэтому эти постоянные можно определить при помощи граничных условий для поля. Чтобы вычислить слагаемые уравнения (7.140а), необходимо иметь выражение для нормали п в цилиндрической системе координат. Для вывода этого выражения воспользуемся приемом, применявшимся в равд.
7.1. Уравнение поверхности струи можно записать в виде г=((а); поэтому уравнение г — 1(а)=сонэ! 228 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииаасике представляет собой семейство подобных поверхностей и вектор 0«1« †/(»)] направлен вдоль нормали к поверхности п. Вычислив вектор нормали при помоши выражения для оператора градиента в цилиндрической системе координат ( 0' = 1,д/дг + + 10(д/дО) /« + 1,д/д») с учетом того, что в данной задаче д/дО = О, и поделив его на длину ]'Г(« — /(»),]], получим с точностью до членов первого порядка малости: (7. 141) и=1, — 0,дед»; где А «! ((0~0) Ко (~~~0) «О (ййо) К! (~го) (о (йго) Ка (й!Оа) (о (ййа) Ко (йга) При предположении, что обмотка соленоида удалена от поверхности струи, так что «о/)чо « 1„выражение для А принимает вид А = — К~ (й«о)/Ко (й«о) Рассмотрим теперь условие равновесия оси на поверхности струи в форме (5.24).
Это условие можно переписать в виде и П+ (Оо ~ Ме(Н+ 2 М = ро+ 2Уйо. о (7. 143) Здесь П = р+ р, для магнитной жидкости, а ро — атмосферное давление. Подставив выражение для нормали п (7.!41) в формулу для 2М (7.11), получим ! д ! да ди 1 д~й А=7 и= — — («л)+ о+ о.= — 0 (7144) г дг ' г да де г два ' Выражение для средней кривизны поверхности с учетом фор- мулы для ~ (7.132) и соотношения г-' = г-' (1 — ь/«), справед- ливого в линейном приближении, преобразуется к виду 2~й = ~ — — 2 ]1 (к«о) ] ~ «! 2 'о 'о (7.145) причем здесь функция /(») заменена на правую часть уравнения (7.131). Найденные после алгебраических преобразований постоянные в решениях для потенциалов равны а, =- (аоНО (р — (со) ])О/! (Ь«о) — (ООА/о (/о«о)] (7.142а) сао~о (и (00) О («сго) КО (ййа) (7.
142Ь) (И«0 (ого) — (004«о (йго)11(а (йго) Ко (Ма) — «о (Мо) Ко (Ггго) ! до = — о2/о (Мо)/Ко (/2)70) (7.142с) Ч.г, Устойчивость жидких цилиндров 229 Слагаемые с намагниченностью в уравнении (7.143) с точностью до величин первого порядка малости представляются в виде Н Ро~ Мс(Н=(Р Рв)(2 Но+ НоНх), 2 РоМл -О, (7.!46) о где Н,' = — дф'/дз = 1/сч(т'.
(Напомним, что чр' — комплексная величина; здесь имеется в виду только вещественная часть этого выражения.) Уравнение баланса сил на поверхности невозмущенной струи (7.!43) имеет вид Пв + (Р Ро) ('/сНо) = ро 1 о/'о (7.147) где Пв — значение П в невозмущенном состоянии.
Вычитая это уравнение из полного уравнения баланса сил на возмущенной поверхности, получим (П Пв) + (Р Ро) сйНотР' =: (1 /т го) (7.148) то Слагаемое П вЂ” Пв можно определить подобным же вычитанием при помощи нестационарного уравнения Бернулли (5.5), в котором функция /(1) = По = сопз1, так как р и Ф предполагаются пространственно периодическими. В отсутствие силы тяжести в первом порядке малости имеем П вЂ” По = Р дФ/дк (7. 149) Исключая последовательно переменные из уравнений (7.134), (7.149), (7.138), (7.132) и (7.!48), найдем дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся на поверхности струи— результат, полученный Н. Г. Тактаровым (1975): ь.
Но 0' Ро) 1о(ьто) "'о(ьто) ой!, (это) Р(Р! ('т.) Ко(йто)+ив!о('то) К (это)) якого(это) (7. 150) Величина сот здесь может быть как положительной, так н отрицательной. В первом случае св вещественно и соответствующее движение устойчиво. Во втором случае св имеет два чисто мнимых значения; значение со знаком плюс приводит к возрастанию амплитуды возмущения и, следовательно, к неустойчивости.
В этом случае струя рассыпается на капли. В отсутствие поля первое слагаемое в правой части уравнения (7.150) отсутствует; то, что остается, есть классический результат Рэлея. Неустойчивость появляется, когда й,го ( 1 ()ч ) 2пго), т. е. когда длина волны превышает длину периметра струи. 230 7. Задачи об устойчивости в феррогидродинаиике График зависимости безразмерной величины оут(о/рг~~) ' от !/гго) при постоянных значениях !г/!гв изображен на рис.
7.24. Видно, что с увеличением проницаемости жидкости точка пересечения графика с осью абсцисс, выражающая минимальную длину волны с неустойчивостью, сдвигается в область больших длин волн. Минимум кривой, соответствующий наиболее быстро растущей волне неустойчивости, также сдвигается к более длинным волнам, что указывает на большую величину образующихся 0,10 0,05 н га с г~ ь 0 а — 0,05 0,10 Рис.
7.24. Дисперсионные кривые в задаче об осесимметричной струе в однородном продольном магнитном поле; случай р1из — 1 соответствует не- магнитной жидкости. капель. Длина еще не распавшейся части струи имеет порядок и/!го ~, где и — скорость струи. При увеличении проницаемости жидкости глубина минимума )от ! уменьшается; зто означает, что амплитуда возмущения растет медленнее, Таким образом, теория показывает, что струю магнитной жидкости можно стабилизировать продольным магнитным полем в том смысле, что длина нераспавшейся части струи и размер получающихся при распаде капель будут больше. Для всех кривых на рис.
7.24 безразмерная комбинация !ьпН,'(о/гс) ' имела одно значение 5/!4я). Это соответствует, например, значениям роН,=!0-' Тл, 0=0,02 Н м-', р= = 10з кг м-з, го= 0,01 м. Эти величины легко получаются для 23! 7.7. Устойчивость жидких цилиндров существующих магнитных жидкостей и источников магнитного поля умеренной интенсивности. Магнитную стабилизацию струи магнитной жидкости наблюдали в лабораторных условиях В.
Г. Баштовой и М. С. Краков (1978). Цилиндрический столб жидкости в поле с радиальным градиентом Проводились исследования интересной тесно связанной с предыдущей задачи об устойчивости цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей длинный прямолинейный проводник с током. Такая система стационарного столба быстро приготовляется в лаборатории, и ее можно легко исследовать. Описание этого исследования имеется в обзоре Б.
М. Берковского и В. Г. Баштового (1980). Магнитное поле цилиндрического проводника с током описывается следующим точным решением уравнений Максвелла: Нг = О Нв = Н = //(2пг), Н, =- О; (7.15!) ось г цилиндрической системы координат здесь направлена вдоль оси проводника. Так как магнитное поле тангенциально свободной поверхности магнитной жидкости, то нет причин для появления неустойчивости такого типа, как в ортогональном поле. Влияние магнитного поля здесь сказывается в существовании объемной силы из-за неоднородности поля. В точке свободной поверхности г, градиент поля имеет величину 6 — = ! с(Н/с(г! = //(2пго), (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
