Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Объемный момент сил С может привести к течению вязкой жидкости, как на рис. (с) и (й). С другой стороны, течение вязкой жидкости, как на рис. (е) н (!), может вызвать появление момента сил магнитной природы. Ненулевой вектор А, скорость преобразования внешнего и внутреннего момента импульса з, приводит к неравенству поверхностных сил, см. рис. ((з). з — внутренний момент импульса, С вЂ” поверхностный момент сил.
247 В.1. Явления В этом течении поле стационарно, а стенки движутся. Физическая причина эффекта в этом случае состоит в том, что магнитное поле фиксирует ориентацию частиц внутри жидкости, вызывая дополнительное трение и диссипацию энергии. Еще одна ситуация, в которой работает этот механизм дополнительной диссипации, показана на рис. 8.1(1). Постоянное поле накладывается на стационарный поток магнитной жидкости, обтекающий плоскую неподвижную пластину; в результате поле начи- нает влиять на течение жидкости в пограничном слое около Рис.
а.2. Стакан с магнитной жидкостью (вид сверху). Для создания однородного вращающегося поля к двум парам катушек подается переменный ток со сдвигом фазы на 90. Как здесь показано, вектор намагниченности отстает от вектора приложенного магнитного поля. пластины; течение в пограничном слое вихревое, поэтому оно стремится повернуть магнитные частицы магнитной жидкости от направления магнитного поля; здесь опять имеется состояние относительного вращения частиц и несущей жидкости. Однако если поле параллельно пластине и перпендикулярно плоскости течения, то эффекта не будет, так как частицы могут свободно вращаться вокруг своих осей, параллельных направлению поля.
Исследование несимметричных напряжений в магнитных жидкостях очень заманчиво с точки зрения технологии из-за возможных приложений к таким устройствам, как насосы без движущихся частей, появления возможности управления процессами тепло- и массопереноса в конвективных течениях и для снижения трения в пограничных слоях. В чекоторых полимерах 248 д. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения и жидких кристаллах, по-видимому, также в слабой степени проявляются подобные эффекты, но в магнитных жидкостях они заметнее.
Добавим, что и сама по себе эта тема представляет несомненный научный интерес. В настоящее время теория рассматриваемого здесь предмета еще не завершена. В этой главе развиваются те разделы обшей 280 200 160 12 0 О!002 0,004 0,006 В,Тл Рис. 8.3. Экспериментальные данные иа работы (Моайожцт, Цоаепатге10, 1967). Зависимость угловой скорости вращения жидкости ы (рад/мин) от величины приложенного поля В. теории, которые представляются правильными и строгими. Вопросы, которые вызывают неуверенность, специально отмечаются. Раздел 8.2 начинается с изложения некоторых общих принципов механики континуумов.
8.2. ПРИНЦИП НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА п~„~~„, (8.1) Второй закон Ньютона для частиц в механике сплошных сред распространяется на случай контннуумов в виде постулата, утверждающего, что скорость изменения импульса вещества в объеме У равна сумме объемных сил, действующих на этот объем, и поверхностных сил, действующих на поверхность, ограничивающую объем У: 8.2.
Принцип напряжений Коши и закон сохранения импульса 249 Рис. 8А. Объем р с характерным линейным размером й. слагаемого в уравнении (8.1) при Н-~0 ведет себя таким образом: (8.2) )т (з И з р д)т, дз ДЯ дз (8Л) (8.4) В пределе слагаемые с интегралами по объему становятся пренебрежимо малыми по сравнению со слагаемым с поверхностным интегралом. В результате заключаем, что 1пп —,$(„д5 =О. а.+о й Таким образом, напряжения должны находиться в локальном равновесии. Локальное Равновесие поверхностных напряжений Здесь р — плотность сплошной среды, ч — скорость, Р— внешняя сила, рассчитанная на единицу массы и тп — вектор напряжения.
Уравнение (8.1) выражает так называемый принцип напряжений Коши и является интегральным уравнением закона сохранения импульса. Рассмотрим теперь объем, изображенный на рис. 8.4. Оценим по порядку величины слагаемые уравнения (8.!), когда объем стягивается в точку Р с сохранением своей формы. Если характерный линейный размер объема )с есть д, то величина каждого 250 8. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения имеет место как для полярньсх, так и для неполярных сред.
Уравнение (8.5) подтверждает правильность полученной ранее записи баланса сил, действующих на малый контрольный объем в виде тетраэдра; а из этого уравнения следует в свою очередь, как показано в равд. !.7, существование тензора поверхностных напряжений Т. 8 8. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ВЫРАЖАЮЩЕЕ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ДЛЯ НЕПОЛЯРНЫХ СРЕД Уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса неполярноео вещества в объеме )т, записывается в виде —, ~ р (г Х ч) Л' = ~ р (г Х Р) с((т+ ~ (г Х („) д5.
(8.6) Это уравнение утверждает, что скорость изменения момента импульса вещества, находящегося в данный момент в объеме равна сумме моментов объемных сил, действующих на объем среды, и поверхностных сил, действующих на ограничивающую объем поверхность. Оценивая по порядку величины каждое слагаемое в уравнении (8.6] и предполагая, что объем стягивается в точку, приходим к очевидному выводу, что ! пп —, $ (г Х (п) с(5 = О. и о д (8.7) Таким образом, е неполярных средах моменты поверхностных напряжений находятся е локальном равновесии. Из уравнения (8.7) следует, что тензор напряжений Т независимо от его физического происхождения в неполярной среде симметричен, т.
е. Т = Тт, или, что то же самое, ТН = 7) ь Дадим эвристическое доказательство симметричности тензора напряжений; более строгое доказательство будет приведено несколько позже. Симметричность тензора напряжений можно установить следующим рассуждением. Чтобы упростить доказательство, запишем уравнение (8.7) для двумерной поверхности, но доказательство легко распространяется и на три измерения. Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности с размерами бх на бу в декартовой системе координат (рис.
8.5). Начало системы координат поместим в центр элемента. Разложения в ряд Тейлора компонент тензора напряжения в окрестности в.З. Интегральное уравнение, выракающее закон сокранения 251 начала координат с точностью до членов первого порядка малости имеют вид Т»у( з, 0)=Т»у(0, О)+ р ( '") . (8.8) Например, сила на верхней стороне элемента равна Ту„(0, Ьу/2) Ьх, а ее момент относительно начала координат равен Ту (О, Ьу/2) Ьх Ьу/2; на нижней стороне элемента сила т„.(о,йр/2) т (-дЩО) т„я(б,-йп/З) Рис. 8.5. Бесконечно малый элемент, для которого записано уравнение баланса момента импульса. Показаны только те компоненты тензора напряжений, которые вносят вклад в уравнение баланса.
равна Ту,(0, — Ьу/2) Ьх, а ее момент равен Ту,(0, — Ьу/2) н, Х Ьх( — Ьу/2). Записывая уравнение баланса всех моментов сил относительно начала координат с учетом принципа локального равновесия, видим, что все слагаемые более высокого порядка взаимно уничтожаются; в результате имеем Т „= Т„ю так что симметричные компоненты тензора напряжений равны. Рассуждение можно повторить и для других осей системы координат: в результате тензор напряжений симметричен.
Здесь не учитывалось, что касательные компоненты напряжений меняются вдоль каждой стороны элемента; поэтому для строгого доказательства симметричности тензора напряжений нужен более тгцательный анализ; этот вопрос будет рассмотрен в равд. 8.6. 252 8. Миенитные жидкости и несимметричные нилряжения 8.4. ТЕОРЕМА ПЕРЕНОСА РЕЙНОЛЬДСА Перед дальнейшим изложением материала введем одну полезную теорему. Рассмотрим интеграл )†= 1 У (х, <)д)<, где !,и) )т(<) — выделенный объем, состоящий в любой момент времени из одних и тех же частиц, т. е.
материальный объем, а У (х, 1)— некоторая скалярная, векторная или тензорная функция, например плотность или скорость. Согласно теореме переноса Рейнольдса для производной интеграла по объему, материальная производная от ! дается выражением — ~ У (х, 1)Л'= ~ ' с5'+ <~ У (х, Г)ч пд5. (8.12) з<п ч<п ч<п Теорема переноса, таким образом, утверждает, что полная скорость изменения интеграла по объему от величины У равна сумме интеграла по объему от ее локального изменения и изменения за счет притока через поверхность из соседних областей. Поверхностный интеграл в уравнении (8.12) можно преобразовать в объемный интеграл при помощи теоремы о дивергенции: ~ У (х, Г)ч ° иди =.
~ Ч ° (У ч)й)<= з<о чп) ~ У(Ч ч)сй'+ ~ ч ° ЧЗ. й)т; (8.13) ) <о ч<<) последнее равенство здесь было получено при помощи векторного тождества Ч (У ч) =У (Ч. ч)+ч ЧУ и, следовательно, справедливо только для случая, когда У вЂ” скалярная функция. Подставляя выражение (8.13) в уравнение (8.12) и используя определение (4.57), получим — ~ У (х, !)Жт= ~ [ — +3 <,Ч ° ч)1й)'. (8.14) и<о ч<п Если У = рф, где ф — произвольная функция, то уравнение (8,14) можно преобразовать к виду — ~ р<()с5'= ~ [р —,+фЯ+рЧ ° ч)1Ю.
(8.15) )'<о чщ Положив в уравнении (8.15) ф = 1, получим выражение для скорости изменения массы в материальном контрольном объеме — ~ рй)< = ~ (++ рЧ ч) Л'. (8.16) ни) ч и) В.В. уравнение деикения Коши 253 Масса материального контрольного объема, как это непосред- ственно следует из его определения, постоянна, поэтому — < ~ рс(1<=0= ~ (в, +рЧ ч)Л'. (8.17) и<о < и> Учитывая, как обычно, произвольность выбора контрольного объема, заключаем, что подынтегральное выражение во втором равенстве должно тождественно равняться нулю; Рр/И + рч ч = О, (8.18а) или др/д1+ Ч (рч) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
