Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 40
Текст из файла (страница 40)
152) Линейный анализ устойчивости системы к возмущениям, которые могут распространяться вдоль поверхности жидкости с постоянной восприимчивостью 7 = М/Н, приводит к следующему дисперсионному уравнению, записанному здесь в безразмерной форме: РгОсь ( 1! (йгь) К! (1гя) 1! (йя) К! (йго) + РеКо(йго) а ( !ь(вгь) К! (йг)+1! (йк) Кь(йгь) РК, (йг,) ( Х (йго) (йгв, — 1 + )сс'гоо), (7.158) где Кгв, определяется как магнитное число Бонда, )чг — радиус проводника, р,— плотность внешней среды, р — плотность магнитной жидкости: /ч'вь, т = — )соМСгс(т/а = 1со)(/т/(4лтгоа).
(7. 154) Неустойчивость наступает при о!в = О. Знак правой части уравнения (7.153) определяется знаком выражения К1вь, ~ — 1+ /свго. 989 7. Задачи об устойчивости в феррогидродинамике Отрицательное значение это выражение может принимать только при Ун,, ( 1. С этой точки зрения критическое значение Жа,,м равно единице. Наиболее опасные возмущения имеют наиболее быстрый рост и, следовательно, соответствуют значению Жн,, , для которого безразмерная частота минимальна. Результат линейного анализа рассмотрим для предельного случая 'уво вт~1 И~ ш=0,89 Рнс. 7.28.
Переход столба магнитной жидкости и цепочки иа соединенных капель при уменьшении магнитного числа Бонда йгв,, „(Беркоаский и Баш. топай, !980). тонкого цилиндрического слоя, го/гс — 1 «1, окруженного газом с прнебрежимо малой плотностью, р, = О. При этих предположениях уравнение (7.153) приводится к виду ,з т =( 1)(йг )'(М 1+ йогов) (7 155) Критическая длина волны Л, определяется из уравнения (7.155) по условию дго'/ди = О; (7.
156) в результате имеем Л = 2п/(йсто) = 2п ('/т (1 — Л1во, м)] (7.! 57) На рис. 7.25 иллюстрируются эксперименты с магнитной жидкостью на основе парафинового масла, находящейся в водном растворе глицерина с той же плотностью. Первоначально ток в проводнике из нержавеющей стали соответствовал магнитному числУ Бонда, большемУ кРитического, ЛГно, м ) 1. ПоэтомУ жидкость образовывала устойчивую цилиндрическую оболочку вокруг проводника. При уменьшении тока последовательно происходил ряд красивых преобразований формы жидкости в виде 7.8. Течение в пористой среде цепочки из соединенных капель на каждом этапе. Так как длина проводника конечна, то изменение формы жидкости происходило дискретно, при определенных значениях тока. Такое поведение хорошо видно и на рис.
7.26„где точками изображены экспериментальные данные для жидкого цилиндра в воздухе. Сплошная кривая на рис. 7.26 рассчитана по теоретическому уравнению (7.157) . Ы 3 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ва,т Рнс. 7.28. Сопоставление теоретического значения длины волны наиболее опасных возмущений жидкого столба с экспериментальными значениями (Берковскнй н Баштовой, 1980). Читатель должен был заметить сходство рассматриваемой здесь задачи с задачей о механизме стабилизации градиентным полем, обсуждавшейся в равд. 7.5. 7.8. ТЕЧЕНИЕ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ: НЕУСТОЙЧИВОСТЬ К ПОЯВЛЕНИЮ ОТРОСТКОВ Рассмотрим течение в пористой среде, в котором данная жидкость проталкивается сквозь пустоты среды другой жидкостью.
Оказывается, поверхность раздела двух жидкостей может стать неустойчивой, если более вязкая жидкость вытесняется менее вязкой, но не наоборот. Этот тип неустойчивости, при котором на границе раздела появляются отростки, изучался Сэфменом и Тейлором (5а((шап, Тау!ог, 1958) в рамках линейного анализа. Такое явление часто возникает при истечении масла из резервуара и в течениях подземных вод. Розенцвейг, Цан и Воглер (Козепззме)д, Еа)тп, Чод!ег, 1978) при помощи ячейки Хил-Шоу показали, что если слой намагничивающейся жидкости толкает более вязкую жидкость, то их поверхность 234 7. Задачи об истойчивости в феррогидродинаиикв раздела можно стабилизировать приложенным магнитным полем по отношению к возмущениям с достаточно малой длиной волны. Стабилизация в пористой среде эффективна только для волн, распространяющихся вдоль направления поля.
Чтобы промоделировать эту ситуацию, достаточно рассмотреть простую задачу для двух областей, как показано на рис. 7.27, где изображена магнитная жидкость, толкающая не- магнитную в присутствии внешнего тангенциального к поверхности поля. До наступления неустойчивости жидкости движутся Ра )за Рис. 7.27. Возмущения поверхности раздела двух разнородных жидкостей, фильтрующихся сквозь пористую среду; т' — скорость поверхности раздела. перпендикулярно поверхности раздела со скоростью Г Амплитуду возмущения поверхности снова будем предполагать меняющейся со временем пропорционально ехр(йо7). Хотя структура пористой среды точно неизвестна, предполагается, что осредненное движение жидкости адекватно описывается законом Дарси: (7.
158) О= — Р, — ра+И+1 где р — гидродинамическое давление; р =т1/К вЂ” отношение вязкости жидкости т1 к проницаемости среды К, которая в свою очередь зависит от геометрии пустот пористой среды; и — локальная средняя скорость жидкости; 1 — эффективная объемная магнитная сила. В уравнении (7.158) уже заложено предположение, что инерция в этой задаче несущественна и ею можно пренебречь. Дополнительными уравнениями являются уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости T и = О и уравнения магнитостатики Ъ ь~~ Н = О и т В = О. Все фигурирующие здесь величины предполагаются осредненными по некоторому объему. В гл.
9 выводятся уравнения для многофазного течения; можно убедиться, что уравнение (7.158) является част- 7.В. Течение в пористой среде ным случаем уравнения движения жидкой фазы (9.42а), рассматриваемого совместно с определяющими соотношениями (9.45) и (9.46а), когда инерционными слагаемыми можно пренебречь, скорость твердой фазы равна нулю и распределение пустот пространственно однородно.
Решение задачи приводит к следующему дисперционному соотношению: где (7. 160) Заметим, что от — чисто мнимая величина; если выражение в скобках в уравнении (7.159) положительно, то любое возмущение затухает со временем; если отрицательно, то система неустойчива и любое возмущение экспоненциально растет со временем. Поверхностное натяжение и намагниченность способствуют стабилизации системы; сила тяжести стабилизирует систему, если более тяжелая жидкость находится ниже (рв ) р,).
Динамика процесса фильтрации жидкости, в отличие от задачи Рэлея — Тейлора, определяется скорее вязким трением, чем инерцией. Уравнение (7.159) подтверждает, что при отсутствии магнитных эффектов может наступить неустойчивость поверхности к вязким выбросам, изучавшаяся Сэфменом и Тейлором, когда проталкивается более вязкая жидкость (6а ) йь). Магнитное поле стабилизирует поверхность только по отношению к волнам возмущения вдоль поля. Положив й, = О, так что я =й„, перепишем уравнение (7.!59) в виде нд ! , Помоне а (7. 161) где г =(!с,!с,!!сот)нт — величина Уже опРеделЯвшаЯсЯ Ранее, и (йа рь) 1 + Ы (Ра рь). (7.! 62) Из уравнений (7.161) и (7.162) видно, что поверхностное натяжение стабилизирует систему по отношению к возмущениям с большими волновыми числами (с малыми длинами волн), а магнитное поле стабилизирует систему к возмущениям с промежуточными волновыми числами (с промежуточными длинами волн).
При Г ) 0 система неустойчива в области малых волновых чисел. При Г ( 0 система устойчива по отношению к возмущениям с любыми волновыми числами, безразлично, имеется намагниченность или нет. ей=1 ) ой +й(ре ра)+Фа йа))т+ ! ~ (7 159) + во 236 7. Задачи об устоачивосги в феррогидродииамике .', у,:!~~!,;Ф7фдпбпкп Й))(г у(мВ )Уж(гфда (ь) Рнс.
7.23. (а) Фотографии фильтрапни жидкости в горизонтальной ячейке Хил-Шоу слева направо. Расстояние между пластинами д = 0,32 мм, вязкость магнитной жидкости иа воде Чг = 1,18 мН с.м-з, вязкость масла т( 219 мН с м-', поверхностное натяжение о = 30 мН.м-', скорость )г = 03 мм с-'1 (Ь) схематическое изображение ячейки Хил-Шоу. См. (йозепзме(2, 2а)гп, Чек!ег, 1973). При выводе уравнения (7.161) из уравнения (7.159) величина зо была заменена на г„. Это законно, так как )г= В(Н, и, следовательно, (д!и )з/д!п Н) !и —— -)ьг/)з, — 1; подстановка этого результата в выражение для 3, при я,=О приводит его к выражению для г,.
Результат о магнитной стабилизации фильтрации жидкости экспериментально подтвержден в работах (Козепзъге!д, Еа)гп, Чоп(ег, 1978; Еа(гп, йозепзтче(д, 1980) на примере ячейки ХилШоу, которая представляет собой две параллельные пластинки, разделенные маленьким промежутком вдоль оси у (рис. 7.28). 7.9. УСТОЙЧИВОСТЬ К ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ Одной из наиболее хорошо исследованных задач о явлениях переноса является задача о рэлеевской коивекции (часто называемая задачей Бенара), схематично изображенная на рис.
7.29. 237 Тлй Устойчивость к тепловой коквекнии Слой жидкости толщины е( занимает пространство между двумя параллельными бесконечными пластинами, как показано на рис. 7.29. Температура нижней пластины поддерживается равной Ть ь а температура верхней Т ош, 'Тьоо Тооы — = 7!оТ.
Если градиент температуры поперек зазора не слишком большой, то жидкость остается в покое. В этом равновесном состоянии температура меняется линейно поперек зазора и, следовательно, градиент температуры всюду в жидкости одинаков: (7.!63) г(Т(г(з = ЛТ(г( = Ао.
При увеличении разности температур двух пластин начинают играть важную роль эффекты, связанные с изменением плотности жидкости. На единицу объема более горячей частицы жидкости из-за ее теплового расширения действует меньшая О1П о РП19'П о1ороош Рис. 7.29. Схема и обозначения для задачи о термоконвективной неустойчивости слоя, подогреваемого снизу. Едва число Рэлея превышает критическое значение, появляются конвективные ячейки. сила, чем на единицу холодной жидкости. Жидкость в верхней части слоя весит больше и поэтому стремится перераспределиться, чтобы восстановить баланс. Состояние покоя поддерживается до тех пор, пока некоторое безразмерное число, выражающее баланс сил плавучести, вязких сил и переноса тепла из-за теплопроводности и конвекции, не превышает определенного критического значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
